《空间向量的应用》知识拓展

高中数学精编资源2/2《空间向量的应用》知识拓展知识要点1.空间中点、直线和平面的向量表示(1)如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是空间中任意一点.由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即.如图②,取定空间任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使或(其中).(2)如图③,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使.2.平面的法向量(1)法向量的概念:如图,直线.取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量.平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量.(2)平面法向量的求法:①首先观察是否存在与平面垂直的向量,若存在,则可直接确定,若不存在,则可用待定系数法求得;②待定系数法:设平面的法向量为.在平面内找出(或求出)两个不共线的向量,根据定义建立方程组,得到通过赋值,取其中一组解,得到平面的法向量.3.利用空间向量表示空间线面平行、垂直4.利用空间向量求距离5.利用空间向量求空间角问题探究问题1理解直线的方向向量需注意什么?提示(1)在空间中,一个向量若为直线的方向向量,必须具备以下两个条件:①向量是非零向量;②向量所在的直线与直线平行或重合.(2)与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量,直线的方向向量有无数个.(3)给定空间中任意一点和非零向量,就可以确定唯一一条过点且平行于向量的直线.(4)同一条直线的方向向量,因为它们的模不一定相等,方向不一定相同,所以它们不一定相等.问题2利用空间向量解决立体几何问题的本质方法是什么?提示基底法,即把未知向量用已知的基底向量表示,空间向量的坐标表示本质上也是基底法.问题3如何建立适当的空间直角坐标系?提示根据几何体本身的几何性质,恰当建立空间直角坐标系最为关键,如果坐标系引入的恰当、合理,那么就容易确定点的坐标.常见的建系方法有:(1)借助三条两两相交且垂直的棱所在的直线为坐标轴.如长方体等规则几何体,一般选择三条棱所在的直线为三个坐标轴,如图①.(2)借助面面垂直的性质定理建系.若题目中出现侧面和底面垂直的条件,一般利用此条件添加辅助线,确定轴,如图②.(3)借助棱锥的高线建系.对于正棱锥,利用顶点在底面的射影为底面的中心,可确定轴,然后以底面内过底面的中心且互相垂直的直线分别为轴、轴,如图③.问题4向量的夹角与所求角一样吗?提示求线面角时,得到的直线的方向向量和平面的法向量的夹角的余弦值不是线面角的余弦值,它的绝对值是线面角的正弦值,即(其中为直线的方向向量,为平面的法向量);求二面角时,两个法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分析.如图,图中角是从两个半平面的截面看到的角,箭头方向代表法向量的方向.左边的两种情况,法向量的夹角和二面角的大小是互补的;右边的两种情况,法向量的夹角和二面角的大小是相等的.简记为同补异等.法向量的方向需要结合法向量的坐标、半平面及坐标轴来判断.利用空间向量的运算,根据运算的结果得到几何中的位置关系,即用代数的方法处理几何问题,这样减少了空间的想象,但是运算量较大.问题5用向量方法证明立体几何中平行和垂直有哪些基本方法?提示(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量