2022-2023学年北师大八年级数学下册压轴题：勾股定理（解析版）

2022-2023学年北师大八年级数学下册精选压轴题培优卷

专题05勾股定理

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2022秋•长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底

端到左墙角的距离员为0.7处梯子顶端到地面的距离/C为2.4加如果保持梯子底端位置不动，将梯子

斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5处则小巷的宽为（）

A.2mB.2.5/77C.2.61nD.2.Im

解：在中，由勾股定理得：^=VAC2+BC2=>/2.42+0.72=2-5（加，

6=45=2.5米，

22=2

在双△/'BD中,由勾股定理得：BD-B2_A/D2=^2.5-l.5（加，

Z.CD^BC+BD^2+Q.7=2.7（加，

即小巷的宽为2.7米，

故选：D.

2.（2分）（2022秋•城关区校级期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.如、炳、巫B.a、y、Vsc.a、遍、VVD.加、M、V

解：力、（V2）2+（V3）2#（V6）2,不能构成直角三角形；

B、（V3）2+（V4）2W（V5）2,不能构成直角三角形；

a（V3）2+（V4）2=（7际）②，能构成直角三角形，故本选项正确；

D、（V2）2+（V3）2六（JZ）2,不能构成直角三角形.

故选：C.

3.（2分）（2022春•温州校级月考）如图，在口△/回中，ZC=90°,以回的三边为边向外做正方形

ACDE,正方形CBGF,正方形AHIB,连结6cCG,悴CPLCG交IH于点、P,记正方形/侬和正方形/次?

的面积分别为&,$,若&=4,$=7,则狐⑪：丛砂等于（）

A.2：V3B.4：3C.行V3D.7：4

解：如图所示，过点尸作冏吐。，交%的延长线于点瓶作根。，交窗的延长线于点儿

由题可得，/BCG=45°,CP1CG,

:"BC—45°,

又•：NACB=9Q°,

AZACP=45°,即炉平分/应况

又‘：PMLBC,PNLAC,

：.PM=PN,

,正方形4a定和正方形/以8的面积分别为耳，S2,且，=4,星=7,

二正方形6C%的面积=7-4=3,

正方形4。场和正方形aFG的面积之比为4：3,

：.AC-.BC=2：V3>

yXACXPN

AC=_2_

yXBCXPMBC不

即S1\ACP：S^BCP等千2：A/3-

故选：4

D

4.（2分）（2022春•海安市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题今有竹高一丈，末折抵地，

去本三尺，问折者高几何？题意是一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处

离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）

A.4-3=（10-x）2B.y-32=（10-x）2

C./+3=（10-x）2D.^+32=（10-x）2

解：设折断处离地面x尺，

根据题意可得：^+32=（10-x）2,

故选：D.

5.（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，在四边形岫力中，/ABC=9Q°,AB=\,BC=2,CD=2近,

A.V3+1B.4C.V5+1D.V15+1

解：连接4G

■:/ABC=90°,AB=\,BC=2,

AC=VAB2+BC2=Vl2+22=炳'

■.•浙26AD=Vl7>

ACff+A（?=（2愿）2+（遥）2=17,必=2=17,

，Cff+AC?^Aff,

.•.△45是直角三角形，

，四边形ABCD的面积是：BC+^AC'CD=工X1X2+工义灰乂2芯=1+J15.

2222

故选：D.

6.（2分）（2022秋•榕城区期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅

几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（）

解：A.根据图形可知：S大正方形=4X，*ab+（b-a）2

=2a>A2-2a队建

=岸+&,

・・2

.S大正方形=c，

:,充+存=仪;故/选项不符合题意；

B.不能用于证明勾股定理，故方选项符合题意；

C.根据图形可知：S大正方形=4x/x"+"=2a分",

S大正方形=（K力）2=加+2打"式

2ab+c2=4+2a＞仔,

：・4+/=",故。选项不符合题意；

D.根据图形可知：S大正方形=",

S大正方形=工（加什a）XM—（界加a）Xa-2X—ab=^+tPf

222

・・・加+少=",故〃选项不符合题意，

故选：B.

7.（2分）（2022春•静海区校级期中）如图，在△/阿中，A〃LBC于点D,若46=17,劭=15,DC=6,则

ZC的长为（）

A.11B.10C.9D.8

解：-ADLBC,

：.ZADC=ZADB=90°.

9：AB=17,初=15,

•'•^=7AB2-BD2=8-

■:DC=6,4Q8,

•"•^^7AD2K;D2=10-

故选：B.

8.（2分）（2022春•康县期末）若一个直角三角形的两边长为4和5,则第三边长为（）

A.3B.V41C.8D.3或

解：当5是直角边时，则第三边为：742+52=^41;

当5是斜边时，则第三边为：752-42=3-

综上所述，第三边的长为3或VI，

故选：D.

9.（2分）（2022春•丹凤县期末）如图，在△/回中，NC=90°,4C=3,BC=2,以46为一条边向三角形

外部作正方形，则正方形的面积是（）

A.13B.12C.6D.3

解：在△/比'中，ZC=90°,AC=3,BC=2,

：.AB=AG+BG=32+22=13,

•••正方形的面积=/9=13,

故选：A.

10.（2分）（2022春•朝天区期末）如图，在四边形/间9中，/DA4/BCA90。，分别以四边形455的

四条边为边向外作四个正方形，面积分别为&,S2,S3,&.若&=48,$+£=135,则£=（）

解：由题意可知：Sr—Aff,£=%?,S^Cff,Si=A[f-,

如图，连接初，

在直角△/初和△氏力中，

Bff=Aff+Aff=Cff+BC-,

即6+£=&+$,

因此&=135-48=87,

故选：B.

二.填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）

11.（2分）（2022秋•莱阳市期末）如图，在△/回中，NC=90°,点2是以上的点，若劭=2,DC=3,

则四-M的值为16

:.BC=BD^DC=3,

在RtA48C与中，由勾股定理得：A吐AG+BG,Aff=AC?+Cff,

：.Aff-A〃=BG-3=52_32=16,

故答案为：16.

12.（2分）（2022秋•增城区期末）如图，四边形43切中，49=14,比'=10,CD=8,DA=6,其中

90°,则四边形中的面积是7J百+24.

解：连接过点。作ZL/合于点£,如图所示:

9：ZD=90°,CD=8,%=6,

AACWAD^D^IO^

u：BC=10.

：.AC=BC,

・.,CELAB,

•'-AE=BE=yAB=7，

•・・NZ£C=90°,

在中根据勾股定理得：CEWAC2-AE2=V102-72=Vsi,

•••SAABC=yABxCE=yX14X^51=7451>SAACD-yXADXCD=yX6X8=24-

,,$四边形ABCD=SAABC+^AACD=7V51+24

故答案为：7相+24

13.（2分）（2022春•鄂州期中）学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的

高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知.如图，经测

量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为

7.5米.

解：设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为：（x+1）米,

在Rt△/比'中，由勾股定理得：^+42=（x+1）2,

解得：x=7.5,

即：旗杆的高度为7.5米.

故答案为：7.5.

14.（2分）（2022春•丹江口市期末）如图，已知，/MON=/BAC=9Q°,且点/在。/上运动，点6在小

上运动，若AB=8,然=6,则%的最大值为_4+2^13_.

MlC

AK/

0BN

解：取的中点£,连接解CE,

：.AE=\,

在Rt△/四中，由勾股定理得，

CE=VAC2+AE2="+$2=2^13,

；NAOB=90°，点£为的中点，

：.OE=­AB=i,

2

'：OC^OE+CE,

.•.当点。、E、C共线时，宛■最大值为4+2后，

故答案为：4+2V13.

15.（2分）（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点4B,C,

D,尸都在格点上，连接"，CP,CD,则人g45°.

解：如图所示：连接/£,PE,

则△R7星AH尸，

所以/尸切=/协凡

二APAB-4PCANPAB-/EAF=/PAE,

••,由勾股定理得：4a=%=22+N=5,/^=32+y=10,

：.AP+Pff=Aff,

△阳£是等腰直角三角形，

：.APAE=^>°,

即/用6-，

故答案为：45°.

16.（2分）（2022春•黔东南州期末）如图Rt44以中，NABC=90°,BC=Q/C=5,分别以三边为直

径画半圆，则两月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是5

解：中，ZABC=9Qa,

由勾股定理得：AC2-BC2=、25-5=2炳，

AC

设以/反BC、为直径的半圆分别即为①、②、③,

・・・兔=工兀X（岖）2,

22

同理S@=^—B（｝,S（^=^-A（?,

88

・・-S③,

***S阴影=尻）+%+宓胞-区）=S2ABe=BC-X2^5XV5=5.

故答案为：5.

17.（2分）（2022春•长汀县期末）课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若庞=2,那么点4到比1

的距离为

D

E

解：作"'，欧于户,

在RtZXMC中，/DCB=30°,

:.CD=2BD=4,

由勾股定理得，BC=Q£|2_gp2_2y3）

'：ZA=9Q°,AB=AC,

：.AF=gBC=M,

即4点到用的距离为近，

故答案为：V3-

18.（2分）（2022春•宁乡市期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”

四边形力比2对角线4G初交于点。.若49=3,CD=2,则A〃+BG=13.

解：,:BD1AC,

：.4C0B=2A0B=/C0A骄,

在Rt△/必和Rt^a勿中，根据勾股定理得,

Bff+Aff=Aff=y=9,如+宓=切=22=4,

BO+A0+勿+宏=9+4=13,

•:Aa=DO+A0,BG=OG+B(},

初=13.

故答案为：13.

B

19.（2分）（2021春•大冶市期中）如图，在正方形例成的对角线4C上取一点£,使得应=15°,连接

应■并延长庞到凡使CF=CB,即与切相交于点〃若有下列四个结论：①/侬=15°；②

^=73+1；③/顺=立二1；@CE+DE=EF.则其中正确的结论有①②④.（填序号）

：.BC=CD,/BCE=/DCE=45°.

'BC=DC

在位和△〃龙中，，ZBCE=ZDCE>

CE=CE

：./\BCE^/\DCE(SAS),

:"CBE=/CDE=\5°,故①正确；

②过〃作加_47于四

侬=15°,乙4%=90°,

；.24庞=75°,

•；/物£=45°,

：.ZAED=6Q°,

:前=册=娓,

:.AM—DM一与乂瓜=M，

:.ME=g^-DM=W^义痘=\,

33

：.AE=43+1,故②正确；

③根据勾股定理求出AC=243,

.：DM=M，EM=\,

'：ZDCA=^°,N4故=60°,

：.CM=43,

：.CE=CM-EM=M-1,

乂

：.SA0EC=^x(V3-l)，故③错误;

④在旗上取一点G,使EG=EC,连接CG,

,:BC=CF,

:"CBE=/F,

:.Z.CBE=Z.CDE=Z.F=\T.

.*./四6=60°.

,:CE=GE,

△位;是等边三角形.

曲=60。,CE=GC,

：.AGCF=^°,

：.AECD=GCF.

fCE=GC

在△龙c和△6位中，，ZECD=ZGCF>

tCD=CF

:.XDEC^XFGC(SAS'),

：.DE=GF.

'：EF=E&rGF,

：.EF=CE+ED,故④正确；

故答案为：①②④.

20.（2分）（2021春•罗湖区校级期末）如图，在△力回中，ZBAC=120°,46=4,〃为正的中点，ADA.

AB,则47的长为8.

解：如图，作血2〃交/〃的延长线于笈

■:/BAD=/E=9。。,/ADB=/EDC,BD=DC,

:.XADB^XEDC（AAS\

：.AB=EC=4f

'：ZBAC=120°,

ZFAC=30°,

：.AC=2BC=8,

故答案为8.

21.（2分）（2022春•莘县期末）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt^4回中,

AC=b,BC=a,ZACB=90°，若图中大正方形的面积为60,小正方形的面积为10,则切力¥的值为110.

解：由题意得，

：a2+b2=60

2

L(b-a)=10

.".2<3/?=50,b-(3=>/10,

・・・居+^+2石力=60+50,

(*6)2=110,

故答案为：no.

三.解答题（共8小题，满分58分）

22.（6分）（2022秋•沈丘县期末）如图，△/回的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长为1,请

你根据所学的知

识解决下列问题.

（1）△/回的面积为5；

（2）判断△46C是什么形状，并说明理由.

C

解：（1）SAABC=4X4-JXIX2-yX2X4-yX4X3

=5,

故答案为：5.

（2）由勾股定理得：12+22=V5,AC=V22+42=2>/5,^=VS2+42=5,

:.A强+AG=BG,

是直角三角形.

23.（6分）（2022春•开福区校级月考）如图所示，三个村庄4B,C之间的距离分别是羽=5助，BC=

12MAC=\3km,要从6修一条公路初直达〃；已知公路的造价260万元/A®,修这条公路的最低造价

是多少？

解：V5,(?+J^=122+52=169,

4?=132=169,

：.B<?+Aff=AC?,

；.NABC=9Q°,

当初，/C时初最短，造价最低.

邑.=LB*BC=L。BD,

22

.•.初=AB・BC,即BD='义12=也（km）.

AC1313

.•.弛X260=1200（万元）.

13

答：最低造价为1200万元.

24.（6分）（2022春•闽侯县期中）如图，在RtZ\45T中，NACB=90°,CDLAB.若NC=4,BC=22,求

AB=yl-^2^^222=1075.

=^/AC2+BC2+

7

SAABC=|AC-BC=yAB<D>

:.AGBC=AB・CD.

.,.4X22=10V5CD.

25.（8分）（2022春•漳平市期末）如图，有一个长方形水池，它的长是4米，池中央长了一棵芦苇，露出

水面1米，将芦苇拽至池边，它的顶端刚好与水面一样平，求水有多深？芦苇有多长？

解：设水深x米，则芦苇有（x+1）米，

由勾股定理：昌2=（x+1）2,

解得：x=1.5,x+l=2.5,

答：水深1.5米，芦苇的长度是2.5米.

26.（8分）（2022春•朝天区期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众

生活质量的公益事业.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块

可以绿化的空地（如图），已知4?=4以，BC—3m,AA\2m,Cg\3m,Z2?=90°.现计划在空地内种草，

若每平方米草地造价30元，求这块地全部种草的费用.

,D

c

B1-------公

解：连接4G

'：ZB=90°,

在中，4?=46+的=4432=52,

在中，Cff=U2,Aff=122,

V52+122=132,

:.AG+AP=Ca,

：.ZDAC=90°,

AX3X4+^X5X12=36（平方米）,

,,S四边形ABCD-SXA济SS—

22

36X30=1080（元）,

27.（8分）（2022春•黄冈期末）如图，某工人在两墙26,切之间施工（两墙