2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用课时作业121.7.1定积分在几何中的应用含解析新人教A版选修2-2

PAGEPAGE6课时作业12定积分在几何中的应用时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积是(D)A．4π B.eq\f(5π,2)C．3π D．2π解析：如图，求曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1围成图形的面积可依据余弦函数图象的对称性转化为求由直线y＝0，y＝1，x＝0，x＝2π围成的矩形的面积．故选D.2．曲线y＝x3与直线y＝x所围图形的面积等于(C)A.eq\i\in(-1,1,)(x－x3)dx B.eq\i\in(-1,1,)(x3－x)dxC．2eq\i\in(0,1,)(x－x3)dx D．2eq\i\in(-1,0,)(x－x3)dx解析：如图，阴影部分面积S＝2eq\i\in(0,1,)(x－x3)dx.故选C.3．由直线x＝eq\f(1,2)，x＝2，曲线y＝eq\f(1,x)以及x轴所围图形的面积为(D)A.eq\f(15,4) B.eq\f(17,4)C.eq\f(1,2)ln2 D．2ln2解析：4．曲线y＝x3与y＝eq\r(3,x)围成平面图形的面积为(A)A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(13,12) D.eq\f(13,6)解析：曲线y＝x3与y＝eq\r(3,x)的交点为(－1，－1)，(0,0)，(1,1)，两曲线围成平面图形的面积为5．由曲线y＝x2＋2与y＝3x，x＝0，x＝2所围成的平面图形的面积为(A)A．1B．2C．3D．4解析：由x2＋2＝3x，得x＝1，x＝2，直线y＝3x与抛物线y＝x2＋2的交点坐标为(1,3)，(2,6)，所求的面积为6．如图中阴影部分的面积为(C)A．2eq\r(3) B．－2eq\r(3)C.eq\f(32,3) D.eq\f(35,3)解析：7．曲线C：y＝ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C、直线l、y轴所围成的图形面积为(D)A.eq\f(3e,2)－1 B.eq\f(e,2)＋1C.eq\f(e,2) D.eq\f(e,2)－1解析：8．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是eq\f(2,3)，则c等于(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(2,3)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝cx3，))得x＝0或x＝eq\f(1,c).∵0<x<eq\f(1,c)时，x2>cx3，二、填空题9．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围图形的面积为2.解析：10．设a>0，若曲线y＝eq\r(x)与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝eq\f(4,9).解析：11.如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如右图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是eq\f(1,π).解析：所以所投的点落在阴影部分的概率是P＝eq\f(2,2π)＝eq\f(1,π).三、解答题12．求曲线y＝ex，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积．解：如图，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,y＝e－x，))得交点为(0,1)．13．试求由抛物线y＝x2＋1与直线y＝－x＋7以及x轴、y轴所围成图形的面积．解：画出图形(如图)．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋1，,y＝－x＋7，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝10))(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)．——实力提升类——14．如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为eq\f(2,e2).解析：因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2∫eq\o\al(1,0)(e－ex)dx＝2(ex－ex)|eq\o\al(1,0)＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(2,e2).15．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，求k的值．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋k2，,y＝2kx))得x＝k.当k>0时，eq\i\in(,k,)0(x2＋k