数学优化训练：正弦函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§4正弦函数4。1锐角的正弦函数4。2任意角的正弦函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1。sin600°的值是（）A.B.C.D.解析:600°角与240°角终边相同,设240°角的终边与单位圆交于点P，则P点坐标为(）.∴sin600°=sin240°=.答案：D2。如图1—4—1,在单位圆中，∠AOP=60°，则点P的坐标为_________________，sin∠AOP=_____________。图1-4解析：先过P点作x轴的垂线PM，连结PA，根据△AOP中OA=OP,∠AOP=60°可以求得PM、OM的长度，即P点的纵坐标与横坐标的值.再利用正弦函数的定义，可求得其正弦值.答案：3。求135°角的正弦。解:设135°角的终边与单位圆交于点P，则P点坐标为.∴sin135°=。10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。以下四个命题：①终边相同的角的正弦值相等；②终边不相同的角的正弦值不相等；③两个角的正弦值相等,则这两个角相等；④两个角的正弦值相等,则这两个角有相同的终边。其中错误的命题的个数为（）A。1B.2C。3解析：①正确;②错误，例如30°与150°的终边不相同,而sin30°=sin150°。③错误，例如sin30°=sin150°，而30°≠150°.④错误，例如sin30°=sin150°，而30°与150°的终边不相同.答案：C2。在［0,2π］上满足sinx≥的x的取值范围是（）A。［0，］B。［］C.［］D。[，π]解析：作出单位圆如图，过点（0,）作x轴的平行线，分别交单位圆于两点，连结圆心O和这两点,得到两条射线，这两条射线与x轴的非负半轴所成角分别为和。可得sinx≥的角x的范围是[］.答案:B3。（1）已知角α的终边经过点P（3,4），求角α的正弦。（2)已知角α的终边经过点P(3t,4t）(t≠0），求角α的正弦.解：（1）由x=3，y=4,得|OP｜=r=，∴sinα=.（2）由x=3t，y=4t,得r==5｜t|。当t>0时，r=5t,sinα=；当t<0时，r=—5t,sinα=。4.已知角α的终边落在直线y=2x上，求sinα的值。解:（1)当终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2）。由|OP｜=得sinα=.（2）当终边在第三象限时，在角的终边上取点Q（—1，-2）。由|OP｜=得sinα=。5。在单位圆中画出适合条件sinα=的角α的终边.解:作直线y=交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角α的终边,如图。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列四个命题正确的是(）A.周期函数必有最小正周期B.只有三角函数才是周期函数C.因为y=sin(kx+2π)=sinkx(k∈Z)，所以sinkx的最小正周期是2πD.周期函数的定义域一定是无限集解析:A错,常数函数y=C（C为常数）为周期函数，但无最小正周期.B错,由A可知.C错,sin（kx+2π）=sink(x+）=sinkx，其周期为,周期的大小由k的取值决定.D正确,由周期函数的定义可知.答案：D2。已知角α的终边与射线y=-3x(x≥0）重合,则sinα等于(）A.B。C.D.解析：在α终边上取一点P(1，—3),此时x=1,y=-3，∴r=。∴sinα=.答案：A3。若点P（2m,-3m）（m＜0)在角α的终边上,则sinα=______________.解析：点P（2m，-3m)（m〈0）在第二象限，r=,∴sinα=。答案：4。已知角α的终边与函数y=的图像重合，求sinα。解：由题意可知α的终边在第一或第三象限.若α终边在第一象限，则在终边上任取点P（2,3）.此时x=2，y=3，r=.∴sinα=.若α终边在第三象限，则在终边上任取点P(—2，—3）.此时x=—2，y=—3，r=.∴sinα=.5.已知角α的终边经过点P(—4a，3a）（a≠0),求sinα的值.解：r=。若a>0时，r=5a,α角在第二象限.sinα=；若a〈0时，r=—5a，α角在第四角限.sinα=。6.在单位圆中画出适合条件sinα≥的角α终边的范围，并由此写出角α的集合.解:作直线y=交单位圆于A、B两点,连结OA、OB,则OA与OB围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围。故满足条件的角α的集合为｛α｜2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}.7.对于函数y=sinx，x∈R，有sin（）=sin,所以是y=sinx，x∈R的周期。这种说法正确吗？为什么？解析：因为sin（+）≠sin，由周期函数的定义知不是y=sinx的周期.答案：不正确，因为不能保证定义域内所有的x都满足sin(x+)=sinx.8。对于函数y=sin2x,x∈R，有sin(2x+2π)=sin2x，所以2π是y=sin2x，x∈R的周期.这种说法对吗?若不对,它的周期是什么？解：通过反例解决。显然2π是y=sin2x的一个周期，但由sin(2x+2π)=sin2x得出y=sin2