数学优化训练：数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.3数学归纳法5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1。用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N＊），验证n=1时等式的左边为(）A.1B。1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案：C解析：当n=1时,左边=1+a+a2.2。用数学归纳法证明不等式+…+>（n≥2)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边（）A。增加了一项B。增加了两项C。增加了B中的两项但减少了一项D。以上均不正确答案：C解析：在n=k+1时，用k+1替换n，再与n=k时比较。3。用数学归纳法证明“1+++…+<n（n∈N＊且n>1）"时，由n=k（k>1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（)A。2k-1B.2k-1C。2k答案:C解析:增加的项数为(2k+1—1)—（2k—1)=2k+1—2k=2k。4。凸n边形有f(n）条对角线,则凸n+1边形的对角线条数f（n+1)与f（n)之间的关系为_________.解析：设凸n+1边形为A1A2……AnAn+1，连结A1An,则凸n+1边形的对角线是由凸n边形A1A2…An的对角线再加A1An,以及从A即f(n+1）=f(n）+1+n—2=f（n)+n-1.答案：f（n+1）=f(n）+n-110分钟训练（强化类训练，可用于课中)1。若命题A(n）（n∈N＊）,n=k（k∈N*)时命题成立,则有n=k+1时命题成立。现知命题对n=n0（n0∈N*)时命题成立,则有（）A.命题对所有正整数都成立B。命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C。命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确答案：C2。用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N＊）"的过程中,第二步n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A。1+2+22+…+2k-2+2k—1=2k+1—1B。1+2+22+…+2k+2k+1=2k—1+2k+1C。1+2+22+…+2k—1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k—1+2k=2k—1+2k答案:D3.已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列。（1）求和：a1-a2+a3=____________;a1-a2+a3—a4=____________。(2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论为________________________________.解析：（1）a1-a2+a3=a1-2a1q+a1q2=a1（1—q)2，a1—a2+a3-a4=a1-3a1q+3a1q2—a1q3=a1（1-q）3.(2）归纳猜想:左边结构为a1-a2+a3-a4+…+(-1）nan+1,右边为a1(1—q)n。答案：（1)a1（1—q）2a1（1—q)3（2)a1-a2+a3—a4+…+（—1）nan+1=a1(1—q）n4.使｜n2-5n+5｜=1不成立的最小的正整数是____________。解析：n=1、2、3、4代入验证成立，而n=5验证不成立。答案：55。用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在验证n=1正确后,归纳假设应写成____________.解析:第k个奇数为2k-1.答案:假设n=2k—1(k∈N+)时命题成立6.已知Sn=1+++…+(n〉1，n∈N*）,求证:〉1+(n≥2，n∈N*).证明：(1）当n=2时，=1+++=>1+2，即n=2时命题成立。（2）设n=k时命题成立,即=1+++…+〉1+，当n=k+1时，=1+++…+++…+〉1++>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由（1)(2)知,对n∈N*,n≥2,〉1+都成立.30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1。设f（n）=1++++…+12n—1，则f（k+1)-f（k）等于（）A.B。++C.+D.+++…+答案：D解析：n=k时，f(k)=1+++…+。n=k+1时,f（k+1)=1+++…+++…+。∴f（k+1）—f（k)=++…+.2.如果命题p（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是(）A.p(n）对所有正整数n都成立B。p(n)对所有正偶数n都成立C.p（n）对所有正奇数n都成立D.p（n）对所有自然数n都成立答案：B3。用数学归纳法证明（n+1)（n+2)·…·(n+n）=2n·1·3·…·（2n—1）（n∈N＊）,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为()A.2k+1B.2（2k+1）C。D。答案：B4.若f（n)=1+++…+（n∈N*),则n=1时，f(n）是(）A。1B。C.1++D.非以上答案答案：C5.数列｛an｝中，a1=2，an+1=(n∈N*）.依次计算a2、a3、a4后归纳、猜想出an的表达式为______________.解析:容易求得a2=，a3=，a4=.∴an=。答案:an=6。证明1++…+〉（n∈N*）,假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项有______________项。解析:2k+1—1-2k+1=2k答案：2k7。数列{an}满足Sn=2n—an,先计算数列的前4项，后猜想an并证明之。解：由a1=2-a1,得a1=1，由a1+a2=2×2—a2,得a2=.由a1+a2+a3=2×3—a3，得a3=.由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.猜想an=.下面证明猜想正确。（1)当n=1时,由上面的计算可知猜想是成立的。（2）假设当n=k时猜想成立，那么ak=,此时Sk=2k—ak=2k。当n=k+1时,由Sk+1=2（k+1）—ak+1得Sk+ak+1=2（k+1)-ak+1.∴ak+1=［2（k+1)—Sk］=k+1(2k)=。这就是说,当n=k+1时，等式也成立。由(1）（2)可以断定,an=对任意正整数n都成立。8。已知函数f（x）的定义域为［0,1],且满足下列条件：①对于任意x∈［0，1],总有f（x）≥3,且f(1）=4；②若x1≥0,x2≥0，x1+x2≤2，则有f(x1+x2)≥f（x1)+f(x2)—3.(1)求f（0)的值。(2)求证：f（x）≤4.（3）当x∈（,］（n=1，2，3,…）时，试证明f（x)<3x+3。解析：（1）令x1=x2=0,由①对于任意x∈［0，1］，总有f（x)≥3，∴f(0）≥3.又由②得f(0)≥2f(0)-3，即f（0)≤3；∴f(0)=3。（2）任取x1,x2∈[0，1］,且设x1〈x2.则f(x2)=f［x1+(x2-x1)］≥f（x1）+f(x2—x1)—3，∵0〈x2—x1≤1,∴f(x2-x1）≥3,即f(x2—x1）-3≥0.∴f（x1)≤f（x2）.∴当x∈［0，1]时，f（x）≤f（1)=4.（3)先用数学归纳法证明:f（）≤+3（n∈N＊）.①当n=1时，f(）=f(1)=4=1+3=+3，不等式成立；②假设当n=k时，f（)≤+3(k∈N＊）。由f()=f［+(+)］≥f()+f(+）—3≥f（）+f()+f（）-6，得3f()≤f（）+6≤+9。∴f（)≤+3,即当n=k+1时，不等式也成立.由①②可知，不等式f（）≤+3对一切正整数都成立.于是，当x∈(，］（n=1,2,3，…）时，3x+3>3×+3=+3≥f(），而x∈［0，1］，f（x)单调递增，∴f(x)〈f(）。∴f（x）<f（)<3x+3。9。已知an=1+++…+（n∈N＊），是否存在n的整式q（n),使得等式a1+a2+…+an—1=q（n）（an-1)对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论.解:假设存在q（n)，去探索q(n)等于多少.当n=2时，由a1=q(2)（a2-1),即1=q（2)（1+-1)，