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4.3.2（1）等比数列的前n项和公式

国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求."

国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.【情景引入】“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求."【情景引入】各个格子里的麦粒数依次是：发明者要求的麦粒总数：等比数列等比数列前64项和S64

=1+21+22+……+261+262+263【思考1】观察相邻两项的特征，有何联系？如果我们把每一项都乘以2，就变成了与它相邻的后一项【思考2】将上述①式两边同乘以2，得到②式，比较①、②两式，你有什么发现？两式右边中间的一些项是相同的①

2S64

=②21+22+23+……+262+263+264由②–①

得：S64

=264–1

已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.故国王不能实现他的诺言.【思考】上述方法能否推广到求一个等比数列的前n项和？纵观全过程，①式两边为什么要乘以2？S64

=1+21+22+……+261+262+263①

2S64

=②21+22+23+……+262+263+264

【问题2】设等比数列{an}的公比为q，求{an}的前n项和Sn.Sn

=a1+a2+a3+……+an-2

+an-1+an①乘公比错位排列②相减错位相减法一、等比数列的前n项和公式

——用等比性质推导一、等比数列的前n项和公式的推导欣赏

当q≠1时，a1=a2=…=an当q=1时，此时Sn=na1

——借助和式的代数特征进行恒等变形当q=1时，当q≠1时，一、等比数列的前n项和公式的推导欣赏

若q未知，用公式时要考虑q是否为1

若q未知，用公式时要考虑q是否为1

若q未知，用公式时要考虑q是否为1

法1：若q未知，用公式时要考虑q是否为1法2：【问题3】你能发现等比数列前n项和公式

的函数特征吗？

二、等比数列的前n项和公式的函数特征

1.q≠1时，设，Sn=

，即Sn是n的指数型函数.2.q=1时，因为a1≠0，所以Sn=

，Sn是n的正比例型函数.

na1注意点：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项

互为相反数.【练习】数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝____.【例2】Sn

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