专题05 一元二次方程【考点精讲】（解析版）

专题05一元二次方程一、一元二次方程一元二次方程概念（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.解法（降次）①直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解根的判别式（1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;

（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;

（3）当b2-4ac<0时，方程无实数根.根与系数的关系如果关于的一元二次方程的两根（当）为,,那么有【扩展】一元二次方程根与系数关系的两类应用（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程【考点1】一元二次方程的概念【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴，∴，故选A．【例2】将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数为______，一次项系数为________，常数项为________．【答案】

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0【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为，故二次项系数、一次项系数、常数项分别是．故答案为．1．（2022·辽宁·阜新实验中学九年级阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A．，即，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B．，当a、b、c均为常数，而时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C．是一元二次方程，故此选项符合题意；D．不是整式方程，故此选项不合题意；故选：C．2．（2022·福建·龙岩莲东中学九年级期中）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（）A．3，1 B．3， C．6，1 D．，【答案】D【详解】解：由一元二次方程的一次项系数、常数项分别是，；故选：D．3．（2022·江苏·东台市实验中学九年级阶段练习）一元二次方程的一次项系数是（）A． B． C． D．2【答案】C【详解】解：一元二次方程的一次项系数是，故选：C【考点2】一元二次方程的解法【例3】用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A． B． C． D．【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：，，，，故选：D．【例4】（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：【答案】，【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．【详解】解：∵∴或解得，．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择（1）当b=0时，首选直接开平法（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法（3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法（4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法1．（2022·江苏南京·九年级阶段练习）观察表格中数据，一元二次方程的一个近似解为（）x4.674.614.564.514.464.414.35A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵x=−1.12时，；x=−1.11时，；∴时，对应x应满足−1.12<x<−1.11，∴原方程的近似解为：−1.117．故选C．2．（2022·云南）方程2x2+1=3x的解为________．【答案】【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：，∴，∴或，解得：，故答案为：．3．（2022·广东·深圳市福田区北环中学九年级期中）设，分别为一元二次方程的两个实数根，则_________．【答案】【详解】解：m，n分别为一元二次方程的两个实数根，，即，，．故答案为：2012．4．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，因此有，解得，则方程为，解得另一个根为，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，因此，根的判别式，解得，则方程为，解得方程的根为，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；综上，的值为8或9，故答案为：8或9．5．（2022·四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：，，或，或，故方程的解为．【考点3】一元二次方程的判别式【例5】（2021·北京）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：，∴，∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，∵，∴，解得：，∵，∴．一元二次方程根的判别式：ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac.（1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;

（2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;

（3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.1．（2022·湖南怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0【答案】C【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．【详解】A选项中，，故方程无实数根；B选项中，，故方程无实数根；C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；D选项中，，故方程无实数根；故选C．2．（2022·浙江温州）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（

）A．36 B． C．9 D．【答案】C【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根∴解得故选：C．3．（2022·山东滨州）一元二次方程的根的情况为（

）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【答案】A【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．故选：A．【考点4】一元二次方程根与系数的关系【例6】（2022·湖北随州）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，此方程根的判别式，解得．（2）解：由题意得：，解得或，由（1）已得：，则的值为2．1．（2022·北京市第三十五中学九年级期中）已知、是一元二次方程的两个根，则______，______．【答案】

【详解】解：，，，，由根与系数的关系可知：，，故答案为：①；②2．（2022·广东·深圳实验学校九年级期中）设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．【答案】1【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，∴，，则原式．故答案为：1．3．（2022·湖北十堰）已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．【解析】(1)，∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；(2)方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．4．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．【详解】（1）由题意可得：解得：即实数m的取值范围是．（2）由可得：∵；∴解得：或∵∴即的值为-2．【考点5】方程运用1：增长率问题【例7】（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【答案】（1）10%；（2）13.31万【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，由题意得：，解得：，（不合题意，舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为．（2）（万人），答：六月份的参观人数为13.31万人．1．（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得．【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，∴故选C．2．（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，∴可列方程为：，故选：A．3．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20%(2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意得：，解这个方程得，，，经检验，符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．(2)设该市在2022年可以改造个老旧小区，由题意得：，解得．∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【考点6】方程运用2：利润问题【例8】（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，∴x-5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．1．（2022·山东青岛·九年级期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元之间，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．（1）若（个）表示这种台灯平均每月的销量，（元）表示这种台灯的售价，求与的函数关系式；（2）为了实现平均每月12000元的销售利润，求这种台灯的售价应定为多少元．【答案】(1)(2)60元【详解】（1）∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个∴（2）依题意，得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去），答：这种台灯的售价应定为60元．2.某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元?【答案】（1）平均下降率为10%；（2）单价应降低15元．【分析】（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解；（2）设单价应降低y元，根据题意可得每天的销售量为(20+2y)件，然后根据题意可列方程求解．【详解】解：（1）设平均下降率为x，由题意可得：200(1−x)2=162，解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去），∴x=01=10%，答：平均下降率为10%．（2）设单价应降低y元，根据题意可得：(200−162−y)(20+y)=1150，解得：y1=13，y2=15，根据题意，为了减少库存，所以应该降低15元，答：单价应降低15元．【考点7】方程运用3：赠送礼物【例9】（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（

）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．【详解】设有x支队伍，根据题意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B．1．台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，全宿舍共送56张照片，设该宿舍共有x名同学，根据题意，列出方程为（

）A． B． C． D．【分析】如果宿舍有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．【详解】解：∵宿舍有x名同学，∴每名同学要送出（x-1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x-1）=56．故选B．2．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设参加此次比赛的球队数为队，根据题意得：，化简，得，解得，（舍去），参加此次比赛的球队数是9队．故选：．【考点8】方程运用4：传播问题【例10】鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（）A．11只 B．12只 C．13只 D．14只【答案】B【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：x+1+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：x+1+x（x+1）＝169，整理，得x2+2x﹣168＝0，解，得x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意舍去）．答：设每只病鸡传染健康鸡12只．故选：B．1．由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了__________人.【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意得：，解得：，（舍去），即每轮传染中平均每个人传染了10人．故答案为：10．2．已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人．【分析】设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案．【详解】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，3（x+1）2=108，解得：x1=5，x2=8（不合题意，舍去），故答案为：5．【考点9】方程运用5：几何问题【例11】（2022·福建·龙岩莲东中学九年级期中）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十四步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？【答案】长是36步，宽是24步．【详解】解：设长为x步，则宽为步，依题意，得：，解得：（舍），则长是36步，宽是步答：长是36步，宽是24步．1．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至24日在云南省昆明市举办．昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长35米、宽20米的矩形场地上要开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余部分种植草坪，草坪面积为627平方米．设小道的宽为x米，则可列方程为________．【答案】（35−2x）（20−x）＝627【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35−2x）米，宽为（20−x）米，∴可列方程为（35−2x）（20−x）＝627，故答案为（35−