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文档简介

2023届江苏省苏州苏州星海中学高三下学期第一次阶段考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()A.3 B. C. D.2.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时,就说这次试验成功,假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为()A.13 B.13.已知为定义在上的奇函数,且满足当时,,则()A. B. C. D.4.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为()A. B.C. D.5.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B.4 C. D.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长棱长为()A. B. C. D.7.年部分省市将实行“”的新高考模式,即语文、数学、英语三科必选,物理、历史二选一,化学、生物、政治、地理四选二,若甲同学选科没有偏好,且不受其他因素影响,则甲同学同时选择历史和化学的概率为A. B.C. D.8.已知复数,其中,,是虚数单位,则()A. B. C. D.9.已知函数,为图象的对称中心,若图象上相邻两个极值点,满足,则下列区间中存在极值点的是()A. B. C. D.10.已知实数满足约束条件,则的最小值是A. B. C.1 D.411.已知双曲线的左、右顶点分别为,点是双曲线上与不重合的动点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.212.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,则__________.14.设满足约束条件,则的取值范围为__________.15.若展开式的二项式系数之和为64,则展开式各项系数和为__________.16.如图,在矩形中,为边的中点,,,分别以、为圆心,为半径作圆弧、(在线段上).由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.18.(12分)已知函数.(1)时,求不等式解集;(2)若的解集包含于,求a的取值范围.19.(12分)已知椭圆的焦点为,,离心率为,点P为椭圆C上一动点,且的面积最大值为,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设点,为椭圆C上的两个动点,当为多少时,点O到直线MN的距离为定值.20.(12分)在中,角所对的边分别是,且.(1)求角的大小;(2)若,求边长.21.(12分)三棱柱中,平面平面,,点为棱的中点,点为线段上的动点.(1)求证:;(2)若直线与平面所成角为,求二面角的正切值.22.(10分)已知矩阵的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知,,所以,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.2.C【解析】

每一次成功的概率为p=26=【详解】每一次成功的概率为p=26=13故选:C.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.3.C【解析】

由题设条件,可得函数的周期是,再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值,即可得到结论.【详解】由题意,,则函数的周期是,所以,,又函数为上的奇函数,且当时,,所以,.故选:C.【点睛】本题考查函数的周期性,由题设得函数的周期是解答本题的关键,属于基础题.4.B【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,两面积作差即可求解.【详解】由图,正八边形分割成个等腰三角形,顶角为,设三角形的腰为,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面积为:,所以每块八卦田的面积约为:.故选:B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题.5.A【解析】

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的的值,当,,退出循环,输出结果.【详解】程序运行过程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循环,输出结果为,故选:A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题,涉及到的知识点有判断程序框图输出结果,属于基础题目.6.C【解析】

根据三视图,可得该几何体是一个三棱锥,并且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,,再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示:由三视图得:该几何体是一个三棱锥,且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,则,所以,,,,该几何体中的最长棱长为.故选:C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.7.B【解析】

甲同学所有的选择方案共有种,甲同学同时选择历史和化学后,只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可,共有种选择方案,根据古典概型的概率计算公式,可得甲同学同时选择历史和化学的概率,故选B.8.D【解析】试题分析:由,得,则,故选D.考点:1、复数的运算;2、复数的模.9.A【解析】

结合已知可知,可求,进而可求,代入,结合,可求,即可判断.【详解】图象上相邻两个极值点,满足,即,,,且,,,,,,当时,为函数的一个极小值点,而.故选:.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用,解题的关键是性质的灵活应用.10.B【解析】

作出该不等式组表示的平面区域,如下图中阴影部分所示,设,则,易知当直线经过点时,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故选B.11.D【解析】

设,,,根据可得①,再根据又②,由①②可得,化简可得,即可求出离心率.【详解】解:设,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故选:D.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,属于基础题和易错题.12.A【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误;,,则,故②错误,③正确;显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

首先利用,将其两边同时平方,利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到,从而求得,利用诱导公式求得,得到结果.【详解】因为,所以,即,所以,故答案是.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题,涉及到的知识点有同角三角函数关系式,倍角公式,诱导公式,属于简单题目.14.【解析】

由题意画出可行域,转化目标函数为,数形结合即可得到的最值,即可得解.【详解】由题意画出可行域,如图:转化目标函数为,通过平移直线,数形结合可知:当直线过点A时,直线截距最大,z最小;当直线过点C时,直线截距最小,z最大.由可得,由可得,当直线过点时,;当直线过点时,,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合思想,属于基础题.15.1【解析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出的值,然后再计算展开式各项系数的和.【详解】由题意展开式的二项式系数之和为,即,故,令,则展开式各项系数的和为.故答案为:【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题,需要运用定义加以区分,并能够运用公式和赋值法求解结果,需要掌握解题方法.16.【解析】由题意,可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中,圆柱的底面半径为1,母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为.考点:旋转体的组合体.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】

(1)利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式的解集;(2)求出函数的最小值,把问题化为,从而求得的取值范围.【详解】(1)当时,则所以不等式的解集为.(2)等价于,而,故等价于,所以或,即或,所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度一般.18.(1)(2)【解析】

(1)代入可得对分类讨论即可得不等式的解集;(2)根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得再去绝对值即可得关于的不等式组解不等式组即可求得的取值范围【详解】(1)当时,不等式可化为,①当时,不等式为,解得;②当时,不等式为,无解;③当时,不等式为,解得,综上,原不等式的解集为.(2)因为的解集包含于,则不等式可化为,即.解得,由题意知,解得,所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.19.(1);(2)当=0时,点O到直线MN的距离为定值.【解析】

(1)的面积最大时,是短轴端点,由此可得,再由离心率及可得,从而得椭圆方程;(2)在直线斜率存在时,设其方程为,现椭圆方程联立消元()后应用韦达定理得,注意,一是计算,二是计算原点到直线的距离,两者比较可得结论.【详解】(1)因为在椭圆上,当是短轴端点时,到轴距离最大,此时面积最大,所以,由,解得,所以椭圆方程为.(2)在时,设直线方程为,原点到此直线的距离为,即,由,得,,,所以,,,所以当时,,,为常数.若,则,,,,,综上所述,当=0时,点O到直线MN的距离为定值.【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查运算求解能力.解题方法是“设而不求”法.在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式.20.(1);(2).【解析】

(1)把代入已知条件,得到关于的方程,得到的值,从而得到的值.(2)由(1)中得到的的值和已知条件,求出,再根据正弦定理求出边长.【详解】(1)因为,,所以,,所以,即.因为,所以,因为,所以.(2).在中,由正弦定理得,所以,解得.【点睛】本题考查三角函数公式的运用,正弦定理解三角形,属于简单题.21.(1)见解析;(2)【解析】

(1)可证面,从而可得.(2)可证点为线段的三等分点,再过作于,过作,垂足为,则为二面角的平面角,利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如图所示的空间直角坐标系,利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值,最后利用同角三角函数的基本关系式可求.【详解】证明:(1)因为为中点,所以.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,而平面,故,又因为,所以,则,又,故面,又面,所以.(2)由(1)可得:面在面内的射影为,则为直线与平面所成的角,即.因为,所以,所以,所以,即点为线段的三等分点.解法一:过作于,则平面,所以,过作,垂足为,则为二面角的平面角,因为,,,则在中,有,所以二面角的平面角的正切值为.解法二:以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,设点,由得:,即,,,点,平面的一个法向量,又,,

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