新高考数学二轮复习考点讲义第五讲函数的单调性、奇偶性、周期性讲义（原卷版）

第五讲：函数的单调性、奇偶性、周期性【考点梳理】1．增函数与减函数一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0：(1)如果对于定义域SKIPIF1<0内某个区间SKIPIF1<0上的任意两个自变量的值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，那么就说函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数．(2)如果对于定义域SKIPIF1<0内某个区间SKIPIF1<0上的任意两个自变量的值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，那么就说函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数．2．函数的最大值与最小值一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，如果存在实数SKIPIF1<0满足：(1)对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，那么，我们称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最大值．(2)对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，那么我们称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最小值．3．函数单调性的两个等价结论设SKIPIF1<0则(1)SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增。(2)SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0⇔f(x)在SKIPIF1<0上单调递减．4．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数SKIPIF1<0的定义域内任意一个SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0是偶函数关于SKIPIF1<0对称奇函数如果函数SKIPIF1<0的定义域内任意一个SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0是奇函数关于原点对称5.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.(3)若SKIPIF1<0是奇函数且SKIPIF1<0处有意义，则SKIPIF1<0.6．函数的周期性(1)周期函数：对于函数SKIPIF1<0，如果存在一个非零常数SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0取定义域内的任何值时，都有SKIPIF1<0，那么就称函数SKIPIF1<0为周期函数，称SKIPIF1<0为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数SKIPIF1<0的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做SKIPIF1<0的最小正周期．(3)常见结论：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【典型题型讲解】考点一：函数的单调性【典例例题】例1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有SKIPIF1<0>0成立，则必有（

）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．【变式训练】1.已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___.2.已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且对任意两个不相等的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·广东惠州·一模）已知SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．不确定4.“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0是在SKIPIF1<0上的单调函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0仅有1个零点，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．若函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的单调函数，则SKIPIF1<0的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点二：判断函数的奇偶性【典例例题】例1.已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．是偶函数，且在SKIPIF1<0是单调递增 B．是奇函数，且在SKIPIF1<0是单调递增C．是偶函数，且在SKIPIF1<0是单调递减 D．是奇函数，且在SKIPIF1<0是单调递减【方法技巧与总结】函数的奇偶性的判断：图像法、解析式法；常见函数的奇偶性。【变式训练】1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·广东·二模）存在函数SKIPIF1<0使得对于SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·广东广东·一模）下列四个函数中，以SKIPIF1<0为周期且在SKIPIF1<0上单调递增的偶函数有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点三：函数的奇偶性的应用【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）（多选）已知函数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0是偶函数 B．函数SKIPIF1<0是奇函数C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数 D．函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0例2．（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数SKIPIF1<0的图象大致为（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.【变式训练】1.（2021·广东汕头·高三期末）已知偶函数f(x)在区间SKIPIF1<0上单调递减，若f(-1)=0，则满足f(m)>0的实数m的取值范围是______．2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．3．（2022·广东深圳·一模）已知函数SKIPIF1<0是定义域为R的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．4．（2022·广东韶关·一模）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<05．（2022·广东·一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则图象如图的函数可能是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·广东广州·一模）若函数SKIPIF1<0的大致图象如图，则SKIPIF1<0的解析式可能是(

)SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·广东广东·一模）函数SKIPIF1<0的部分图象大致为（

）A． B．C． D．考点四：函数的对称性和周期性【典例例题】例1．设函数SKIPIF1<0的定义域为D，若对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0具有对称性，其中点SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的对称中心，研究函数SKIPIF1<0的对称中心，求SKIPIF1<0（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086【方法技巧与总结】（1）若函数SKIPIF1<0有两条对称轴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0；（2）若函数SKIPIF1<0的图象有两个对称中心SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0；（3）若函数SKIPIF1<0有一条对称轴SKIPIF1<0和一个对称中心SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0.【变式训练】1．（2022·广东珠海·高三期末）已知SKIPIF1<0是定义域在SKIPIF1<0上的奇函数，且满足SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<02．已知定义在R上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是奇函数，则（

）A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称C．SKIPIF1<0是奇函数 D．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称3．已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，且SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，又函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2021 B．SKIPIF1<0 C．2022 D．SKIPIF1<04．已知定义在R上的偶函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则下面结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，又函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，若SKIPIF1<0为偶函数且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．6【巩固练习】一、单选题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知函数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的最大值是M，最小值是m，则SKIPIF1<0的值等于(

)A．0 B．10 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．-11 B．-8 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题5．下面关于函数SKIPIF1<0的性质，说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在定义域上单调递减 D．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的对称中心6．已知定义在R上的偶函数SKIPIF1<0的图像是连续的，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0的一个周期为6 B．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减C．SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称 D．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上共有100个零点7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，且对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，都有SKIP