2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.5.2正弦函数的性质学案含解析北师大版必修4

PAGE5．2正弦函数的性质学问点正弦函数的图像和性质[填一填][答一答]1．“正弦函数在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？提示：不正确．事实上，“第一象限”是由全部的区间(2kπ，2kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，明显函数值不是随着x值的增大而增大的．2．学习正弦函数的单调性有什么作用？提示：(1)比较三角函数值的大小．解决这类问题时，要先把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小；也可以先转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小．(2)求三角函数的单调区间．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k，ω>0的函数，可把ωx＋φ视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正弦函数的单调性，干脆写出ωx＋φ的单调区间，再解关于x的不等式即可．(3)借助正弦函数的图像解三角不等式．对于可化为形如sin(ωx＋φ)≥a(ω>0)或sin(ωx＋φ)<a(ω>0)的正弦函数不等式，可把ωx＋φ视为一个整体，借助y＝sinx，x∈R的图像和单调性，先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上2kπ，k∈Z，把它扩展到整个定义域上，最终解关于x的不等式，便可求出x的解．1．对周期函数定义的五点说明(1)T是非零常数．(2)随意x∈D，都有x＋T∈D，T≠0，所以周期函数的定义域肯定是无界的．(3)任取x∈D，就是取遍D中的每一个x，所以周期性是函数在定义域上的整体性质．理解定义时，要抓住每一个x都满意f(x＋T)＝f(x)成立才行．若只有个别x满意f(x＋T)＝f(x)，不能把T看作周期，如sin(eq\f(π,4)＋eq\f(π,2))＝sineq\f(π,4)，但sin(eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))≠sineq\f(π,3)，所以eq\f(π,2)不是y＝sinx的周期．(4)周期也可递推，若T是y＝f(x)的周期，那么2T也是y＝f(x)的周期．这是因为f(2T＋x)＝f[T＋(T＋x)]＝f(T＋x)＝f(x)，所以若T是y＝f(x)的周期，k∈Z且k≠0，则kT也是f(x)的周期．(5)并不是全部的函数都是周期函数．2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x.(2)并不是全部的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.类型一求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域．(1)y＝eq\r(2sinx＋1)；(2)y＝eq\r(sinx)＋eq\r(25－x2).【思路探究】(1)满意2sinx＋1≥0的x的取值集合，即满意sinx≥－eq\f(1,2)的x的取值集合．(2)可转化为解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,25－x2≥0，))先将满意两个不等式的x的范围解出，再借助数轴求交集．【解】(1)由题意可知2sinx＋1≥0，故sinx≥－eq\f(1,2).因为在一个周期eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上符合条件的角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以该函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．(2)依据函数关系式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,25－x2≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，－5≤x≤5.))如图，可得该函数的定义域为[－5，－π]∪[0，π]．规律方法正弦函数y＝sinx的定义域为R，但在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，可由关系式有意义得到关于正弦函数的三角不等式(组)．而解三角不等式(组)，可以利用基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线．求函数y＝eq\r(2sinx＋\r(3))的定义域．解析：要使函数有意义，只需2sinx＋eq\r(3)≥0，即sinx≥－eq\f(\r(3),2).如图所示，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上，适合条件的x的取值范围是－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(4π,3).所以该函数的定义域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z.类型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域．(1)y＝3－3sinx；(2)y＝－|sinx|+sinx；(3)y＝sin2x－2sinx＋1.【思路探究】充分利用sinx的有界性及二次函数区间最值求解．【解】(1)∵－1≤sinx≤1，∴－3≤－3sinx≤3，∴0≤－3sinx＋3≤6，∴y∈[0,6]．(2)当sinx≥0时，y＝0，当sinx<0时，y＝2sinx，∴y∈[－2,0)，∴函数的值域为[－2,0]．(3)y＝(sinx－1)2，∵sinx∈[－1,1]，∴sinx－1∈[－2,0]，∴(sinx－1)2∈[0,4]，∴y∈[0,4]．规律方法函数y＝asin2x＋bsinx＋c，x∈D型函数可以通过换元，令t＝sinx化为二次函数，用配方法求其值域，但求解过程中肯定要留意中间变量的取值范围，是一个有条件的二次函数求最值问题．求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq\f(1,2)，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]的值域．解：令t＝sinx，因为x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]，所以eq\f(1,2)≤sinx≤1，即eq\f(1,2)≤t≤1.∴y＝2t2＋2t－eq\f(1,2)＝2(t＋eq\f(1,2))2－1，t∈[eq\f(1,2)，1]，且该函数在[eq\f(1,2)，1]上单调递增．∴f(x)的最小值为f(eq\f(1,2))＝1，最大值为f(1)＝eq\f(7,2).∴f(x)的值域为[1，eq\f(7,2)]．类型三求函数的单调区间【例3】求函数y＝logeq\f(1,2)sinx的单调递增区间．【思路探究】设u＝sinx，先由sinx>0得出x的范围，再利用y＝logeq\f(1,2)u的单调性求解．【解】由sinx>0得2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，∵eq\f(1,2)<1，∴函数y＝logeq\f(1,2)sinx的单调递增区间即为u＝sinx的单调递减区间．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x<2kπ＋π，k∈Z，故函数y＝logeq\f(1,2)sinx的单调递增区间为：[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋π)，k∈Z.规律方法求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要留意内层、外层函数的单调性．求函数y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的单调递增区间．解：∵y＝2sin(eq\f(π,4)－x)＝－2sin(x－eq\f(π,4))，∴函数y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的单调递增区间就是函数u＝2sin(x－eq\f(π,4))的单调递减区间．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．得2kπ＋eq\f(3,4)π≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)．∴函数y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的单调递增区间为：[2kπ＋eq\f(3,4)π，2kπ＋eq\f(7π,4)](k∈Z)．类型四推断函数的奇偶性【例4】推断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))；(2)f(x)＝eq\r(1－sinx)＋eq\r(sinx－1).【思路探究】首先推断所给函数的定义域是否关于原点对称，其次用定义干脆推断函数的奇偶性．【解】(1)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))＝－coseq\f(3x,4)，x∈R.又f(－x)＝－cos(－eq\f(3x,4))＝－coseq\f(3x,4)＝f(x)，所以函数f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))是偶函数．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－sinx≥0，,sinx－1≥0，))得sinx＝1，所以f(x)＝0，x∈{x|x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}，定义域不关于原点对称．所以函数f(x)＝eq\r(1－sinx)＋eq\r(sinx－1)是非奇非偶函数．规律方法推断函数的奇偶性时，必需先推断其定义域是否关于原点对称，假如是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而推断函数的奇偶性；假如不是，那么该函数必为非奇非偶函数．推断函数f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．解：∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，∴f(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx.即f(－x)＝f(x)，又f(x)的定义域为R，∴f(x)为偶函数．类型五利用正弦函数的单调性比较大小【例5】比较下列各组数的大小．(1)sineq\f(π,4)和sineq\f(2π,3)；(2)sin(－eq\f(π,18))和sin(－eq\f(π,10))；(3)sineq\f(21,5)π和sineq\f(42π,5)；(4)sin194°和cos160°.【思路探究】变形主要有两种：一是异名函数化为同名函数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．【解】(1)sineq\f(2π,3)＝sin(π－eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3).∵0<eq\f(π,4)<eq\f(π,3)<eq\f(π,2)，且y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上单调递增，∴sineq\f(π,4)<sineq\f(π,3)，即sineq\f(π,4)<sineq\f(2π,3).(2)∵－eq\f(π,2)<－eq\f(π,10)<－eq\f(π,18)<0，且y＝sinx在区间[－eq\f(π,2)，0]上单调递增，∴sin(－eq\f(π,18))>sin(－eq\f(π,10))．(3)sineq\f(21,5)π＝sin(4π＋eq\f(π,5))＝sineq\f(π,5)，sineq\f(42π,5)＝sin(8π＋eq\f(2π,5))＝sineq\f(2π,5).∵0<eq\f(π,5)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，且y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上单调递增，∴sineq\f(π,5)<sineq\f(2π,5)，即sineq\f(21,5)π<sineq\f(42,5)π.(4)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，且y＝sinx在[0°，90°]上单调递增，∴sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.规律方法比较三角函数值大小的关键是利用诱导公式将三角函数式化成同名函数并将角转化到同一单调区间上，然后利用三角函数的单调性进行比较．比较下列各组中两个三角函数值的大小．(1)sin250°与sin260°；(2)sin(－eq\f(54π,7))与sin(－eq\f(63π,8))．解：(1)∵sin250°＝sineq\f(25π,18)，sin260°＝sineq\f(26π,18)，y＝sinx在(π，eq\f(3π,2))上为减函数，∴sineq\f(25π,18)>sineq\f(26π,18)，即sin250°>sin260°.(2)sin(－eq\f(54π,7))＝sin(－8π＋eq\f(2π,7))＝sineq\f(2π,7)，sin(－eq\f(63π,8))＝sin(－8π＋eq\f(π,8))＝sineq\f(π,8)，∵eq\f(π,2)>eq\f(2π,7)>eq\f(π,8)>0，∴sineq\f(2π,7)>sineq\f(π,8)，即sin(－eq\f(54π,7))>sin(－eq\f(63π,8)).——易错警示——忽视y＝sinx的有界性导致错误【例6】已知sinx＋siny＝eq\f(1,3)，求siny－cos2x的最大值．【错解】∵sinx＋siny＝eq\f(1,3)，∴siny＝eq\f(1,3)－sinx，∴siny－cos2x＝eq\f(1,3)－sinx－(1－sin2x)＝sin2x－sinx－eq\f(2,3)＝(sinx－eq\f(1,2))2－eq\f(11,12).∵－1≤sinx≤1，∴当且仅当sinx＝－1时，siny－cos2x取得最大值eq\f(4,3).【正解】∵sinx＋siny＝eq\f(1,3)，∴siny＝eq\f(1,3)－sinx.又－1≤siny≤1，∴－1≤eq\f(1,3)－sinx≤1，又－1≤sinx≤1，∴－eq\f(2,3)≤sinx≤1.∴siny－cos2x＝eq\f(1,3)－sinx－(1－sin2x)＝sin2x－sinx－eq\f(2,3)＝(sinx－eq\f(1,2))2－eq\f(11,12)，∴当且仅当sinx＝－eq\f(2,3)时，siny－cos2x取得最大值eq\f(4,9).【错解分析】求三角函数值时，很多三角函数式本身隐含了一些条件，在解题过程中若不挖掘出来，就会出现错误．求函数y＝sin2x＋sinx－1的值域．解：令t＝sinx，则t∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1＝(t＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，t∈[－1,1]，∴t＝－eq\f(1,2)，即sinx＝－eq\f(1,2)，x＝2kπ－eq\f(π,6)或2kπ－eq\f(5,6)π(k∈Z)时，ymin＝－eq\f(5,4)，当t＝1，即sinx＝1，x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymax＝1.∴原函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)).一、选择题1．函数y＝2－sinx的最大值及相应的x的值为(C)A．y＝3，x＝eq\f(π,2)B．y＝1，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)C．y＝3，x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)D．y＝3，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)解析：当sinx＝－1时，y有最大值3，此时x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．2．函数y＝9－sinx的单调递增区间是(B