数学优化训练：三角函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.3.2三角函数的图象与性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1.在［0，2π]上画出下列函数的简图：（1）y=sinx—1；(2）y=2cosx.解：画函数的简图，可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，所以,最好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确。（1)第一步:按五个关键点列表；x0π2πsinx010-10sinx—1-10-1—2—1第二步：描点；第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来。（2)第一步:按五个关键点列表；x0π2πcosx10—1012cosx20-202第二步:描点;第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.2.利用五点法作出下列函数的简图：(1）画出y=sinx的图象;（2）画出y=sinx，x∈[0，2π］的图象.请比较（1）和(2）两个小题的图象有什么区别？解：这两个函数的定义域不同。第(1）题定义域为R,第（2)题的定义域为［0，2π]。［0，2π]是R的真子集，所以第(2）题当x∈［0，2π］时的函数图象就是第(1）题图象的一部分.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.(2000上海）函数y=sin(x+)(x∈［—，]）是（)A。增函数B。减函数C。偶函数D。奇函数思路解析：y=sin(x+)=cosx(x∈［-,］)，由余弦函数的性质知，y=cosx为偶函数.答案:C2。设M和m分别表示函数y=cosx—1的最大值和最小值,则M+m等于（）A。B.-C。-D。—2思路解析：因为函数g(x）=cosx的最大值、最小值分别为1和—1，所以y=cosx—1的最大值、最小值为-和—.因此M+m=—2。答案：D3。下列函数中,既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A.y=tan|x｜B.y=cos(-x）C。y=sin(x-)D.y=|cot|思路解析:都为偶函数，但y＝tan|x|,y＝cos（—x),y＝|cot|在（0，π）上不是增函数，y＝sin(x-）＝—cosx在（0,π）上是增函数．答案：C4。求函数y=的值域．思路解析：此类题型可转化为分式函数的值域的求法，即分离常数法，或通过反解sinx法,利用sinx的值域确定函数的值域．解法一：由y==3—．当sinx=1时，ymax=；当sinx=—1时,ymin=—2．∴函数的值域为[—2,］．解法二：由y=，得sinx=．∵|sinx｜≤1,∴｜|≤1。解得—2≤y≤．∴ymax=，此时sinx=1；ymin=-2，此时sinx=—1．∴函数的值域为［-2，］．5.方程sinx=的根的个数为_______________．思路解析:这是一个超越方程，无法直接求解,考虑数形结合思想,转化为函数y=的图象与函数y=sinx的图象的交点个数，借助图形直观求解．当x≥4π时，≥〉1≥sinx；当0<x<4π时，sin=1>=。从而x〉0时，有3个交点，由对称性x〈0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点．答案：76.画出下列函数的简图：(1）y=3+sinx,x∈[0，2π]；（2)y=2-sinx，x∈［0,2π］；(3)y=—cosx+3，x∈［-π，π］.思路解析：可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，整理数据，描点画图．答案：志鸿教育乐园迟了在地铁里，一位男子发现扒手正在掏他的钱包，便幽默地说：“老兄，你来晚了！我今天虽然领了薪水，但我太太下手比你快多了!”30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.（2005全国卷Ⅱ）已知函数y=tanωx在(—，)内是减函数，则（)A。0<ω≤1B.-1≤ω〈0C。ω≥1D。ω≤-1思路解析:由≥π，∴|ω|≤1.若ω>0,其图象与y=tanx在(-，）上有相同的增减性,∴ω＜0。∴y=tanωx是减函数.答案:B2.(2005北京春季)如果函数f（x)=sin（πx+θ)（0〈θ<2π）的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值,那么(）A．T=2,θ=B。T=1,θ=πC.T=2,θ=πD。T=1,θ=思路解析：本题考查正弦函数的周期和最值问题.Y=sin(ωx+θ）,其周期T=，当ωx+θ＝2kπ+时取得最大值。由题知T==2，又当x=2时，有2π+θ＝2kπ+.所以θ＝2(k-1)π+。又0＜θ＜2π,则k=1,θ=.A正确.答案：A3。若f（x）=tan（x+)，则(）A。f(0）>f(-1)〉f(1)B。f(0)〉f（1)〉f(—1)C。f（1)〉f(0)>f(—1）D。f(-1)〉f（0）>f（1）思路解析：在(—，）上,y=tanx为增函数.根据诱导公式把x+转化到（—,）上再比较大小.f（1)=tan(1+)=tan(1—）。又-＜1-<—1<,所以f(0）>f（—1)>f(1）.A正确.答案:A4。函数y=2sinx的单调增区间是（)A.[2kπ—，2kπ+](k∈Z)B.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z)C。［2kπ-π,2kπ］(k∈Z）D.［2kπ，2kπ+π］（k∈Z)思路解析：函数y=2x为增函数,因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.答案：A5.函数y=x+sin｜x｜,x∈［-π，π］的大致图象是（)图1-3思路解析:由奇偶性定义,可知函数y=x+sin|x｜，x∈［—π,π］为非奇非偶函数,选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇偶函数。答案:C6。函数y=tan(x—)在一个周期内的图象是（）图1思路解析：本题主要考查正切函数的性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键。y=tan(x—）=tan(x—),显然函数周期为T=2π,且x=时，y=0。答案:A7。在下列各区间中,函数y＝sin(x+）的单调递增区间是（)A。[，π]B.［0，]C。[—π,0］D。[，］思路解析：y=sin(x+)的递增区间是2kπ—≤x+≤2kπ+，k∈Z，即-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z。当k=0时，区间是[—，]，已知区间［0，］是它的子区间，故应选B.注意这里给出的区间不是某整个递增区间，而是它的一个子区间，要善于鉴别.答案：B8.求函数y=3tan（—）的周期和单调区间.思路解析:把原函数用诱导公式化为y=—3tan（-）的形式，使x的系数ω〉0，有利于利用复合函数判断单调性.解：y=3tan（-）=-3tan（—），∴T===4π.由kπ-〈—〈kπ+（k∈Z），得4kπ—<x<4kπ+（k∈Z).∵3tan(-）在（4kπ—，4kπ+）(k∈Z)内单调递增,∴y=—3tan（-）在（4kπ—，4kπ+)（k∈Z）内单调递减.故原函数周期为4π,递减区间为(4kπ-，4kπ+）(k∈Z）。9.有两个函数f（x）=asin（ωx+），g(x）=btan（ωx-）（其中ω〉0）。已知它们的周期之和为，且f（）=g（),f（）=-g（）+1，你能确定a、b、ω的值吗？思路解析：y=Asin（ωx+φ)的周期是,y=Atan（ωx+φ）的周期是.另外，待定系数法、方程的思想是解决本题的关键.解：∵f(x）的周期为，g（x）的周期为，由已知+=，得ω=2，∴函数式为f（x）=asin（2x+），g（x）=btan（2x-）.由已知，得方程组即解得∴a=1,b=，ω=2。10。求函数y=—2tan(3x+）的定义域、值域，