2022-2023学年北师大版数学七年级上册压轴题：探索与表达规律（解析版）

2022-2023学年北师大版数学七年级上册压轴题专题精选汇编

专题05探索与表达规律

考试时间：120分钟试卷满分：100分

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2022七上•城固期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的黑白两种颜色的小正方形

组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有2021个黑色小正方形，则这个图案是（）

出种抬令

第1个图案第2个图案第3个图案

A.第505个B.第506个C.第507个D.第508个

【答案】A

【完整解答】解：由图可得，第1个图案涂有黑色的小正方形的个数为5,

第2个图案涂有黑色的小正方形的个数为5x2-l=9,

第3个图案涂有黑色的小正方形的个数为5x3-2=13,

第n个图案涂有黑色的小正方形的个数为5〃-（〃-1）=4〃+1,

4/7+1=2021

解得，/7=505.

故答案为：A.

【思路引导】由图可得：第1个图案涂有黑色的小正方形的个数为5；第2个图案涂有黑色的小正方形的个

数为5*2-1=9；第3个图案涂有黑色的小正方形的个数为5*3-2=13,推出第n个图案涂有黑色的小正方形的

个数为4n+l,据此解答.

2.（2分）（2022七上•句容期末）观察下列两列数：

第一列：2,4,6,8,10,12,.......

第二列：2,5,8,11,14,17）.......

通过探究可以发现，第1个相同的数是2,第2相同的数是8,….…则第2022个相同的数在第一列中是

第（）个

A.6062B.6064C.6066D.6068

【答案】B

【完整解答】解：第1个相同的数是2,

第2个相同的数是8=2+6xl,

第3个相同的数是14=2+6x2,

第4个相同的数是20=2+6x3,

...9

第n个相同的数是2+6x（n-1）=6n-4,

...第2022个相同的数为6x2022-4=12128,

,第一列的数为2,4,6,8,10,…，2n,

12128=2n,

n=6064.

故答案为：B.

【思路引导】观察可得：第n个相同的数是2+6x（n-D=6n-4,求出第2022个相同的数，第一列的数规律为

2n,据此计算.

3.（2分）（2021七上•章贡期末）根据下表中提供的四个数的变化规律，则X的值为（）

142638410n20

29320435554mX

第1个第2个第3个第4个第〃个

A.252B.209C.170D.135

【答案】B

【完整解答】解：观察可知：

表格中左上的数为从1开始的连续自然数，

左下的数为从2开始的连续自然数，

右上的数为左下的数的2倍，

右下角的数等于右上角与左下角的两个数的积与左上角数的和，

，11=20+2-1=9,m=20+2=10,

x=20m+n=209,

故答案为：B.

【思路引导】通过观察可知，n所在的位置的数是1,2,3……的自然数，m=n+l,第一行第一个是2的

倍数，由20可知n=9,则可求出m=10,再由x=20m+n即可求解。

4.（2分）（2021七上•槐荫期末）将一列有理数一1,2,-3,4,-5,6……按如图所示进行排列，则2022

应排在（）

810BD

“—►2/-/'ll-►-----/X

A.幺位置B.8位置C.。位置D.£位置

【答案】A

【完整解答】解：由题可知，

每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，

,/（2022-1）-5=2021-5=404……1,

A2022应排在A位置，

故答案为：A.

【思路引导】根据图中的数字可以发现数字的变化特点，从而求得2022应排在哪个位置即可得出答案。

5.（2分）（2021七上•封开期末）已知整数％、？、%、«4...........满足下列条件：q=T,

a2=~\ax+2|,a3=-\a2+3|,a4=-|a3+4|,ail+i=-\an+n+]\（n为正整数）依此类推，则4022

的值为（）

A.-1010B.-2020C.-1011D.-2022

【答案】C

【完整解答】解：4=0

%=-+i|=—|o+i|=-1

%=-1。2+2]=-1-1+2|=-1

%=一回+*=-卜1+3|=-2

a5=—|o4+4|=—|—2+4|=-2

17—1VI

是奇数时，结果等于-，〃是偶数时，结果等于-一

22

口2022=-=-1011

故答案为：C

【思路引导】先将数据代入计算可得前几项的结果，再通过观察和归纳可得：n是奇数时，结果等于

17—1VI

-----，"是偶数时，结果等于-一，最后将n-2022代入计算即可。

22

6.（2分）（2021七上•黄埔期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）

有n（n>l）个点，当n=ll时，该图形总的点数是（）

}j=2w=3?j=4M=5

A.27B.30C.33D.36

【答案】B

【完整解答】解：当n=2时，有3x2-3=3个点，

当n=3时，有3x3-3=6个点，

当n=4时，有4、3-3=9个点，

第n个图形中有3n-3个点，

当n=ll时，3n-3=3x11-3=30.

故答案为：B.

【思路引导】观察已知图形可得规律：第n个图形中有（3n-3）个点，把n=l1时代入计算即可.

7.（2分）（2021七上•乐平期末）一段跑道长100米，两端分别记为点A、B.甲、乙两人分别从A、B两

端同时出发，在这段跑道上来回练习跑步，甲跑步的速度是6m/s,乙跑步的速度为4m/s,练习了足够长时

间，他们经过了多次相遇，相遇点离A端不可能是（）

A.60米B.0米C.20米D.100米

【答案】B

【完整解答】解：设跑步时间为ts,

第一次相遇：100=6t+4t

/=10,

.••相遇点距A为60米，故A不符合题意；

第二次相遇：300=67+4f,

/=30,

6x30=180（米）,

...相遇点距A为20米，故C不符合题意；

第三次相遇：500=6t+4t,

t=50,

6x50=300（米），

.•.相遇点距A为100米，选项D说法符合题意，不符合题意；

第四次相遇：700=6t+4t,

t=70,

6x70=420（米），

•••相遇点距A为20米；

第五次相遇：900=6t+4t,

t=90,

6x90=540（米9

.••相遇点距A为60米；

综上，相遇点离A端不可能是0米，

故答案为：B.

【思路引导】设跑步时间为ts,第一次相遇：100=6/+由，第二次相遇：300=6/+射，第三次相遇：

500=6t+4t,第四次相遇：700=6t+4t,第五次相遇：900=6t+4t,分讨论即可。

8.（2分）（2021七上•香洲期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20,第一次操作：分

别取线段AM和AN的中点M”N1；第二次操作：分别取线段AM1和ANi的中点M2,N2；第三次操作:

分别取线段AM2和AN?的中点M3,N3；…连续这样操作10次，则MioNio=（）

A_*3V3kl立MMN3/

202020

A.2B.C.迹D.研

【答案】c

【完整解答】解：•・•线段MN=20,线段AM和AN的中点Ml，NP

AMiN^AMi-ANi

11

=-AM--AN

22

=—(AM-AN)

2

1

=-MN

2

=10.

・・•线段AMi和AN1的中点M2,N2；

.•.M2N2=AM2-AN2

11

=一AMi--ANi

22

1

=一(AMi-ANi)

1

=-MiNi

11

=-x—x20

22

1

丁20

=5.

发现规律：

1

乂”产就⑶

1

.'.MioNio=^yyx20.

故答案为：C.

【思路引导】先求出MiN]=10,再找出规律求出MnNn=1x20,最后作答即可。

9.（2分）（2021七上•鞍山期末）已知动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次

向右移动2厘米，第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，……，移动第2022次到达点B,则点B

在点A点的（）

A.左侧1010厘米B.右侧1010厘米

C.左侧1011厘米D.右侧1011厘米

【答案】D

【完整解答】解：动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米,

则此时对应的数为：-1+2=1,

第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，

则此时对应的数为：1+（-3）+4=2,

所以每两次移动的结果是往右移动了1个单位长度，

•/2022+2=1011,

所以移动第2022次到达点B,则6对应的数为：1011,

所以点B在点A点的右侧1011厘米处.

故答案为：D

【思路引导】先根据题干中点移动的规律，求出前几次的结果，即可得到规律，再利用2022+2=1011,即

可得到点B表示的数。

10.（2分）（2021七上•五常期末）观察图中给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中

的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数$为（）.

第1个第2个第3个第4个

3=13=53=93=13

A.3n-2B.3n-lC.4n+lD.4n—3

【答案】D

【完整解答】根据所给的数据，不难发现：第一个数是1,后边是依次加4,则第n个点阵中的点的个数是

1+4（n-1）=4n-3.

故答案为：D.

【思路引导】由已知图形可知第1个图形点的个数是1,第2个图形点的个数是1+4,第3个图形点的个

数是1+4x2；第4个图形点的个数是1+4x3；从而得出第n个图形点的个数是1+4*（n-1）,据此判断即可.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2022七上•巴中期末）如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得

第①个几何体的表面积为6个平方单位，第②个几何体的表面积为18个平方单位，第③个几何体的表面积

是36个平方单位，…依此规律，则第⑩个几何体的表面积是个平方单位.

【答案】330

【完整解答】解：根据题意得：第①个几何体的表面积为6=6x1个平方单位,

第②个几何体的表面积为18=6x3=6x（l+2）个平方单位,

第③个几何体的表面积是36=6x6=6x0+2+3）个平方单位,

由此发现，第⑩个几何体的表面积是6x（l+2+3+---+10）=6x^|^=330个平方单位.

故答案为：330.

【思路引导】根据图形可得：第①个几何体的表面积为6=6x1个平方单位；第②个几何体的表面积为

18=6x（l+2）个平方单位；第③个几何体的表面积是36=6x（l+2+3）个平方单位，据此可推出第⑩个几何体的

表面积.

12.（2分）（2022七上•汇川期末）如图，1条直线最多将平面分成2个部分，2条直线最多将平面分成4个

部分，3条直线最多将平面分成7个部分，4条直线最多将平面分成11个部分，5条直线最多将平面分成

16个部分，6条直线最多将平面分成22个部分，则49条直线最多将平面分成个部分.

【答案】1226

【完整解答】解：1条直线最多将平面分成2个部分，而2=1+1,

2条直线最多将平面分成4个部分，而4=1+1+2,

3条直线最多将平面分成7个部分，而7=1+1+2+3,

4条直线最多将平面分成11个部分，而11=1+1+2+3+4,

5条直线最多将平面分成16个部分，而16=1+1+2+3+4+5,

6条直线最多将平面分成22个部分，而21=1+1+2+3+4+5+6,

总结归纳可得：

n条直线最多将平面分成1+1+2+3+…+〃=]+小+1）=小+1）+2个部分，

22

当19时，〃（什D+2=49x50+2“Ze,

22

所以49条直线最多将平面分成1226个部分.

故答案为：1226.

【思路引导】由图形可得：1条直线最多将平面分成2=1+1个部分；2条直线最多将平面分成4=1+1+2个部

分；3条直线最多将平面分成7=1+1+2+3个部分；4条直线最多将平面分成11=1+1+2+3+4个部分，推出n

条直线最多将平面分成的个数，据此计算.

13.（2分）（2021七上•揭东期末）一只兔子落在数轴的某点P。上，第1次从P。向左跳1个单位到匕，第2

次从P1向右跳2个单位到P2，第3次从P2向左跳3个单位到P3，第4次从P3向右跳4个单位到P4，

若按以上规律跳了100次时，兔子落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2021,则这只兔子的初始位置Po

所表示的数是.

【答案】1971

【完整解答】解：设这只小兔子的初始位置点Po所表示的数是a,

则Pi表示的数是a-1,

P2表示的数是a+1,

P3表示的数是a-2,

P4表示的数是a+2,

...,

「•P100表示的数是a+50,

•・•点Pioo所表示的数恰好是2021,

.*.a+50=2021,

解得a=1971,

故答案为：1971.

【思路引导】根据向左为负，向右为正，列出算式计算即可。

14.（2分）（2021七上•东莞期末）如图是由一些火柴棒搭成的图案：按照这种方式摆下去，则摆第

个图案用了2021根火柴棒.

【答案】505

【完整解答】由题目得，第①个图案所用的火柴数：1+4=1+4、1=5,

第②个图案所用的火柴数：1+4+4=1+4X2=9,

第③个图案所用的火柴数：1+4+4+4=1+4x3=13,

依此类推，

由规律可知5=4xl+l,9=4x2+l,13=4x3+1,

第n个图案中，所用的火柴数为：l+4+4+...+4=l+4xn=4n+l；

故摆第n个图案用的火柴棒是4n+l；

根据规律可知4n+1=2021得，n=505.

【思路引导】先求出由规律可知5=4xl+l,9=4x2+l,13=4x3+1,再求出摆第n个图案用的火柴棒是4n+l,

最后列方程求解即可。

15.（2分）（2021七上•历下期末）设一列数%,%，%，％，……中任意三个相邻数之和都是50,已知

“3=%—3，口2021=17,则%022=-

【答案】15

【完整解答】解：；一列数为，。2，。3，%，……中任意三个相邻数之和都是50,

.•.7-3=2...1,20214-3=673...2,

•«ayJ^^2021,17,

•/a1+利+/=50,

贝|Jq+17+4—3=50,

解得q=18，

。3=。7—3=15,

•.■2022+3=674,

••^^2022^^3]5.

故答案为：15.

【思路引导】先求出卬+17+%—3=50,再求出q=18,最后计算求解即可。

16.（2分）（2022七上•松桃期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下列算式和图形:

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

请用上面的规律计算：

1001+1003+1005+1007+……+2019+2021=.

9春*京烁券

7烁自自决豪

5*煤*像0

3**烁0像

1券*自券春

【答案】772121

【完整解答】解：观察以下算式：,

1=1=口，

1+3=4=22,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=42,

1+3+5+7+9=25=52,

发现规律：

1+3+5+7+9+...+2n-l=n2.

二1+3+5+7+9+...+999=5002,

1+3+5+7+9+...+2021=10112,

.*.1001+1003+1005+1007+……+2019+2021=10112-5002=772121.

故答案为：772121.

【思路引导】观察已知等式可得规律l+3+5+7+9+...+2n-l=n2,由于

1001+1003+1005+1007+……+2019+2021=（1+3+5+7+9+...+2021）-（1+3+5+7+9+...+999）,禾U用

规律计算即可.

17.（2分）（2021七上•海曙期末）小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表。他发

现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关。按此规律，从1开始一直输入到2022

后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有个.

输入12345678……

26310&26

输出a3b24ab27加llab18ab29^ab……

【答案】674

【完整解答】解：输入1时，输出项的系数与次数均为奇数；

输入4时，输出项的系数与次数均为奇数；

输入7时，输出项的系数与次数均为奇数；

输入3n+l时，输出项的系数与次数均为奇数，

：2022=3X674

...从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个

故答案为：674.

【思路引导】单独把满足题意的项列出来，通过n找规律，从而得出结果。

18.（2分）（2020七上•南沙期末）已知21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64............22020-22019

的个位数字是.

【答案】8

【完整解答】解：'：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,

...每运算四次个位数循环一次，

•/22020-22019=22019(2-1)=22019,

：2019+4=504…3,

.•.22020_22019的个位数与23的尾数相同，

.•.22。2。-22。19的个位数字是8,

故答案为：8.

【思路引导】观察己知等式可知每运算四次个位数循环一次，易求22。2。-22019=22019(2-1)=22019,由于

2019+4=504...3,可得22。K的个位数与23的尾数相同，即得结论.

19.(2分)(2021七上•云梦期末)一只昆虫从点A处出发，以每分钟2米的速度在一条直线上运动，它先

前进1米，再后退2米，又前进3米，再后退4米，…依此规律继续走下去，则运动1小时时这只昆虫与A

点相距米.

【答案】8

【完整解答】解：1小时=60分，

规定昆虫每前进一次和后退一次为一运动周期，则设昆虫的运动周期数为“，每一周期所用总时间为九

设每周期前进的距离为S,则s=2(〃—1)+1=2〃—1；

由题意可得：/=2(〃—1)+1.5=2〃—0.5；

假设昆虫运动所用总时间为T；则

T=(2x1-0.5)+(2x2-0.5)+(2x3-0.5)+...+(2x«-0.5)=2(1+2+3+…+")-0.5〃=7+0.5〃；

当T=60分时，代入上式中可得〃=7但还剩余7.5分钟，由公式/=2(〃—1)+1.5=2〃—0.5可得第8周

需要15.5分钟，但是每一周期中后退时间比前进时间多0.5分钟，所以在第8周期中前进时间为7.5分钟,

后退时间为8分钟.

由于运动一个周期后退一米，所以运动7个周期就后退7米，由于在60分钟内运动完7周期后正好剩余7.5

分钟，这样在第8周期就正好前进的距离5=2x8-1=15米，故运动1小时时这只昆虫与N点相距为

15—7=8米.

故答案为：8.

【思路引导】由于这只昆虫的速度为2米/分钟，所以“前进1米，再后退2米”共用了1.5分钟，此时实际

上向后只退了一米；“前进3米，再后退4米”共用了3.5分钟，此时实际上也只向后退了一米.由此不难看

出，后一次运动比前一次多用2分钟，每次实际上都是向后退一米.然后根据规律列式计算即可求解.

20.(2分)(2021七上•奉化期末)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：

0②

图中黑色圆点的个数依次为1,3,6,10,……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排

列成一组新数据，则新数据中的第10个数为,第55个数为.

【答案】120；3486

【完整解答】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1,

第②个图形中的黑色圆点的个数为：2义（,+1）=3,

第③个图形中的黑色圆点的个数为：3?＜（3+1）=6,

2

4x（4+*1）

第④个图形中的黑色圆点的个数为：--—-=10,

2

第n个图形中的黑色圆点的个数为"（"+D，

2

.•.这列数为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,

,其中每3个数中，就有2个能被3整除，

10-2=5（组）,

二第10个能被3整除的数为原数列中的个数为5x3=15（个），

15x（15+1）

/.——---------=120,

2

V55-2=27（组）....1,

.♦.第55个能被3整除的数为原数列中的个数为27x3+2=83（个）

83x（83+1）

?.——----------=3486,

2

故答案为：120,3486.

【思路引导】由前4幅图黑色圆点的个数总结出规律：第n个图形中的黑色圆点的个数为:

2

再判断其中能被3整除的个数，得出每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第10和55个能被3整

除的数所在的组为原数列中的个数，代入式中计算即可.

三.解答题（共9题，满分60分）

21.（5分）（2021七上•番禺期末）图1中，有一个平行四边形；

图2中，由2个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到3个平行四边形；

图3中，由3个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到6个平行四边形；

/-----7//7////

图1图2图3

由此我们可以提出一个这样的问题：

图4中，由4个相同的平行四边形拼成一排的图形中，可以找到几个平行四边形？

/////

图4

答：10个

请你根据以上事实，将一些相同的平行四边形横向或纵向拼接，由此提出一个数学问题，并写出答案.

【答案】解：问题：第22个图有多少个平行四边形？

V图1中平行四边形的个数为：1,

图2中平行四边形的个数为：3=1+2,

图3中平行四边形的个数为：6=1+2+3,

图4中平行四边形的个数为：10=1+2+3+4,

二第n个图中平行四边形的个数为：1+2+3+...+//=-（-+1）,

2

二第22个图中平行四边形的个数为：22x（22+1）=253.

2

【思路引导】先结合图形归纳总结出规律：第n个图中平行四边形的个数为：1+2+3+...+/;=-（-+1）,

2

再将n=22代入计算即可。

22.（5分）（2021七上•七星关期中）请你仔细阅读下列材料，计算:

阅读下列材料：计算

1111

解法一:原式==-।_____•_____

12312-412-12

解法二:原式=

解法三：原式的倒数为

—)x12

3412123412

上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法是错误的.

请你选择合适的解法解答下列问题：计算：（----）+（----------1---------）

3031065

11111

【答案】解：解法一：原式____I___

12312'412'124312

解法二：原式+小备小136」

126122

解法三：原式的倒数为

—)xl2=-xl2--xl2+—xl2=4-3+1=2,

34121234123412

上述得到的结果不同，所以我认为解法一是错误的;

故答案为一;

(一］)+c|一±+：一|')的倒数为

3031065

2112、，1、

(z----------1---------)+(------)

3106530

,2112、，…

=(---------1--------)x(—30)

31065

=|-x(-30)--^-x(-30)+-1x(-30)-1-x(-30)

31065

=-20+3-5+12

=-10；

1

10

【思路引导】根据题干提供的三种方法分别完成后面的步骤，然后比较结果，即可判断；再根据解法三,

先计算原式的倒数，则可求出原式的值.

23.（5分）（2021七上•成都月考）从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下所示:

2=1x2

2+4=6=2*3

2+4+6=12=3x4

2+4+6+8=20=4x5

2+4+6+8+10=30=5x6

若用n表示连续相加的偶数的个数，用S表示其和，那么S与n之间有什么样的关系？请用公式表示出

来，并由此计算2+4+6+...+2022的值.

【答案】解：观察上述等式，所得的规律是：从2开始连续偶数的和，等于相加的偶数个数与偶数个数加1

的和的积，即5=2+4+64—+(2〃-2)+2〃=〃(〃+1)

••・2+4+6+...+2022=1011x(1011+1)=1023132.

【思路引导】观察上述等式，总结出规律：从2开始连续偶数的和，等于相加的偶数个数与偶数个数加1

的和的积，即S=n(n+1),根据规律代值计算即可.

24.(7分)(2020七上•河西期末)如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)

有〃(〃>1)个点，每个图形的总点数记为S.

•••••••

••••••••••••••

n=2n=3n=4n=5

(1)(1分)当n=4时，S的值为；当n=6时，S的值为:

(2)(1分)每条地”有〃个点时的总点数S是(用含〃的式子表示)；

(3)(4分)当«=2021时，总点数S是多少？

【答案】⑴9；15

(2)S=3n-3

(3)解：当M=2021时，总点数S=3'(2021-1)=3x2020=6060个点

【完整解答】解：第一个图形有S=3=3'(2-1)个点,

第二个图形有S=6=3'(3-1)个点,

第三个图形有S=3'(4-1)=9个点，

第四个图形有S=3'(5-1)个圆，

故第n-1个图形有$=3(〃-1)个圆，

(1)n=4,第三个图形有S=3'(4-1)=9个点，

当n=6时，第五个图形有S=3'(6-1)=15个点，

故答案为：9,15；

(2)每边有n个点时，每边减去一个顶点上的点，有(n-1)个点，一共三条边，共有点数为S=3(n-1)

=(3n-3)个点；

【思路引导】根据题意可知属于找规律题型，根据前四组图形可得出规律为3（〃-1）,把4,6,2021代入

即求值即可.

25.（8分）（2021七上•顺德期末）将连续的奇数1,3,5,7,9,……排成如图所示的数表.

3133353739

（1）（4分）写出数表所表示的规律；（至少写出4个）

（2）（4分）若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数.若9个数之和等于297,求方框里中间数是

多少？

【答案】（1）解：规律有：①第一列个位数都是1,②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍

数，④每列相邻的两个数相差10.

（2）解：设方框里中间数为x,则另外8个数为x—2,x+2,x-10,x+10,x-12,x+12,

x—8>x+8,

由题意得，x—2+x—2+x—lO+x+10+x—12+x+12+x—8+x+8+x=297

9x=297,

x=33,

则方框里中间数是33.

【思路引导】（1）根据数表写出规律即可；

（2）设方框里中间数为x,则另外8个数为x—2,x+2,x-10,x+10,x-12,x+12,x-8,

x+8,9个数的和为297,列出方程求解即可。

26.（9分）（2021七上•和平期末）观察图，解答下列问题.

①②③④

QgO0

OO0

Oo0

OoOOI0

（1）（1分）图中的圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆

圈，…，第六层有11个圆圈.如果要你继续画下去，第〃层有个圆圈.

(2)(1分)某一层上有65个圆圈，这是第________层.

(3)(3分)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法.比如：前两层的圆圈个数和为(1+3)或22,由

此得，1+3=22,同样：由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32,由前四层的圆圈个数和得：

1+3+5+7=42,…根据上述规律，从1开始的"个连续奇数之和是多少？用"的代数式把它表示出来

(4)(4分)运用(3)中的规律计算：73+75+77+…+153.

【答案】(1)(2n-l)

(2)33

(3)解：•.,前两层的圆圈个数和为1+3=22,由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32,由前四层的圆圈

个数和得：1+3+5+7=42,…

；・1+3+5+…+(2n-l)=n2；

故答案为：n2；

(4)解：原式=(1+3+5+…+153)-(1+3+5+…+71)

153+1o71+1、、、

=(-----)2-(-----)2==772-362=5929-1296=4633

22

【完整解答】解：(1)1•第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，第六层有11个圆

圈.…

.•.第n层有(2n-l)个小圆圈；

故答案为：(2n-l)；

(2)令2n-l=65,

解得n=33.

,这是第33层；

故答案为：33；

【思路引导】(1)根据已知数据可得每一层小圆圈的个数是连续的奇数，据此即得规律：第n层有(2n-l)

个小圆圈；

(2)利用(1)规律解答即可；

(3)根据已知数据可知：前n层的圆圈个数和等于首位数字平均数的平方，据此即得结论；

(4)根据(3)中的规律进行计算即可.

27.(5分)(2021七上•丰台期末)“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数

学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”.

例如：如图1,计算46x71,将乘数46写在方格上边乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字

乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266

(1)(1分)如图2用“格子乘法”计算两个两位数相乘，贝l|x=,y=；

(2)(1分)如图3,用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176,则m=,n=:

(3)(1分)如图4,用“格子乘法”计算两个两位数相乘，贝ijk=.

【答案】(1)3；2

(2)1；2

(3)5

【完整解答】解：(1)解：设方格右边的两位数的十位数字为r,由“格子乘法”法则可知，

9r=63,解得，r=7；

所以，7x=21,解得，x=3；

10+j=3x4,解得，y=2-

故答案为：3,2

x9

(2)由题意bd=16.QC=18,be=10m+2,ad-10〃+4,

aded=(10〃+4)(10加+2)=16x18=288,

画出“格子乘法”如图：

因为积为三位数，故左上角数字为0,阴影斜行和为2,当mn=l时，m=l,n=l三个三角形中只有中间的

数为mn,另两个为0,不符合题意；当mn=2时，三个三角形中只有中间的数为mn,另两个为0,其他格

子填数如图；

根据“格子乘法”法则得，mn=2,4加+2〃=8,

因为m、n为正整数，

和n的值分别为1和2.

另解：根据乘积为2176可知表格如图:

由“格子乘法''法则得，"+8+加=11,即〃+加=3,当冽=1,〃=2时，符合题意当加=2,〃=1时,

be=22,因为22=2x11=1x22,不符合题意，舍去；

故答案为：1,2

（3）解：设方格右边的两位数的十位数字为e,由“格子乘法”法则可知,

则有10（6—左一e）+左+2=7e,

因为k、e为正整数，

解得：k=5,e=l.

故答案为：5

【思路引导】（1）由7x=21,10+y=3x4,即可求出x、y的值；

（2）由题意得出bd=16.ac=18,be=10m+2,ad=10«+4,即可得出m、n的值；

（3）根据运算法则，将表格补充，得出10（6-左-e）+左+2=7e即可求出k的值。

28.（7分）（2021七上•上虞期末）如图是一个运算程序的示意图.输入一个整数便能按图中程序进行计算.

（1）（1分）设输入数x为18,那么根据程序，第1次计算的结果是9,第2次计算的结果是4…，按这

样的程序计算下去，第5次计算的结果为；程序最终输出结果为

（2）（5分）若输入某数x后，程序依次交替进行两种运算，且最后输出结果为1.请尝试通过分析，判

断输入数x是奇数还是偶数？进一步借助计算，直接写出该输入数X.

【答案】（1）-4；-4

（2）解：根据题意，交替进行两种运算，则

第2021次计算的结果为1=1+6x0,则第2020次计算的结果为2=2x（l+6x0）,

第2019次计算的结果为7=1+6x1,则第2018次计算的结果为14=2x（l+6xl）,

第2017次计算的结果为19=l+6xl+6x2,则第2016次计算的结果为38=（l+6xl+6x2）x2,

第2015次计算的结果为43=1+6+6x1+6x2+6x4,则第2014次计算的结果为

86=2x0+6+6x1+6x2+6x4）,

发现规律，第〃次（奇数次）计算的结果为1+6x2。+6x21+6x2?+…+6X2*T（〃为小于

2017的奇数），

（2021-"

则第（«-1）次计算的结果为2x1+6x2°+6x2*+6X22+---+6X22（n为小于2017的奇

7

数）,

则第3次计算的结果为1+6x2°+6x21+6x2?+…+6x2^8,则第2次计算的结果为

2x（1+6x2°+6x2*+6X22+---+6X21008）

•••第一次输入的数为1+6x2°+6x21+