复习课（第3课时立体几何初步）课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第四册复习课第3课时立体几何初步知识梳理构建体系知识网络立

体

几

何

初

步立

体

几

何

初

步要点梳理1.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时应着重把握哪两点?提示:(1)在平面图形中互相垂直的x轴和y轴,在直观图中作出与之对应的x'轴和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°).(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴平行(或重合)的线段,且长度不变.平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半.2.构成空间几何体的基本元素有哪些?提示:点、线、面.3.试比较棱柱、棱锥、棱台的结构特征,请完成下表.结构特征棱柱棱锥棱台底面两个底面是全等的多边形多边形两个底面是相似的多边形侧面平行四边形

三角形梯形侧棱平行且

相等相交于顶点延长线交于

一点平行于底面的截面与两个底面是全等的多边形与底面是相似的多边形与两个底面是相似的多边形过不相邻两侧棱的截面平行四边形

三角形梯形4.常见的四棱柱(长方体、直平行六面体、正方体、平行六面体、正四棱柱、四棱柱)的关系是怎样的?提示:几种常见的四棱柱的关系

5.圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征.请完成下表.旋转体结构特征图形表示圆柱以

矩形的一边所在直线

为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.旋转轴称为圆柱的轴;在轴上的边(或它的长度)称为圆柱的

高

,垂直

于轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面.无论旋转到什么位置,不垂直

于轴的边都称为圆柱的母线旋转体结构特征图形表示圆锥以

直角三角形一直角边

所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体圆台以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体旋转体结构特征图形表示球球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的

曲面

,球面围成的几何体称为

球

.形成球面的半圆的圆心称为球的

球心

,连接球面上一点和球心的线段称为球的半径,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径6.如何计算柱体、锥体、台体、球的表面积和体积?提示:(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h'为斜高,l为母线长,r,R分别为上、下底面半径):S直棱柱侧=ch;S圆柱侧=2πrh;S圆台侧=(r+R)πl;S圆柱表=2πr(r+l);S圆锥表=πR(R+l);S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).(3)柱体、锥体、台体的体积公式(S,S'分别为上、下底面积,h为高,r,R分别为上、下底面半径):7.平面的基本事实(公理)及推论有哪些?提示:基本事实1

经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面.基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.推论1

经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面.推论2

经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3

经过两条平行直线,有且只有一个平面.8.直线与平面平行的判定定理和性质定理有哪些?请完成下表.类别文字语言图形表示符号语言定义如果一条直线与一个平面没有公共点,那么称这条直线与这个平面平行l∥α⇔l∩α=⌀判定如果平面

外

的一条直线与平面内的一条直线

平行

,那么这条直线与这个平面平行(即线线平行⇒线面平行)l⊄α,m⊂α,l∥m⇒l∥α类别文字语言图形表示符号语言性质如果一条直线与一个平面平行,且经过

这条直线

的平面与这个平面相交,那么这条直线就与两平面的交线平行(即线面平行⇒线线平行)l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m9.平面与平面平行的判定定理和性质定理有哪些?请完成下表.10.直线与平面垂直的判定定理和性质定理有哪些?提示:(1)直线与平面垂直的判定方法a.判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线与这个平面垂直.b.结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于(2)直线与平面垂直的性质a.由直线和平面垂直的定义知,垂直于某一平面的直线垂直于该平面内的任意一条直线.b.性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.用符号11.平面与平面垂直的判定定理和性质定理是什么?请完成下表.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)同一几何体建系不同,则画出的直观图可能不同.(

)(2)棱柱的所有棱长必须相等.(

)(3)棱锥的所有面都是三角形.(

)(4)用一个平面去截圆锥,一定能得到圆台.(

)(5)若直线l不在平面α内,则l∥α.(

)(6)若平面α,β与γ所成角相等,则α∥β.(

)(7)若α⊥β,α∩β=l,直线l'⊥l,则l'⊥β.(

)(8)若α⊥β,则α与β所成的二面角一定是直角.(

)(9)若a∥α,l∥a,则l∥α.(

)(10)若α∩β=l,则α内一定不存在与β平行的直线.(

)√××××××√××专题归纳核心突破专题一空间几何体的表面积与体积【例1】

如图所示,半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰,且分别切AB,BC,CD于点A,E,D,将其绕AD所在直线旋转一周,得到一个球和一个圆台,若球的表面积与圆台的侧面积的比为3∶4,求圆台的体积.分析:由条件先找到圆台的上、下底半径及高与球半径的关系,再应用公式求圆台的体积.解:设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,母线长为l.根据题意得圆台的高AD=2R,DC=CE=r1,AB=BE=r2,OE=R,∠BOC=90°,OE⊥BC,l=r1+r2.由题∵S球=4πR2,S圆台侧=π(r1+r2)·l,且S球∶S圆台侧=3∶4,牢记空间几何体的体积、表面积公式是解答此类问题的先决条件.对于不规则的几何体、折叠问题,可将其合理分割、分析折叠前后的量的关系再求解.反思感悟【变式训练1】

如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,AB=2,BC=,CD=1,E为AD中点,沿CE,BE把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥,使点A,D重合,则此三棱锥的体积等于(

)答案:C解析:折叠后EA⊥BA,EA⊥AC,因为BA∩AC=A,所以EA⊥平面ABC.由四边形ABCD为直角梯形,E为AD中点,专题二平行问题【例2】

如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P,Q分别是CC1,C1D1的中点.求证:AC∥平面BPQ.分析:借助于面面平行证线面平行.证明:如图,连接CD1,AD1.∵P,Q分别是CC1,C1D1的中点,∴PQ∥CD1,又CD1⊄平面BPQ,PQ⊂平面BPQ,∴CD1∥平面BPQ.又D1Q=AB=1,D1Q∥AB,∴四边形ABQD1是平行四边形,∴AD1∥BQ,又AD1⊄平面BPQ,BQ⊂平面BPQ,∴AD1∥平面BPQ,又AD1∩CD1=D1,∴平面ACD1∥平面BPQ,∵AC⊂平面ACD1,∴AC∥平面BPQ.1.判定线线平行的方法:(1)利用线线平行的定义证共面且无公共点(结合反证法);(2)利用空间平行线的传递性;(3)利用线面平行性质定理;(4)利用线面垂直的性质定理(若l⊥α,m⊥α,则l∥m);(5)利用面面平行性质定理(若α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,则l∥m).2.判断线面平行的方法:(1)线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(l⊄α,m⊂α,l∥m⇒l∥α);(3)面面平行的性质(α∥β,l⊂α⇒l∥β);(4)面面平行的性质(α∥β,l⊄α,l⊄β,l∥α⇒l∥β).反思感悟3.面面平行的判定方法:(1)平面平行的定义(无公共点);(2)判定定理(若l⊂α,m⊂α,l∩m≠⌀,l∥β,m∥β⇒α∥β);(3)判定定理的推论(若a∥a',b∥b',a⊂α,b⊂α,且a∩b≠⌀,a'⊂β,b'⊂β,则α∥β);(4)线面垂直性质定理(l⊥α,l⊥β⇒α∥β);(5)平面平行的性质(传递性:α∥β,β∥γ⇒α∥γ).【变式训练2】

如图,在四棱锥P-ABCD中,E为AD的中点,PE⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2DC=2

,AC∩BD=F,且△PAD与△ABD均为正三角形,G为△PAD的重心.(1)求证:GF∥平面PDC;(2)求三棱锥G-PCD的体积.(1)证明:连接AG并延长,交PD于点H,连接CH.在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2DC,(2)解:∵PE⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PE⊥AD,即∠AEP=90°.已知△PAD与△ABD均为正三角形,AB=,且E为AD的中点,易求得PE=3.又由(1)知GF∥平面PDC,专题三垂直问题【例3】

如图,平面PAC⊥平面ABC,AB=BC,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=10,PA=6,PC=8.(1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;(2)证明:PA⊥平面BOE.分析:(1)由已知条件线段中点较多,可考虑取BC的中点H,由三角形中位线得线线平行,进而转化为面面平行来证线面平行.(2)先证BO⊥平面PAC,可得BO⊥PA,再由勾股定理可得PC⊥PA,从而证得PA⊥平面BOE.证明:(1)如图,取BC的中点H,连接FH,GH.∵G是OC的中点,∴GH∥OB.同理FH∥PC,EO∥PC,∴FH∥EO.∵GH⊂平面FGH,FH⊂平面FGH,且GH∩FH=H,OB⊂平面EOB,EO⊂平面EOB,∴平面FGH∥平面EOB.又FG⊂平面FGH,∴FG∥平面BOE.(2)∵AB=BC,O为AC的中点,∴BO⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BO⊂平面ABC,∴BO⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC,∴BO⊥PA.∵AC=10,PA=6,PC=8,∴AC2=PA2+PC2,∴PC⊥PA.又EO∥PC,∴EO⊥PA.∵OE∩BO=O,∴PA⊥平面BOE.1.判定线线垂直的方法:(1)计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角);(2)线面垂直的性质(若l⊥α,m⊂α,则l⊥m);(3)面面垂直的定义:若两平面垂直,则两平面相交形成的二面角的平面角为90°.反思感悟2.判定线面垂直的方法:(1)线面垂直的定义;(2)线面垂直的判定定理(m⊂α,n⊂α,m∩n≠⌀,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α);(3)平行线垂直平面的传递性质(l∥m,l⊥α⇒m⊥α);(4)面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=m,l⊥m,l⊂β⇒l⊥α);(5)面面平行的性质(l⊥α,α∥β⇒l⊥β);(6)面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).3.面面垂直的判定方法:(1)根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90°);(2)面面垂直的判定定理(l⊥β,l⊂α⇒α⊥β).【变式训练3】

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证:平面SBD⊥平面SAD;所以AD2+BD2=AB2,因此BD⊥AD.又因为平面SAD⊥底面ABCD,且平面SAD∩底面ABCD=AD,BD⊂底面ABCD,所以BD⊥平面SAD.又因为BD⊂平面SBD,所以平面SBD⊥平面SAD.专题四球的切、接问题【例4】

已知四面体的所有棱长都是,且四个顶点在同一球面上,求球的表面积.分析:根据正四面体的性质,球心在正四面体的高上,利用球的截面性质确定球的半径.也可以用补形法求解.解决球与其他几何体的切、接问题(1)关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的位置关系和数量关系.(2)选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.(3)几种球与正方体组合的截面.反思感悟【变式训练4】

一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体,当正方体的棱长取最大值时,正方体的外接球的表面积是(

)A.4π

B.6π C.12π

D.24π答案:B解析:因为正方体可以在正四面体内部任意旋转,所以正方体在正四面体的内切球中.当正方体的棱长取最大值时,正方体的体对角线是正四面体的内切球的直径,此时正方体的外接球即为正四面体的内切球.设正四面体的内切球半径为r,可将正四面体看成以其内切球球心为顶点的四个正三棱锥,高考体验考点一

空间几何体的体积、表面积

答案:B解析:在△AOB中,过点O作OC⊥AB于点C,连接PC.2.(2022新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(2.65)(

)A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3答案:C解析:由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5

m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5

m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,故该棱台的体积答案:C4.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为

.

解析:如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.在正四棱5.(2020江苏,9)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是

cm3.

6.(2023全国甲,文16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是

.

解析:方法一:第一步,弄清球O与正方体棱有公共点,球半径最小的球为棱切球(即与棱相切的球),最大的球为外接球.第二步,作对角面ABC1D1截正方体与其棱切球、外接球分别得如下矩形和小、大两个圆(如图).考点二

空间中点、直线、平面之间的位置关系7.(多选题)(2022新高考Ⅰ,9)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则(

)A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°答案:ABD解析:连接AD1,∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;连接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1⊂平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确;连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.易证C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直线BC1与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.故选ABD.8.

(2021浙江,6)如图,已知正方体ABCD

-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(

)A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1答案:A解析:如图,连接AD1,则AD1经过点M,且M为AD1的中点.又N为BD1的中点,所以MN∥AB.又MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.在正方体ABCD

-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,∵A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.又四边形ADD1A1为正方形,∴A1D⊥AD1.又AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,∴直线A1D与直线D1B垂直.易知直线A1D与直线D1B异面.故选A.9.

(2022全国乙,文18)如图,在四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当