数学-高考数列求和解题模板

数列求和方法的解题模板【考点综述】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位.数列求和的常用方法主要有分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等，在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：公式法使用情景：已知数列为等差或等比类型解题模板：第一步结合定义，确定等差或等比数列；第二步根据已知条件列方程求出基本量；第三步利用前项和公式求和结果解题模板应用：例1设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．【答案】解析】解题模板选择：本题中为等差数列，故选取解题方法模板一公式法进行解答.解题模板应用：第一步结合定义，确定等差或等比数列；所以，即为等差数列，第二步根据已知条件列方程求出基本量；，，解得第三步利用前项和公式求和结果练习1.等比数列中，已知对任意自然数，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列的前项和为，根据题意，并结合，可求，进而求出的通项公式，由此可判断是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列前项和公式，即可求出结果.【详解】设等比数列的前项和为，则；当时，；当时，；当时，上式亦满足；所以，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列所以.故选：B．【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，和等比数列前项和公式的应用，属于基础题.2.已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，得两式相减得，从而可得到数列的通项公式，根据“和谐项”的定义可得，然后利用等比数列的前项和公式可得答案.【详解】因为，所以，则，即，，，因为，所以，故，因为，所以，数列的所有“和谐项”的平方和为：，故选：A.【点睛】本题考查等比数列前项和公式的应用，考查通项公式的求解，考查计算能力，属于中档题.3.将正整数20分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为20最佳分解.当（且，）是正整数的最佳分解时，定义函数，则数列的前2020项的和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当为偶数时，，当为奇数时，，再利用等比数列的求和公式求数列的前2020项的和.【详解】当为偶数时，，当为奇数时，，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知是公差为3的等差数列，数列满足，，.（1）求的通项公式；（2）求的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用赋值法求得，由此求得的通项公式.（2）由化简已知条件，证得数列是等比数列，由此求得.【详解】（1）是公差为3的等差数列，，，，可得，解得，则.（2）由，可得，即为，可得数列的首项为，公比为的等比数列，可得的前n项和.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等比数列前项和公式，属于中档题.5.已知数列与均为等差数列，且，则_____，_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由数列为等差数列，设公差为，可得：，再根据为等差数列，根据等差数列的性质，列式即可得解.【详解】设，所以，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数或常数函数，所以所以所以故答案为：；.【点睛】本题考查了等差数列的概念和性质，考查了等差数列的通项公式的函数特征，计算量一般，属于中档题.解题方法模板二：分组法使用情景：通项为等差与等比和的类型解题模板：第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.解题模板应用：例2已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项Sn.【答案】解题模板选择：本题中通项为等差与等比和，故选取解题方法模板二分组法进行解答.解题模板应用：第一步，即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步，根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步，分别求出各个数列的和；第四步，把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.练习6.已知数列满足，是数列的前项和，则（）A.是定值，是定值 B.不是定值，是定值C.是定值，不是定值 D.不是定值，不是定值【答案】A【解析】【分析】按照的奇偶分类讨论，可得以及，再根据等差数列的定义可得，而，即可求出为定值，采用并项求和的方式即可求出也为定值．【详解】当，则，，∴，即有，，作差得，∴，∴，令可得，，∴为定值．而也为定值．故选：A．【点睛】本题主要考查利用数列的递推式判断数列的性质，以及并项求和法的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．7.已知数列的通项公式为，其前项和为，则________.【答案】2020【解析】【分析】设，可并项求和，再分析，周期为，前4项为，则，再得到.【详解】设，则,为正奇数，则，由，有周期性可知，前2020项和为0，所以.故答案为：2020【点睛】本题考查了分组求和，并项求和，属于基础题.8.已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法求得.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，则，，由于是和的等差中项，即，即，解得.因此，数列的通项公式为；（2），.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.9.已知数列的前项和为，，设.（1）证明：是等比数列；（2）设，求的前项和，若对于任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据的关系，即可容易证明，注意分两种情况；（2）根据（1）中所求，用裂项求和法求得，再根据的单调性求得的最大值，则问题得解.【详解】（1）当时，，当时，，所以，即，即，又∵，∴是首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，即，所以∴当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则.当为奇数时，是递增的，此时，则.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查利用递推关系证明数列是等比数列，以及利用裂项求和法求数列的前项和，涉及求利用数列的单调性求最值，属综合中档题.10.在数列中，，.（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）因为，整理可得，满足等差数列的特征，得证；（2）由（1）可知，，，所以，，根据n为偶数或奇数时的不同情况，分类讨论即可得解.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列.（2）由（1）可知，，，所以，.当n为偶数时，.当n为奇数时，为偶数，故，所以.【点睛】本题考查了等差数列的证明以及分组求和法，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中档题.解题方法模板三：裂项相消法使用情景：已知类型.解题模板：第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列通项公式；第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；第三步消项求和：即把握消项的规律，准确求和.解题模板应用：例3已知数列:,,,…,,…,若，那么数列的前项和为（）A．B．C.D．【答案】B【解析】解题模板选择：本题中，故选取解题方法模板三裂项相消法进行解答.解题模板应用：第一步，根据已知条件求出数列的通项公式；第二步，根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；所以．第三步，消项求和.，故选B.练习11.设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．（1）求证：点的纵坐标为定值；（2）若求；（3）已知=，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）设，根据，得到，结合对数的运算性质，求得，即可求解；（2）由（1）得出，结合数列的“倒序相加法”，即可求解；（2）当时，，求得，根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）设，因为，所以，由，可得，所以，所以所以点的纵坐标为定值（2）由（1）知由，可得，两式相加得：，所以.（2）当时，，，由，可得，所以，因为，当且仅当时，即时等号成立，所以，当时,因此，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及数列的综合应用，其中解答中熟练应用数列的“倒序相加法”和“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12.已知数列的前n项和为，且满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前n项和为，求证：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）运用数列的递推关系式，求得数列的首项，再由时，，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，得到，结合数列的“裂项法”求和，即可作出证明.【详解】（Ⅰ）由题意，数列前n项和满足，当时，，解得；当时，，则，即，即，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，则，所以数列的前n项和：，因为，所以，所以，即.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，等比数列的定义和通项公式，以及数列的“裂项法”求和的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.13.已知是等差数列，其前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为．【答案】（1）（）；（2）．【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得，，再利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得，则，则，即，所以数列的通项公式为（）；（22），，．【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于简单题目.14.在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.（1）求数列的通项公式；（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）选①，选②：根据相应条件，利用等差数列的性质列出关系，利用等比数列的通项公式化为关于公比的方程，求得公比，进而得到通项公式；选③：取n=1,即可求得公比的值，然后利用通项公式和求和公式检验符合条件,即得以解决.（2）利用分子分母同乘以分母的互为有理化因式，结合指数运算，将的通项公式裂项，然后相加相消求和即可.【详解】解：设等比数列的公比为，（1）选①：因为，，成等差数列，所以，因为，所以，，，所以，即.又，解得，所以.选②：因为，，成等差数列，所以，即,化简得，所以，即，又，解得，所以.选③：因为，所以，则，所以.，，经验证符合.（2）因为，则.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，裂项相消求和法，涉及等差中项性质和较强的运算能力，属中档题.15.已知函数的最小值为2.（1）求a的值以及f（x）的单调区间；（2）设，n∈N*，证明：.【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求导数，再求导函数零点，确定函数单调性，根据单调性确定最小值取法，根据最小值为2求出a的值，并可确定单调区间；（2）先根据（1）得，再放缩得，最后根据裂项相消法证得不等式.【详解】（1），当时，单调递增；当时，单调递减；因此当时，取最小值，即；因此单调增区间为，单调减区间为；（2）由（1）得【点睛】本题考查利用导数求函数最值、单调区间以及证不等式、裂项相消法求和，放缩法证不等式，考查综合分析论证与求解能力，属难题.解题方法模板四：错位相减法使用情景：通项为等差乘等比类型.解题模板：第一步巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第三步求和：根据差式的特征准确求和.解题模板应用：例4已知数列满足，.记，则数列的前项和__________．【答案】【解析】解题模板选择：本题中通项为等差乘等比，故选取解题方法模板四：错位相减法进行解答.解题模板应用：解题模板：第一步根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；因为，所以所以，第二步写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；因为所以第三步根据差式的特征准确求和.练习16.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且S3＝3S2+1.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足，求数列bn的前n项和Tn；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）设公比为，由等比数列的通项公式，解方程可得，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）由题意可得，，由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；（Ⅲ）由题意可得恒成立，设，说明其单调性，求得最大值即可．【详解】（Ⅰ）等比数列的公比设为，前项和为，，且，可得，解得或，则；或；（Ⅱ）数列为递增数列，可得，数列满足，即为，前项和，，相减可得，整理得；（Ⅲ）因为,,所以设，则当时，当时，当时有最大值为,所以.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立问题解法，化简整理的运算能力，属于较难题．17.已知数列是等比数列，数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先设等比数列的公比为，然后可根据已知条件求出，然后求出和，进而求出的通项公式；（2）首先求出数列的通项公式，再根据数列的通项公式的特点运用错位相减法求出的前项和.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，由于数列满足，，．当时，则，即，可得；当时，则，即，可得.，，；（2），即，，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，.设数列的前项和为，则，①，②①②得，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18.正项数列前项和为，且.（1）求；（2）令，求前项和为.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令可求得的值，令，由，可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该等差数列的公差，进而可求得数列的通项公式；（2）求得，然后利用错位相减法可求得数列的前项和.【详解】（1）对任意的，，且.当时，，整理得，解得；当时，由可得，两式作差得，则，，，，所以，数列是以为公差的等差数列，且首项为，；（2）.，则，上式下式得，因此，.【点睛】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.19.已知正项等比数列满足，，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）令求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质得出公比为，从而得出数列的通项公式，由对数的运算性质得出的通项公式；（2）求出，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列的公比为，由，，可得，解得（舍）可得，则（2）两式相减可得化简可得【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求和，属于中档题.解题方法模板五：倒序相加法使用情景：等距两项之和相等的数列类型.解题模板：第一步确定等距两项之和；第二步写出的表达式，以及倒序写出的表达式，第三步对应相加求出结果.解题模板应用：例5已知.求数列的前项和.【答案】【解析】解题模板选择：本题涉及周长问题，故选取解题方法模板五基本不等式进行解答.解题模板应用：第一步确定等距两项之和；第二步写出的表达式，以及倒序写出的表达式，∴，第三步对应相加求出结果..练习20.已知函数满足，若函数与的图像交点为，则（）A.0 B.mC.4m D.2m【答案】D【解析】【分析】先判断函数与的图像都关于对称，得到其交点也关于对称，可得，，从而可得结果．【详解】因为，所以，可得的图像关于对称，又因为，所以的图像可由函数的图像先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，所以的图像关于对称，函数与的图像交点为也关于对称，所以，，设，则，两式相加可得，所以，设，同理可得，所以，故选：D．【点睛】本题主