2021-2022学年人教版八年级数学下学期复习：菱形（题型汇编）解析版

专题07菱形（一题三变）

【思维导图】

⑥考点题型1:利用餐形的性质求角度）

◎考点题型2:利用菱形的性质求线段长，

⑥考点题型3:利用菱形的性质求面积，

◎考点题型4:利用性质证明）

（◎考点题型5:添加一T•条件成为梦形，

◎考点题型1:利用菱形的性质求角度

例.（2021•天津四十三中八年级阶段练习）如图，菱形/BCD中，ZA=50°,则NND8的度数为（）

A.65°B.55°C.45°D.25°

【答案】A

【解析】

【分析】

由菱形得到AB=AD,进而得到NADB=NABD,再由三角形内角和定理即可求解.

【详解】

解：•••四边形ABCD为菱形，；.AD=AB,

.­.zADB=zABD=（180o-zA>2=（180o-50o>2=65°,

故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键.

变式1.（2020•河北青县•二模）如图，已知菱形43CD,ZA=80°,则乙角度是（）

A.60°B.50°C.40°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据菱形的对边平行，得到AB//DC,进而得出AADC=100°,再根据菱形对角线平分一组对角，得出ZADB

角度.

【详解】

解：•；AB//DCNADC=100°,

又••・菱形对角线平分一组对角，・•・乙4。3=50。.

故选：B.

【点睛】

本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：对边平行，对角线平分一组对角，是解题的关键.

变式2.（2021・广东・深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，菱形N8CO中，AC交BD于O,

DELBC于E,连接OE,若zJ8C=140。，则的度数为（）

D

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得乙乙48C=70。，BO=DO,由直角三角形的性质可求解.

【详解】

解：••・四边形N5CD是菱形，A43c=140。，

.-.AABD=^CBD=IA45C=70°,BO=DO,

■■■DELBC,

：.OE=OD=OB,乙BDE=20°,

：.乙ODE=AOED=20°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

变式3.（2021•陕西•咸阳市秦都区电建学校九年级阶段练习）如图，在菱形N8CD中，ZABC=50°,对角

线/C,BD交于点、O,£为CD的中点，连接。£,则44OE的度数是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得NC1HD,^CDO=1^ADC=1^ABC=25°,根据直角三角形的性质得到OE=DE=：CD,

根据等腰三角形的性质得到乙)。£=48。=25。，于是得到结论.

【详解】

解：••・四边形48CD是菱形，

11

■■ACLBD,4CDO=-UDC=-UBC=25°,

22

.­.^DOC=90°,

■:点E是CD的中点，

1

：.OE=DE=-CD,

2

.-.^DOE=ACDO=25°,

：./-AOE=/-AOD+zJ)OE=W0+'2.5°=\15°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键.

◎考点题型2：利用菱形的性质求线段长

例.(2022•全国•八年级)菱形488的周长是8CM,ZJ2C=6O。，那么这个菱形的对角线AD的长是()

A.V3cmB.2#!cmC.1cmD.2cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的性质得/B=8C=2(cm),OA=OC,OB=OD,ACX.BD,再证A48C是等边三角形，得4c=4B

=2(cm),则。N=1(cm),然后由勾股定理求出。8=6(cm),即可求解.

【详解】

解：,♦,菱形N8CD的周长为8c%,

:.AB=BC=2(cm),OA=OC,OB=OD,ACLBD,

•••ZABC=6O°,

・•.△ABC是等边三角形，

-'-AC=AB=2cm,

••OA—1(cm),

在用A4O5中，由勾股定理得：OB=dAB2_OA2=J22_y=百(cm),

:.BD=2OB=2m(cm),

故选：B.

【点睛】

此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股

定理，等边三角形的性质和判定方法.

变式1.（2021•广东清新•九年级期中）在菱形/2CD中，两条对角线/C=10,BD=24,则此菱形的边长为

)

A.14B.25C.26D.13

【答案】D

【解析】

【分析】

由菱形的性质和勾股定理即可求得N5的长.

【详解】

解：••・四边形/BCD是菱形，AC=IO,BD=24,

B

：.AB=BC=CD=AD,AC1BD,OB=OD=-BD=U,OA=OC=~AC=5,

22

在RtAABO中，AB=^OB2+OA2=7122+52=13,

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出43=13是解题的关键.

变式2.（2021•广东佛山•九年级期中）菱形N8CD中，对角线NC,8。相交于点O,£为的中点.若菱

形4BCD的周长为32,则OE的长为（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据菱形的性质得到N8=3C=CD=AD,。是NC的中点，再由菱形的周长为32,则AD=8,然

后证明OE是恒台。的中位线，即可得到OE=；/D=4.

【详解】

解：••・四边形N3CD是菱形，对角线NC,8。相交于点O,

；.AB=BC=CD=AD,。是NC的中点，

•.•菱形/BCD的周长为32,

••.4。=8,

,；E为4B边中点、,

•••OE是MBD的中位线，

.-.OE=-AD=4,

2

故选A.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质.

变式3.（2022・全国•八年级）如图，四边形4BCD为菱形，对角线NC,2。交于点。，E为4D的中点,

若。£=3.5,则菱形N3CD的周长等于（）

A.14B.28D.35

【答案】B

【解析】

【分析】

利用菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质求出AD=8,即可得出结果.

【详解】

解：•••四边形N2CD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,ACA.BD,

••・E为4D边中点，

：.OE是RtAAOD的斜边中线，

：.AD=WE=1,

菱形/BCD的周长=4x7=28；

故选B.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟记直角三角形斜边上的中线性质是解题

关键.

◎考点题型3：利用菱形的性质求面积

例.（2021•全国•八年级期中）如图，菱形/BCD的对角线NC、8。相交于点O,AC=6,BD=3,EF为

过点。的一条直线，则图中阴影部分的面积为（）

Jg/D

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可证出ACR?三A4E。，可将阴影部分面积转化为A50C的面积，根据菱形的面积公式计算

即可.

【详解】

解：••・四边形/OC8为菱形，

OC=OA,AB//CD,AFCO=ZOAE,

■：ZFOC=NAOE,

ACFO^AAEO（ASA）,

,•°ACFO-3AOE，

S&CFO+S^BOF=SaBOC,

：.SKnr=—x--ACBD=—x—x6x8=6

"B℃4242

故选：B.

【点睛】

此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为A50c的面积为

解题关键.

变式1.（2021•重庆市巴川中学校八年级期末）如图，菱形N8CD的面积为24cm2,对角线AD长6cm,点

。为8。的中点，过点/作/E18C交C8的延长线于点£,连接。£,则线段。£的长度是（）

A.3cmB.4cmC.4.8cmD.5cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的性质得出8O=6cm,由菱形的面积得出/C=8cm,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

即可得出结果.

【详解】

解：•••四边形N8CD是菱形,

:.BD1AC,

•••8D=6cm,Sg^ABCD=^-ACxBD^24cm2,

.•./C=8cm,

■■■AE1BC,

.-.AAEC=90°,

■■-0E=^-AC=4cm,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

变式2.（2021•北京丰台•八年级期末）在菱形/BCD中，对角线NC,8。相交于点。，如果/C=6,BD

8,那么菱形/BCD的面积是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【解析】

【分析】

利用菱形的面积公式即可求解.

【详解】

解：菱形/BCD的面积=胃=24,

22

故选：C.

【点睛】

本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半.

变式3.（2022•广东顺德•九年级期末）若菱形的两条对角线长分别为10和24,则菱形的面积为（）

A.13B.26C.120D.240

【答案】C

【解析】

【分析】

根据菱形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：；菱形的两条对角线长分别为10和24,

菱形的面积为g*10x24=120,

故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积公式.

◎考点题型4：利用性质证明

例.（2022•辽宁沈河•九年级期末）如图，四边形N8CD是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A.当%是矩形时，々8C=90。B.当口/BCD是菱形时，ACLBD

C.当口/BCD是正方形时，AC=BDD.当口/BCD是菱形时，AB=AC

【答案】D

【解析】

【分析】

由矩形的四个角是直角可判断A,由菱形的对角线互相垂直可判断B,由正方形的对角线相等可判断C,由

菱形的四条边相等可判断D,从而可得答案.

【详解】

解：当口48co是矩形时，乙12C=90。，正确，故A不符合题意；

当勿BCD是菱形时，ACVBD,正确，故B不符合题意；

当口4BCD是正方形时，AC=BD,正确，故C不符合题意；

当口48。）是菱形时，AB=BC,故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.

变式1.（2021・全国•八年级课时练习）菱形A8CD中，对角线/C、AD交于点O,给出下列结论：①

ZABC=ZACB,@ZABC=2ZDBC,③OT+=/笈，其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】c

【解析】

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分每一组对角，判断即可.

【详解】

解：如图:

①/ABC=NACB,错误，不符合题意；

@ZABC=2ZDBC,正确，符合题意；

③OA'OB?=AB?,正确，符合题意；

所以正确的有两个，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形对角线互相垂直平分，每一条对角线平分每组对角是解本题的关

键.

变式2.（2021•海南海口•八年级期末）如图，在菱形/BCD中，E是。。的中点，AELCD,连接NC,则

N/CD等于（）

A.30°B.50°C.60°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据菱形的性质得到4。=。，然后根据三线合一定理得到即可得到A4CD是等边三角形，从

而求解.

【详解】

解：••・四边形/BCD是菱形,

：.AD=CD,

为CD的中点，AELCD,

：.AC=AD,

：.AC=AD=AC,

.■.AACD是等边三角形，

.­.zJCD=60°,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握相

关知识进行求解.

变式3.（2021•河南西华•八年级期末）已知四边形/5CZ）是菱形，下列结论中不一定正确的是（）

A.AB=CDB.AC=BD

C.AC1.BDD.当//8C=90。时，它是正方形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质，对选项逐个判断即可.

【详解】

解：A、菱形的四个边相等，AB=CD,选项正确，不符合题意；

B、菱形的对角线不一定相等，选项错误，符合题意：

C、菱形的对角线互相垂直，ACLBD,选项正确，不符合题意；

D、有一个角为直角的菱形为正方形，即可判定，选项正确，不符合题；

故选B

【点睛】

此题考查了菱形的性质以及正方形的判定，熟练掌握菱形的有关性质以及正方形的判定是解题的关键.

◎考点题型5：添加一个条件成为菱形

例.（2021•广东顺德•九年级期中）在&#xRM3;4BCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（）

A.ABA.BCB.BC1CDC.CDVACD.AC1BD

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合选项找到对角线互相垂直即可求解.

【详解】

A>■■■ABLBC,

•••ZJ8C=90°,

又••・四边形/BCD是平行四边形，

••・四边形N8CD是矩形；故选项A不符合题意；

B、C选项，同A选项一样，均为邻边垂直，口43。。是矩形；故选项B、C不符合题意；

D、,•・四边形4BCD是平行四边形，

又•.•/C13D,

••・四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意

故选D

【点睛】

本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键.

变式1.（2021・辽宁黑山•九年级期中）如图，下列条件能使平行四边形N5CD是菱形的为（）

①ACLBD；②48/0=90。；③AB=BC；@AC=BD.

A.①③B.②③

C.③④D.①

【答案】A

【解析】

【分析】

根据菱形的判定定理以及所给条件证明平行四边形/BCD是菱形，菱形的判定方法有三种：①定义：一组

邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.据

此判断即可.

【详解】

解：①％BCD中，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定口/BCD是菱形；故①正

确；

②口/8CD中，48/0=90。，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定o48CD是矩形，而不能判

定53CZ）是菱形；故②错误；

③口N2CD中，AB=BC,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定M2CD是菱形；故③正确；

④D4BCD中,/C=3D,根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定口/58是矩形，而不能判定

口4BCD是菱形;故④错误.

故正确的为①③

故选：A.

【点睛】

此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理.此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键.

变式2.2021•辽宁・沈阳市杏坛中学九年级阶段练习）下列选项中能使平行四边形/BCD成为菱形的是（）

A.AB=CDB.AB=BCC.乙BAD=90°D.AC=BD

【答案】B

【解析】

【分析】

分别根据选项所给条件结合菱形的判定方法逐一进行判断即可求解.

【详解】

解：•••四边形48CD是平行四边形，

/、当N2=CD时，不能判定平行四边形/BCD是菱形，故本选项不符合题意；

B、当N8=8C时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得到平行四边形是菱形，故本选项

符合题意；

C、当乙酸。=90。时，平行四边形/BCD是矩形，故本选项不符合题意；

D、当NC=AD时，平行四边形48co是矩形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定，熟练掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键.

变式3.（2021•山东・青岛市城阳第九中学九年级阶段练习）如图，要判定口是菱形，需要添加的条件

是（）

A.AB^ACB.BC=BDC.AC=BDD.AC1BD

【答案】D

【解析】

【分析】

根据菱形的判定方法即可解决问题.

【详解】

解：根据邻边相等的平行四边形是菱形和对角线垂直的平行四边形是菱形，可知选项D正确,

故选：D.

【点睛】

本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

◎考点题型6：证明四边形是菱形

例.（2021•辽宁东港•九年级期中）如图，在口48。中，对角线/C,BD交于点、O,£是8。延长线上一点,

日△/（?£是等边三角形.

（1）求证：四边形A8CD是菱形；

（2）若乙AED=2乙EAD,AB=a,求四边形/BCD的面积.

【答案】（1）见解析；（2）正方形/BCD的面积为/

【解析】

【分析】

(1)由等边三角形的性质得EO1/C,即8ZXMC,再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出

结论；

(2)证明菱形/BCD是正方形，即可得出答案.

【详解】

(1)证明：•••四边形N3CD是平行四边形，

：.AO=OC,

・•・A4CK是等边三角形，

.-.EO1AC(三线合一)，

即BD1AC,

:.口ABCD是菱形；

(2)解：•・•△/CE是等边三角形，

.■■^EAC=60°

由(1)知，EOLAC,AO^OC

；.UEO=4OEC=30°,△/OE是直角三角形，

■.Z-AED=2/.EAD,

.,"40=15°,

；“AO=KEAO-AEAD=45°,

“ABCD是菱形，

；/BAD=24DAO=90°,

二菱形ABCD是正方形，

二正方形48co的面积=482=屋.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证

明四边形ABCD为菱形是解题的关键.

变式1.(2022・全国•八年级)如图，在口，8。中，点E,尸分别在线段BC,/D上，连接NE,CF,

AE//CF,BE+AE=AD,求证：四边形NEC尸是菱形.

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得NO=3C，AD//BC,然后再依据平行四边形的判定可得四边形NEC厂是平行

四边形，对边的等式进行等量代换得出4E=EC,最后依据菱形的判定定理即可证明.

【详解】

证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

AD=BC,AD//BC,

■：AE//CF,

.•.四边形AECF是平行四边形，

BE+AE=AD,

；.BE+AE=AD=BC=BE+EC.

AE=EC,

二.四边形/EC厂是菱形.

【点睛】

题目主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定定理，熟练掌握各个判定定理，融会贯通综合运用是

解题关键.

变式2.(2022•全国•八年级)如图，△5ND是由△8EC在平面内绕点8旋转60。而得，MAB1BC,BE=

CE,连接DE.

(1)求证：4BDE三4BCE；

(2)试说明四边形N2即为菱形.

【解析】

【分析】

(1)根据旋转的性质可得OB=CB,NABD=NEBC,NABE=60°,然后根据垂直可得出

4DBE=ZCBE=30°,继而可根据S4s证明NBDE=NBCE；

(2)根据(1)以及旋转的性质可得，NBDE=\BCE=NBDA,继而得出四条棱相等，证得四边形/BED

为菱形.

【详解】

(1)证明：；A84。是由ASEC在平面内绕点3旋转60。而得，

DB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,

ABLBC,

:.ZABC=90°,

NDBE=ZCBE=30°,

在NBDE和NBCE中,

DB=CB

{ZDBE=ZCBE,

BE=BE

\BDE=NBCE(SAS).

(2)四边形N8EA为菱形；

由(1)得ABDE=MCE,

「ABN。是由ASEC旋转而得，

ABAD=NBEC,

BA=BE,AD=EC=ED,

又•；BE=CE,

AB=BE=ED=AD,

四边形"BED为菱形.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多，

难度较大.

变式3.(2021•辽宁本溪•九年级期中)在口/BCD中，AE平分NBAD,交8c于点£,BF平分NABC,交

AD于点尸，4E与BF交于点、O,连接斯、OC.

(1)求证：四边形42所是菱形；

(2)若点£为8c的中点，且3c=8,ZABC=60°,求OC的长.

【答案】(1)见解析；(2)277

【解析】

【分析】

(1)根据平行四边形的性质和角平分线的定义，等边对等角可得/8=/尸，AB=BE,进而可得

/尸=BE,根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

(2)过。作于X,证明△/8E是等边三角形，根据菱形的性质求得。旦£〃,在龙中，勾股

定理求得的,在RMOHC中，勾股定理即可求得OC的长.

【详解】

(1)证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

AD//BC,

ZAFB=ZFBE,

・••BE平分NABC,

ZABF=ZFBE,

ZABF=NAFB,

AB=AF,

同理=

*，•AF-BE,

••・四边形N2即是平行四边形，

••・四边形/8E尸是菱形；

(2)解：过。作OH_LBC于X,

ZOHE=90°,

为2c的中点，

.-.BE=CE=-BC=4,

2

AB=BE,ZABC=60°,

.•.△A8E是等边三角形,

BE=AE=4,NAEB=60°,

ZEOH=90°一NAEB=30°,

•••四边形/BE尸是菱形，

OE=—AE=—x4=2,

22

.-.EH=-OE=-x2=l,

22

在RtZXO/ffi'中，

OH=yJOE2-EH2=A/22-12=退，

在RtAOXC中，

OC=yloH2+HC2=+（4+1）2=277.

【点睛】

本题考查了菱形的性质与判定，掌握菱形的性质与判定是解题的关键.

◎考点题型7：利用菱形的性质与判定求角度

例.(2020•山东・万杰朝阳学校八年级期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,如果

ZABO=40°,则NDC0=()

C.50°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据菱形的性质，对角线互相垂直平分可知，ZCOD=90°,ZDCO+ZCDO=90°,利用ABIICD,通过等角代

换，计算即可求出.

【详解】

由题意知，菱形ABCD的对角线互相垂直平分可得：ZDOC=90°,zCDO+zDCO=90°,

•••AB||CD,

.••ZABO=ZCDO=40°,

.■.Z.DCO=90°-40°=50°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形中两个锐角互余，掌握菱形的性质和平行线的性质是

解题的关键.

变式1.（2021•江苏•南京外国语学校八年级期中）如图，在菱形/BCD中，AC,相交于O,

乙43c=70。，E是线段49上一点，则N8EC的度数可能是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的性质，得NAOB=90。，ZABO=35°,从而得：ZBAO=55°,进而可得：55°<ZBEC<90°,即可得

到答案.

【详解】

・•,在菱形48C。中，

:.ACLBD,即：ZAOB=90°,

.-.ZBEC<90°,

ZABC=70°,

.­.ZABO=-Z^BC=-x70°=35°,

2J2

.-.ZBAO=55°,

NBEC=ZBAO+ZABE,

.-.ZBEC>55°,

即：55。</BEC<90。.

故选B.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

变式2.（2021・河北邢台・二模）如图，四边形/BCD为菱形，若C£为边ZB的垂直平分线，用/NDB的度

数为（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】

连接NC,证明AIBC为等边三角形，得到^5C=60。，根据菱形性质即可求解.

【详解】

解：连接NC,

••・四边形为菱形，

••AB=BC,

,；CE为边AB的垂直平分线，

：.BC=AC,

-'-AB=BC=AC,

,.△ABC为等边三角形，

：./-ABC=60°,

•••四边形/BCD为菱形，

'.^ADB=-ZADC=-ZABC=30°.

22

故选:c

B

【点睛】

本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，证明A42C为等边三角形是解题关

键.

变式3.（2021•江苏苏州•九年级专题练习）如图，在AA8C中，AB=AC,ABAC=40°,将AA5C绕点A

逆时针方向旋转得A4E尸，其中，E,F是点B,C旋转后的对应点，BE，。尸相交于点。.若四边形

4BDF为菱形,则NC/E的大小是（）

A.90°B.75°C.60°D.45°

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得ABIICF,可得NACF=40。，根据AB=AC=AF,可得NAFC=40。，即NCAF=100。且NEAF=40。，则

可求NCAE的大小.

【详解】

•■•ABDF是菱形

•••ABIICF,AB=AF

.•.Z.BAC=ZACF=4O°,AF=AC

.­,ZACF=ZAFC=4O°

.••zCAF=100°

・••将4ABC绕点A逆时针方向旋转得AAEF

.­•zEAF=zBAC=40o

.­,ZEAC=ZCAF-ZEAF=6O°

故选：c.

【点睛】

此题考查旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用这些性质解决问题.

◎考点题型8：利用菱形的性质与判定求线段长

例.（2021•广东南海•九年级阶段练习）如图，四边形N8CD中，ADWBC,zC=90°,AB=AD,连接AD,乙BAD

的角平分线交2。、3c分别于点。、E,若EC=3,CD=4,则3。的长为（）

C.275D.375

【答案】C

【解析】

【分析】

连接DE,因为AELBD,AD\\BC,可证四边形/BED为菱形，从而得到BE、8C的长，进而解答

即可.

【详解】

在直角三角形CDE中，EC=3,CD=4,根据勾股定理，得DE=5.

■：AB=AD,/£平分ZBAD

：.AEVBD,BO=OD,

•••/E垂直平分乙BAE=3AE.

:.DE=BE=5.

"ADWC,

-t-Z-DAE=Z-AEB,

；/BAE=UEB,

；,AB=BE=5,

；.BC=BE+EC=8,

.•・四边形是菱形,

由勾股定理得出BD=ylBC2+DC2="+8?=475，

BO=-BD=2y/5,

2

故选：C.

【点睛】

本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形是

关键.

变式1.（2021•重庆八中九年级阶段练习）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形

ABCD,若测得点4C之间的距离为6cm,点8,。之间的距离为8cm,则纸条的宽为（)

B.4.8cmC.4.6cmD.4cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意作/R13C于R,ZS1CD于S,根据题意先证出四边形/BCD是平行四边形，再由NR=NS得平行四

边形是菱形，再根据勾股定理求出N5,最后利用菱形/5CD的面积建立关系得出纸条的宽/我的

长.

【详解】

解：作/RLBC于尺，4slic。于S,连接/C、AD交于点O.

由题意知：AD\\BC,ABWCD,

四边形/BCD是平行四边形,

•••两个矩形等宽,

'-AR=AS,

•；AR・BC=AS・CD,

.•.BC=CD,

・・・平行四边形是菱形，

•••ACtBD,

在RfAAOB中，

OA=3cm,OB=4cm,

•••AB=J32+42=5cm,

•・・平行四边形/BCD是菱形，

••AB=BC=5cm,

菱形/BCD的面积即gx6x8=5/R,

24

解得：AR==4.8cz?z.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查菱形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形以及

菱形的面积等于对角线相乘的一半.

◎考点题型9：利用菱形的性质与判定求面积

例.（2021•辽宁甘井子•八年级期中）如图，菱形的对角线NC,8。相交于点O,48=5,AO=4,

则此菱形的面积是（）

A.12B.15C.24D.48

【答案】C

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得NC=2NO,BA2BO,由勾股定理求出80的长，最后根据菱形的面积公式求解即可.

【详解】

解：•••四边形/3CD是菱形

­.AC=2AO,BD=2BO,

AB-5,AO=4,

BO=^AB2-AO2=3

■.AC=8,BD=6

菱形的面积」x8x6=24

22

故选：C

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得

BO.

变式1.（2021•安徽长丰•八年级期末）如图，在面积为S的菱形N8CD中，对角线NC,8。相交于点O,

E,F,G分别是BC,OB,0c的中点，则四边形EFOG的面积为（）

A.—SB.—SC.—SD.

481216

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OE,依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到"FO,ZEGO.,NFOG都是直角，即可得到四

边形OFEG是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形OFEG的面积.

【详解】

解：如图所示，连接OE,

「四边形ABCD是菱形，

."OC=90。,

又是3c的中点，

：.OE=BE=CE,

又小，G分别是80,CO的中点，

.•.EF1OB,EG1OC,

••・四边形OGE尸是矩形,

・菱形ABCD的面积为S,

：.-ACxBD=S,即/CxBD=2S,

2

•••四边形EFOG的面积=OGxOF=-OCx-OB=