2025年高考二轮复习数学专题突破练2

专题突破练(分值:73分)学生用书P137一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)内存在零点,则实数m的取值范围是()A.(∞,18) B.(5,+∞)C.(5,18) D.(18,5)答案D解析函数f(x)在区间(2,4)内的图象是连续不断的,且为增函数,则根据零点存在定理可知,只需满足f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得18<m<5,所以实数m的取值范围是(18,5).故选D.2.当a>1时,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=logax的图象是()A. B.C. D.答案A解析依题意可将指数函数y=ax化为y=1ax,由a>1可知0<1a<1,由指数函数性质可得y=1ax为减函数,且过定点(0,1),即可排除B,D,由对数函数性质可得y=logax为增函数,且过定点(1,0),排除3.(2024·北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是()A.log2y1+y22C.log2y1+y22>x1+x2 D.log2答案A解析(方法一)∵y1=2x1,y2=2x2,∴y1+y2=2x1+2∴log2y1+y22>log2(方法二特值法)令x1=1,则y1=2,令x2=3,则y2=8.log2y1+y22=log22+82=log25>log24=24.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务,其中,中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比,当空间站运行周期增加1倍时,其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据:ln2≈0.693,e0.462≈1.587)()A.1.587 B.1.442C.0.587 D.0.442答案C解析由空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比,可设T2=kR3(k≠0),当空间站运行周期增加1倍时,设此时半径为R1,则(2T)2=kR13,两式相比得4=即ln4=lnR1R3,lnR1R故R1R≈e0.462≈1.587,故圆轨道半径增加的倍数大约是1.5871=0.故选C.5.设正实数a,b,c分别满足a·ea=b·lnb=c·lgc=1,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.a>c>b答案C解析由a·ea=b·lnb=c·lgc=1,得1a=ea,1b=lnb,1c=lg分别作函数y=ex,y=lnx,y=lgx的图象如图所示,它们与函数y=1x的图象交点的横坐标分别为a,b,c,由图象可得a<b<c.故选C6.(2024·广东湛江二模)已知函数f(x)=|2x1|a,g(x)=x24|x|+2a,则()A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点答案D解析作出y=m(x)=|2x1|,y=n(x)=x24|x|+2的大致图象如图所示.两个函数的零点个数转化为y=m(x),y=n(x)的图象与y=a的图象的交点个数,由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时,f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点.故选D.7.(2024·湖南长沙一模)函数f(x)=ax3ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充分不必要条件是()A.a≠0,且a>4b B.a>0,且a>4bC.a<0,且a>4b,b≠0 D.a<0,且a<4b,b≠0答案D解析f(x)=ax3ax2+bx=x(ax2ax+b),有f(0)=0,若f(x)有三个零点,则有a24ab>0且a≠0,b≠0,故函数f(x)=ax3ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充要条件为a24ab>0且a≠0,b≠0,对于A,a≠0,且a>4b,则当a<0时,有a2<4ab,不符,故A错误;对于B,可能b=0,不符,故B错误;对于C,a<0且a>4b,b≠0,则a2<4ab,不符,故C错误;对于D,a<0,且a<4b,b≠0,则a2>4ab,即由a<0,且a<4b,b≠0能得到a24ab>0且a≠0,b≠0,但a24ab>0且a≠0,b≠0并不意味着a<0,且a<4b,b≠0,故a<0,且a<4b,b≠0是a24ab>0且a≠0,b≠0的充分不必要条件.故选D.8.(2024·陕西榆林二模)已知函数f(x)=(x24x+m)(4x3m1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是(A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析令f(x)=(x24x+m)(4x3m1)=0,得m=x2+4x或m=4x31.作出g(x)=x2+4x,h(x)=4x3这两个函数的图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>1,所以由图可知m的取值范围是(1,0)∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1或2,个数为2.故选B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·辽宁二模)半导体的摩尔定律认为,集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年,用f(t)表示从t=0开始,晶体管数量随时间t变化的函数,若f(0)=1000,则下面选项中,符合摩尔定律公式的是()A.若t是以月为单位,则f(t)=1000+1B.若t是以年为单位,则f(t)=1000×(2)tC.若t是以月为单位,则lgf(t)=3+lg224D.若t是以年为单位,则lgf(t)=3+lg答案BC解析选项A,f(24)=2000=2f(0),f(48)=3000≠2f(24),A不符合;选项B,f(2)=2000=2f(0),f(4)=4000=2f(2),f(2n)=1000×2n,n∈N*,符合;选项C,lgf(t)=3+lg224t,则f(t)=103+lg224t=1000×2t24,f(24)=2×1000,f(48)=4000=2f(24),f(24n)=1000×2n,n∈N*,符合;选项D,lgf(t)=3+lg32t+12,f(t)=1000×32t+112,f(2)=2×1000=2f(0),f(4)10.已知log2(x+1)=log2(x1)+log5x,log5(y+1)=log5(y1)+log2y,则()A.x+y>7 B.x+y<7C.2x<5y D.2x>5y答案BC解析由已知,得x>1,y>1.令m=log5x,则x=5m,所以log2(5m+1)=log2(5m1)+m,所以log2(5m+1)=log2(5m1)+log22m=log2[(5m1)2m],所以5m+1=10m2m.等式两边同时除以10m,得2m+10m=15m,即2m+5m+10m1=0.同理,令n=log2y,有2n+5n+10n1=0.所以m,n是方程2x+5x+10x1=0的两个实根.设f(x)=2x+5x+10x1,则易知f(x)在区间(∞,+∞)上单调递减,所以m=n.又因为f(0)=2>0,f(1)=0.2<0,所以m,n∈(0,1).故log5x=log2y,且1<x<5,1<y<2,所以x+y<7.又2x5y所以2x<5y.故选BC.11.(2024·江西宜春模拟预测)已知函数f(x)=2-|log12x|,0<x≤2,-x2+8A.若g(x)有2个不同的零点,则2<a<5B.当a=2时,g(f(x))有5个不同的零点C.若g(x)有4个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则x1x2x3x4的取值范围是(12,13)D.若g(x)有4个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则ax1x2+x3+x4a的取值范围是答案BCD解析由函数f(x)=2-|log2x|,0<x≤2,-x2+8x-对于A,由g(x)=f(x)a=0,可得f(x)=a,若g(x)有2个不同的零点,结合图象知a<1或2<a<5,故A错误;对于B,当a=2时,由g(f(x))=0,可得f(f(x))=2,令t=f(x),则有f(t)=2,可得t1=1,t2=43,t3=4+3,结合图象知,t1=f(x)有3个不相等的实数根,t2=f(x)有2个不相等的实数根,t3=f(x)没有实数根,所以g(f(x))有5个不同的零点,故B正确;对于C,若g(x)有4个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则1<a<2,且2+log2x1=2log2x2,则x1x2=1,由二次函数图象的对称性得x3+x4=8,则x1x2x3x4=x3x4=x3(8x3),结合B知x3∈(2,43),所以x3(8x3)∈(12,13),所以x1x2x3x4的取值范围为(12,13),所以C正确;对于D,由ax1x2+x3+x4a=a+8a由对勾函数的性质,可得h(a)=a+8a在(1,2)上单调递减,可得a+8a∈(6,9),所以ax1x2+x3+x4a的取值范围为(6,9),三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·云南曲靖一模)如图,在第一象限内,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=log

33x,y=x13,y=33x的图象上,且矩形的边分别与两坐标轴平行,若点A的纵坐标是2,答案1解析由题意,A,B纵坐标都为2,则点B的横坐标为8,即点C的横坐标为8,点A的横坐标为332=13,点C的纵坐标为338=13.(2024·河南二模)已知函数f(x)是偶函数,对任意x∈R,均有f(x)=f(x+2),当x∈[0,1]时,f(x)=1x,则函数g(x)=f(x)log5(x+1)的零点有个.

答案4解析函数f(x)是偶函数,说明函数f(x)的图象关于y轴对称,f(x)=f(x+2)说明f(x)的周期是2,在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与y=log5(x+1)的图象,如图所示,共有4个不同的交点,即g(x)=f(x)log5(x+1)有4个零点.14.(2024·陕西西安一模)f(x)=ex+1,x≤0,1x,x>0,若y=f(f(x)答案1解析易知函数y=ex在R上单调递增,函数y=1x在(0,+∞)上单调递减所以,当x≤0时