函数的单调性说课教案

函数的单调性----说课稿教学目标知识与技能：（1）从形与数两方面理解单调性的概念（2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法（3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力过程与方法：（1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法（2）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。情感态度价值观：通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；领会用运动的观点去观察分析事物的方法教学重难点分析重点：理解函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念难点：运用函数单调性的定义证明具体函数的单调性教学过程为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，设计本节为创设情境，引入新课；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；证法探究，应用定义；小结评价，作业创新让学生能够充分经历单调性概念的形成过程，经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，本节课设置了前三个环节。后两个环节的设计，是为了使学生对函数单调性认识的再次深化。（一）创设情境，引入新课情境创设，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。提出问题1：分别作出函数y=x，二次函数y=2x，y=-2x和y=x2的图象，并且观察函数变化规律？

首先引导学生观察两个一次函数图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小。然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.

二次函数的增减性要分段说明，进而提出问题：二次函数是增函数还是减函数？进一步讨论得出：增减性是函数的局部性质。提出问题2：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？结合增减性是局部性质，学生会用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。（二）初步探索，概念形成提出问题三：如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？，如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？这是本节课的难点，因此我将概念形成设置了三个阶段1.提问学生什么是“随着”经讨论得出，随着是由于当x取一定的值时，y有确定值与之对应，因此x变化时，y会根据法则随着x发生变化2.如何刻画“增大”？要表示大小关系，学生会想到取点，比大小，学生也许会用特殊点说明问题，比如x取2、3，2<3，对应的函数值是5<10提出质疑：这个点的变化能否说明y随着x增大而增大，进一步引导学生从特殊到一般，进入第三阶段，对“任取”的理解。3.对“任取”的理解针对特殊值，学生可能会举反例证明其是不充分的，那么应该如何取值呢？学生可能会多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。

用对随着的理解再次深化函数概念，用对增大的理解得到要表示大小关系，最后再强调取值的任意性，这样就实现了从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”的过渡，实现“形”到“数”的转换，形成了单调性的定义。得到定义后，再提出如何得到f(x1)<f(x2)，求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍。（三）概念深化，延伸拓展通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。提出问题：能否说在它的定义域上是减函数？从这个例子能得到什么结论？学生思考、讨论，提出自己观点学生可能会提出反例，如x1=-1，x2=1进一步得出结论：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数（四）证法探究，应用定义

提出例2、画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。

根据图象进行判断，体会判断可转化成证明。本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。学生根据单调性定义进行证明，教师在黑板上书写证明步骤，再引导学生总结证明步骤。

课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。

拓展提高、函数在上是增加的。（五）小结评价，作业创新从知识、方法两个方面引导学生进行总结。学生回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法。小结过程使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义。作业的设计实现了分层，既巩固了基础，又给了学生充足的思考空间。通过本节课的学习，预计学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性，本节课的评价方式为课堂反馈、教师评价、学生自评相结合。在本节课的设计中，我有一些新的尝试，在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。在情境设置中，严格按照课标要求以二次函数y=x2+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。《函数的单调性》教学设计课题函数的单调性学科数学学段高中年级高一相关领域函数教材北师大版高中数学《函数的单调性》

教学目标(含重、难点)知识与技能：（1）从形与数两方面理解单调性的概念（2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法过程与方法：（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程情感态度价值观：通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用教学难点：函数单调性的概念形成5.教学过程环节教师活动学生活动设计意图创设情境

引入新课

问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？

描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。

二次函数的增减性要分段说明提出问题：二次函数是增函数还是减函数？

问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？

观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述学生会指出：y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大

y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小

y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在（0，+∞）上y随x增大而增大

学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数讨论得出：单调性是函数的局部性质

结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数

数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。

通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。

初步探索

概念形成

分三步：提问学生什么是“随着”如何刻画“增大”？

对“任取”的理解

进而得到增（减）函数的定义

进一步提问:如何判断f(x1)<f(x2)得到求差法后提出记△x=x2-x1△y=f(x2)-f(x1)=y2-y1

回归函数定义解释

要表示大小关系，学生会想到取点，比大小

讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。

在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍环节教师活动例1、如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上的单调性。变式巩固、说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．学生活动根据函数图象判断函数的单调性。设计意图实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。证法探究

应用定义

例2、画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。证明：作出函数f（x）=3x+2的图像，由图看出，函数的图象在R上是上升的，函数是R上的增函数。下面证明：任取X1,、X2∈R且X1<X2则，X1-X2<0所以：f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)<0即f(x1)<f(x2)拓展提高、函数在上是增加的。证明：任取X1,、X2∈〔0，+∞),且X1<X2，则f(x1)-f(x2)=2x14-2x24=2(x14-x24)=2(x1-x2)(x1+x2)(x12+x22)∵0≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2>0,x12+x22>0∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)由函数的单调性定义可知，函数f(x)=2x4在〔0，+∞)上是增加的。例2、根据单调性定义进行证明讨论，规范步骤

设元

作差

变形

断号

定论

根据定义进行判断体会判断可转化成证明

课后思考

本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。

课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。小结评价作业创新从知识、方法两个方面引导学生进行总结.

练习：课本P38练习、2课后作业：课本P38习题2-3A组2（3）、（4）,4

回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法

完成课堂反馈

使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义

作业实现分层，满足学生需求《函数的单调性》课后反思在教学《函数的单调性》时,教学过程是这样的:教师引导学生观察一次函数、二次函数、反比例函数等的图像后给出了函数的单调性等概念,然后组织学生根据图像找出单调区间,运用概念对一些简单函数的单调性做出判断,紧接着在这节课上又把函数的四则运算的单调性及复合函数的单调性进行渗透.本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．

从教的角度评析这节课很到位,但从学的视角去评价就会发现:教师为了营造轻松愉快的课堂气氛,注重了学生学习兴趣的培养,但过于心切,总想尽快地“直奔主题”把主要内容教授给学生后进行习题训练;而让学生经历实践，然后通过探讨等得出概念的过程却在师生间的简单问答中滑过,学生的思维情绪始终处于压抑状态,使得教学无法