一元二次方程压轴题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页一元二次方程压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（）A．2011 B．2013 C．2018 D．20232．下列说法正确的是（）．①若，则一元二次方程必有一根为-2．②已知关于x的方程有两实根，则k的取值范围是﹒③一个多边形对角线的条数等于它的边数的4倍，则这个多边形的内角和为1620度．④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度，则原多边形的边数是11或12．A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④二、填空题3．在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm．4．对于3个数：，用表示这三个数的中位数，用表示这三个数的最大数．例如：．如果，则=______________．5．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α2+β的值为_____．6．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．三、解答题7．近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施．某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣10x+40，普通医用口罩每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣10z+66．药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率＝（销售单价-进价）÷进价）．（1）求两种口罩的进价；（2）市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？（3）在（2）的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值．8．新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N95口罩．重庆某药店3月初购进了一批护目镜和N95口罩，购进的N95口罩数量是护目镜数量的3倍．已知每个护目镜的售价比每个N95口罩的售价多40元，3月底护目镜和N95口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000元，N95口罩的销售额为6000元．（1）该药店3月初购进了多少个护目镜？（2）4月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜无法销售，而N95口罩数量比3月份增加了．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3月份降低了a%，N95口罩的售价比3月份降低了，4月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了15800元，求a的值．9．某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了，铺满B种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了，求a的值．10．作为巴渝文化的发源地，重庆在许多领域都首屈一指，而其中最具代表性的，当然还是它的美食．在无数美食中，最具地域特色的，非重庆火锅莫属．近年来，随着重庆市成为网红城市，许多游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．11月，洪崖洞附近一特产店购进A、B两种品牌火锅底料共450袋，其中A品牌底料每袋售价20元，B品牌底料每袋售价30元．11月全部售完这批火锅底料，所得总销售额不低于11500元．（1）A品牌火锅底料最多购进多少袋？（2）为了促进销量，12月，该店开展了优惠活动，A品牌底料的售价比11月的价格优惠，B品牌底料的售价比11月的价格优惠，结果12月售出的A品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的A品牌底料数量增加了，售出的B品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的B品牌底料数量增加了，结果12月的总销售额比11月最低销售额增加了，求a的值．11．接种疫苗是阻断病毒传播的有效途经，为了保障人民群众的身体健康，我国目前正在开展新冠疫苗大规模接种工作．现有、两个社区疫苗接种点，已知社区疫苗接种点每天接种的人数是社区疫苗接种点每天接种人数的1.2倍，社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天．（1）求、两个社区疫苗接种点每天各接种多少人？（2）一段时间后，社区接种点每天前来接种的人数比（1）中的人数减少了人，而社区疫苗接种点由于加大了宣传力度，每天前来接种的人数增加到了（1）中社区疫苗接种点每天接种的人数，这样社区接种点天与社区接种点天一共种完了69000支疫苗，求的值．12．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：．（1）填空：_；若，则_；（2）已知，求的取值范围；（3）小明发现，无论取何值，计算时，得出结果总是负数，你认为小明的结论正确吗？请说明理由．13．阅读理解：已知，求m、n的值．解：∵∴∴∴∴．方法应用：（1）已知，求a、b的值；（2）已知．①用含y的式子表示x：；②若，求的值．14．阅读下面的解题过程，求的最小值．解：∵=，而，即最小值是0；∴的最小值是5依照上面解答过程，（1）求的最小值；（2）求的最大值．15．观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；请写出第n个方程和它的根．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案1．B【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．【详解】解：与为同族二次方程．，，∴，解得：．，当时，取最小值为2013.故选：B.【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．2．A【分析】①由可得4a-2b+c=0，当x=-2时，4a-2b+c=0成立，即可判定；②运用一元二次方程根的判别式求出k的范围进行比较即可判定；③设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理求得n即可判定；④分剪刀所剪的直线过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法进行判定即可．【详解】解：①b=2a+c，则4a-2b+c=0，一元二次方程必有一个根为-2．故①说法正确；②：有两实数根，:原方程是一元二次方程．，故②说法错误；③设这个多边形的边数为n，则解得n=11或0(舍去）:这个多边形是11边形．:这个多边形的内角和为：(11-2)×180°=9×180°=1620°．故③说法正确；一个多边形剪去一个角的剪法有过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法，会有三个结果，故④错．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式以及多边形内角和定理，灵活应用所学知识是正确解答本题的关键．3．或【分析】设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可．【详解】解：设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，如图，过P点作，垂足为M点，，，四边形ABCD为矩形，在直角三角形PQM中，经过或秒P、Q两点之间的距离是5cm．故答案为：或．【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键．4．或【分析】由题意结合函数图像数形结合列出方程，解之可得．【详解】解：由题意知：∴设，做出图像如图：结合图像可知：在图像中的交点A，B两点处满足条件，此时解得：或，故答案为：或．【点睛】此题考查了函数图像与方程的相关知识，解题的关键是读懂题意，根据题意结合图像去求解，考查综合应用能力．5．2020【分析】根据根于系数的关系，确定α+β和αβ的值，然后将α代入x2﹣x﹣2019＝0可得，α2＝α+2019，最后再代入α2+β，即可.【详解】解：由题意可知：α+β＝1，且α2＝α+2019，∴α2+β＝α+β+2019＝1+2019＝2020，故答案为：2020．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型.6．10【详解】试题分析：根据一元二次方程的解，由x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，代入可得x22+5x2﹣3=0，即x22+5x2=3，然后根据题意2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，可得2x1•x2+a=4，再根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，由x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，求得x1x2=﹣3，即2×（﹣3）+a=4，解方程得a=10．7．（1）KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；（2）1.2≤x≤1.6；（3）62.4元【分析】（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元，根据“用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元”列方程解答即可；（2）根据KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%列出不等式组求解即可；（3）根据单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，求出z＝x﹣0.4，再根据口罩每天销售总利润和为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可．【详解】解：（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元，由题意得：1000a+1000（a﹣0.4）＝1200，解得：a＝0.8，则a﹣0.4＝0.4（元），答：KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；（2）由题意得：0.5≤≤1，解得：1.2≤x≤1.6，答：药店KN95口罩的销售单价范围为1.2≤x≤1.6；（3）∵单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同，∴z﹣0.4＝x﹣0.8解得：z＝x﹣0.4，设两种口罩每天销售总利润和为w元，根据题意，得：w＝（−10x+40）（x−0.8）+（−10z+66）（z−0.4）＝（−10x+40）（x−0.8）+[﹣10（x﹣0.4）+66]（x﹣0.4﹣0.4）＝（−10x+40）（x−0.8）+（﹣10x+70）（x﹣0.8）＝−20x2+126x−88，对称轴x＝＝3.15，w的图像关于x＝3.15对称，又∵﹣20＜0，w的开口方向向下，∴当1.2≤x≤1.6，w随x的增大而增大，∴当x＝1.6时，w最大＝﹣20×+126×﹣88＝62.4（元）．答：两种口罩每天销售总利润和的最大值为62.4元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数解析式．8．（1）200个；（2）12．【分析】（1）设该药店3月初购进了x个护目镜，等量关系为：每个护目镜的销售价－每个N95口罩的销售价=40，根据此等量关系列出分式方程，解方程即可；（2）等量关系为：4月份护目镜的销售总额－4月份N95口罩的销售总额=15800，根据此等量关系列出关于a的方程，解方程即可求得a的值．【详解】（1）设该药店3月初购进了x个护目镜由题意，得：解得：x=200经检验x=200是原方程的解，且符合题意故该药店3月初购进了200个护目镜．（2）由（1）知，该药店3月初购进了200个护目镜，600个N95口罩，护目镜每个的售价为10000÷200=50（元），N95口罩每个的售价为50-40=10（元），由题意，得：化简，得：解得：a=12或a=0（舍去）∴a=12．【点睛】本题是一个与销售有关的实际问题，考查了分式方程和一元二次方程的解法，关键是读懂题意，找到等量关系，解分式方程时一定要检验．9．（1）A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元；（2）【分析】（1）利用每套公寓需要地砖的数量=公寓的面积÷每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要A种地砖的数量及每套公寓需要B种地砖的数量，设B种地砖每块的进价为x元，则A种地砖每块的进价为(x+40)元，根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=350000，即可列出方程，解方程即可；（2）根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=总钱数，列出方程，即可得到关于a的方程，解方程即可求出a的值，当然取正值即可．【详解】（1）一套公寓用A种地砖需要：块一套公寓用B种地砖需要：块设B种地砖每块的进价为x元由题可得：解得：元故A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元．（2）由题可得：整理得：解得然：．∵，∴【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系，正确列出方程，同时（2）问是的方程比较复杂，要善于化简．10．（1）200袋；（2）40【分析】（1）设A品牌火锅底料购进x袋，则B品牌火锅底料购进（450-x）袋，根据总销售额=销售单价×销售数量，结合总销售额不低于11500元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总销售额=销售单价×销售数量，结合12月的总销售额比11月最低销售额增加了，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设A品牌火锅底料购进x袋，则B品牌火锅底料购进（450-x）袋，依题意得：20x+30（450-x）≥11500，解得：x≤200．答：A品牌火锅底料最多购进200袋．（2）依题意得：20（1-a%）×200（1+a%）+30（1-a%）×（450-200）（1+a%）=11500（1+a%），整理得：0.5a2-20a=0，解得：a1=40，a2=0（不合题意，舍去）．答：a的值为40．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．11．（1）A社区疫苗接种点每天各接种1200人，B社区疫苗接种点每天各接种1000人；（2）m的值是10【分析】（1）设B社区疫苗接种点每天各接种x人，则A社区疫苗接种点每天各接种1.2x人，根据“A社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比B社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天”列出方程解答即可；

（2）根据“A社区接种点3m天与B社区接种点（m+20）天一共种完了69000支疫苗”列出方程解答即可．【详解】解：（1）设B社区疫苗接种点每天各接种x人，则A社区疫苗接种点每天各接种1.2x人，

根据题意，得：解得x=1000．

经检验x=1000是原方程的解，且符合题意．

所以1.2x=1200．

答：A社区疫苗接种点每天各接种1200人，B社区疫苗接种点每天各接种1000人；

（2）根据题意，得（1200-10m）•3m+1200（m+20）=69000，

整理，得m2-160m+1500=0．

解得m1=150（舍去），m2=10，

答：m的值是10．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．12．（1）-13，-5；（2）或；（3）小明结论正确，理由见解析【分析】（1）根据计算公式即可求解；（2）根据公式化简，不等式组即可求解；（3）先利用配方法证明x2﹣2x+3﹣（﹣x2+2x﹣5）＞0，再公式化简，利用配方法即可求解．【详解】（1）-3-3×3=﹣13；∵∴x-3（x+6）=-8解得x=-5故答案为：-13；﹣5；（2）由题意知或解得或∴或；（3）∵x2﹣2x+3﹣（﹣x2+2x﹣5）＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6＞0∴x2﹣2x+3＞﹣x2+2x﹣5，原式＝x2﹣2x+3+3（﹣x2+2x﹣5）＝x2﹣2x+3﹣3x2+6x﹣15＝﹣2x2+4x﹣12；＝﹣2（x﹣1）2﹣10＜0∴小明结论正确．【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是根据题意的公式分情况进行运算．13．（1）a=5，b=2；（2）①x=4-4y；②2．【分析】（1）根据题意，由完全平方公式进行配方，结合