成人高考成考数学(理科)(高起本)试卷及解答参考

成人高考成考数学(理科)(高起本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、下列哪个数等于2√3？A.√6×√3×√5×√5×√2×√2×√7B.√15×√9×√6×√5×√2×√√12C.√6×√6×√√2×√√8×√√3×√√√3×√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√（注意此选项的根号下都是相同的数字）D.上述所有选项都不对。2、在成人高考数学(理科)(高起本)试卷中，下列哪个数是3的倍数？A.15B.18C.27D.453、设集合A={x∈R|ax²+bx+c=0有两个不同的实数解}，则下列说法正确的是：A.a=0且b≠0时，集合A不为空集B.当a>0时，集合A一定为空集C.若a、b、c成等差数列时，集合A不为空集且必含有有理数解D.b²大于等于4ac是方程ax²+bx+c=0有两个实数解的充分必要条件4、在数学考试中，若一个数的平方根是整数，则这个数可能是以下哪个选项？A.25B.-16C.-20D.365、已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1，那么f(x)在区间[-2,3]上的最大值是：A.17B.25C.33D.416、在数学中，下列哪个数是正数、负数和零的集合？A.1,2,-3B.-3,2,1C.1,-2,3D.-3,2,17、下列哪个数是有理数？A.√2B.πC.-3/4D.e8、直线y=3x和直线y=mx-4在第一象限交于一点，则m的取值范围是（）A.m>3且m≠0B.m>0且m≠3C.m<3且m≠0D.m<0或m>3且m≠09、在数学中，如果a^2+b^2=c^2，那么a和b的关系可能是（）。A.a=bB.a=-bC.a=b或a=-bD.a=b或a=-b10、函数y=sinx的图象在点(π/2,y)处切线的斜率为多少？A.0B.1C.-1/πD.无穷大E.以上均不对11、已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1，那么f(x)在区间[-2,3]上的最大值是：A.17B.25C.33D.4112、已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1，那么f(x)在区间[-2,3]上的最大值是：A.17B.25C.33D.41二、计算题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）第一题：计算题题目：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=0处取得极值，且当x=1时，f(x)=0。求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。第二题一、选择题（每题4分，共20分）已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5，那么f(2)的值是：A.11B.-3C.1D.7已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=0，S10=55，则a1的值为：A.-5B.-3C.1D.3二、填空题（每题4分，共20分）已知函数g(x)=x^2+bx+c在x=1处取得极小值，且g(2)=3，求b+c的值为：_________。已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，若T3=7，T6=63，求b1的值：_________。三、解答题（每题12分，共36分）已知函数h(x)=x^3-3x^2+2x+1，求h’(x)并求h’(x)>0的解集。已知等差数列{cn}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=51，求c2的值。第三题已知函数fx=x三、解答题（本大题有3小题，每小题15分，共45分）第一题：题目：已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过原点及点(2，-3)，求该二次函数的表达式，并求函数的对称轴。已知函数的判别式大于零，问该二次函数是否有两个不同的零点？若有，分别是什么？请写出解答过程。第二题若函数fx=12x3−32第三题：题目：已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的导数为f’(x)=3ax^2+2bx+c。若f’(x)在x=1处取得极值，且f’(1)=9，求f’(x)的单调区间。成人高考成考数学(理科)(高起本)自测试卷及解答参考一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、下列哪个数等于2√3？A.√6×√3×√5×√5×√2×√2×√7B.√15×√9×√6×√5×√2×√√12C.√6×√6×√√2×√√8×√√3×√√√3×√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√（注意此选项的根号下都是相同的数字）D.上述所有选项都不对。答案：A解析：A选项中乘积的计算结果确实是符合题目的结果。通过对其他选项的乘积进行尝试，我们可以看到选项B的计算结果与题意不符。至于选项C，由于存在过多的重复根号，并且乘积的计算结果不符合题意，因此可以排除。因此，正确答案是选项A。2、在成人高考数学(理科)(高起本)试卷中，下列哪个数是3的倍数？A.15B.18C.27D.45答案解析：一个数是3的倍数，当且仅当该数的各个位数之和能被3整除。我们可以通过计算各个选项数字各位数之和来判断：A.15（各位数之和为1+5=6）B.18（各位数之和为1+8=9）C.27（各位数之和为2+7=9）D.45（各位数之和为4+5=9）根据上述分析，只有C选项的数字各位数之和能被3整除，因此正确答案是C。3、设集合A={x∈R|ax²+bx+c=0有两个不同的实数解}，则下列说法正确的是：A.a=0且b≠0时，集合A不为空集B.当a>0时，集合A一定为空集C.若a、b、c成等差数列时，集合A不为空集且必含有有理数解D.b²大于等于4ac是方程ax²+bx+c=0有两个实数解的充分必要条件【答案】D【解析】本题考查一元二次方程的判别式以及集合的性质。根据题意有：A项，当a=0且b≠0时，方程退化为一次方程，可以有一个或两个实数解，因此A项错误；B项，当a>0时，只要判别式Δ=b²-4ac>0，方程就有两个不同的实数解，所以B项错误；C项，若a、b、c成等差数列时，考虑判别式Δ，不能保证一定有实数解且一定含有有理数解，因此C项错误；D项，根据一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，我们知道当Δ>0时方程有两个不同的实数解，即b²>4ac是方程有两个实数解的充分必要条件。因此D项正确。4、在数学考试中，若一个数的平方根是整数，则这个数可能是以下哪个选项？A.25B.-16C.-20D.36答案：B解析：一个数的平方根是整数，意味着该数可以表示为某个整数的平方。例如，-16的平方根是±4，因此-16的平方根是整数。其他选项的平方根都不是整数，所以它们不符合条件。5、已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1，那么f(x)在区间[-2,3]上的最大值是：A.17B.25C.33D.41答案：C解析：首先求导数f’(x)=6x^2-6x-12。令f’(x)=0，解得x=-1或x=2。这两个点是函数的拐点，我们需要检查这三个区间端点和拐点处的函数值来确定最大值。计算各点的函数值：f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+1=-16-12+24+1=-3f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1=-2-3+12+1=8f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+1=16-12-24+1=-19f(3)=2(3)^3-3(3)^2-12(3)+1=54-27-36+1=-8因此，在区间[-2,3]上，函数的最大值为33，对应选项C。6、在数学中，下列哪个数是正数、负数和零的集合？A.1,2,-3B.-3,2,1C.1,-2,3D.-3,2,1答案：A解析：根据整数集合的定义，正数是指大于零的数，负数是指小于零的数，而零是一个特殊的数，既不是正数也不是负数。因此，选项A中的1是正数，-3是负数，2是正数，-2是负数，3是正数，符合整数集合的定义。选项B中的-3是负数，2是正数，1是正数或负数，不符合整数集合的定义。选项C中的1是正数，-2是负数，3是正数，不符合整数集合的定义。选项D中的-3是负数，2是正数，1是正数或负数，不符合整数集合的定义。所以正确答案是A。7、下列哪个数是有理数？A.√2B.πC.-3/4D.e答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数。选项A的√2是无理数，因为它不能表示为两个整数的比；选项B的π是圆周率，也是无理数；选项D的e是自然对数的底数，同样是无理数。只有选项C的-3/4可以表示为两个整数的比，即-3除以4，因此它是有理数。8、直线y=3x和直线y=mx-4在第一象限交于一点，则m的取值范围是（）A.m>3且m≠0B.m>0且m≠3C.m<3且m≠0D.m<0或m>3且m≠0答案：A解析：两直线在第一象限交于一点，说明斜率不等且交点在原点之上。直线y=3x的斜率为正且不等于直线的斜率m。另外，交点在第一象限要求斜率大于零以保证直线方向正确。故得m>3且m≠0。又因为交点的纵坐标不等于-4，可以确定斜率不是造成纵截距为-4的唯一原因，因此排除其他选项。所以答案为A。9、在数学中，如果a^2+b^2=c^2，那么a和b的关系可能是（）。A.a=bB.a=-bC.a=b或a=-bD.a=b或a=-b答案：C.a=b或a=-b解析：根据题干，我们知道a^2+b^2=c2。为了简化这个等式，我们可以将两边同时除以c2得到a^2+b^2=c^2。由于a和b都是实数，且它们平方后相加等于c的平方，这意味着a和b可以是相等的，也可以是相反的。因此，选项C正确，即a=b或a=-b。10、函数y=sinx的图象在点(π/2,y)处切线的斜率为多少？A.0B.1C.-1/πD.无穷大E.以上均不对答案：A解析：已知函数y=sinx，对其求导得到y’=cosx。当x=π/2时，y’=cos(π/2)=0，因此函数y=sinx在点(π/2,y)处的切线斜率为0。故正确答案为A。11、已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1，那么f(x)在区间[-2,3]上的最大值是：A.17B.25C.33D.41答案：C解析：首先求导数f’(x)=6x^2-6x-12。令f’(x)=0，解得x=-1或x=2。这两个点是函数的拐点，我们需要检查这三个区间端点和拐点处的函数值来确定最大值。计算各点的函数值：f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+1=-16-12+24+1=-3f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1=-2-3+12+1=8f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+1=16-12-24+1=-19f(3)=2(3)^3-3(3)^2-12(3)+1=54-27-36+1=-8在这些值中，最大的是f(2)=33，所以选项C是正确的。12、已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1，那么f(x)在区间[-2,3]上的最大值是：A.17B.25C.33D.41答案：C解析：首先求导数f’(x)=6x^2-6x-12。令f’(x)=0，解得x=-1或x=2。这两个点是函数的拐点，我们需要检查这三个区间端点和拐点处的函数值来确定最大值。计算各点的函数值：f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+1=-16-12+24+1=-3f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1=-2-3+12+1=8f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+1=16-12-24+1=-19f(3)=2(3)^3-3(3)^2-12(3)+1=54-27-36+1=25因此，在区间[-2,3]上，函数的最大值为33，对应选项C。二、计算题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）第一题：计算题题目：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=0处取得极值，且当x=1时，f(x)=0。求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。答案：最大值和最小值分别为（根据求解结果给出具体数值）。解析：第一步，根据题意知道函数f(x)在x=0处取得极值，这意味着f’(0)=0。对函数f(x)求导得到f’(x)=3x^2+2ax+b。将x=0代入，得到b=0。同时已知f(1)=0，代入原函数得到c的值。因此函数表达式为f(x)=x^3+ax^2。第二步，根据极值的性质，我们知道极值点处的导数为零，即f’(x)=3x^2+2ax在极值点处的值为零。根据此方程可以得到a的值或方程。根据得到的a值确定函数f(x)的具体表达式。同时注意到，函数图像是连续曲线，因此在区间[-2,2]上除了可能的极值点外，还需要考虑区间端点的函数值。第三步，比较区间端点和极值点的函数值，可以得到函数在给定区间上的最大值和最小值。具体数值需要根据第二步得到的函数表达式和极值点的计算结果来计算得出。同时注意端点处是否有最大值或最小值发生。对于闭区间上的连续函数来说，极大值和极小值只可能出现在极值点或区间端点上。所以需要在这些点上仔细比较函数值来确定最大值和最小值。最后给出答案并解释其意义。第二题一、选择题（每题4分，共20分）已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5，那么f(2)的值是：A.11B.-3C.1D.7已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=0，S10=55，则a1的值为：A.-5B.-3C.1D.3二、填空题（每题4分，共20分）已知函数g(x)=x^2+bx+c在x=1处取得极小值，且g(2)=3，求b+c的值为：_________。已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，若T3=7，T6=63，求b1的值：_________。三、解答题（每题12分，共36分）已知函数h(x)=x^3-3x^2+2x+1，求h’(x)并求h’(x)>0的解集。已知等差数列{cn}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=51，求c2的值。答案及解析第1题【答案】A【解析】直接代入x=2到函数f(x)中，得到f(2)=2(2^3)-3(2^2)+4*2-5=16-12+8-5=7。第2题【答案】C【解析】由等差数列前n项和公式Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，我们可以列出两个方程：S3=3/2*(2a1+2d)=0S10=10/2*(2a1+9d)=55解这个方程组，得到a1=1，d=2。所以a2=a1+d=3。第3题【答案】1【解析】由g(x)=x^2+bx+c在x=1处取得极小值，我们知道g’(x)在x=1处为0。计算g’(x)得到g’(x)=2x+b。令g’(1)=0，解得b=-2。再由g(2)=3，得到4-4+2+1=3，验证成功。所以b+c=-2+c=1。第4题【答案】-1【解析】由等比数列前n项和公式Tn=b1*(1-q^n)/(1-q)，我们可以列出两个方程：T3=b1*(1-q^3)/(1-q)=7T6=b1*(1-q^6)/(1-q)=63解这个方程组，得到b1=-1，q=2。所以b2=b1*q=-2。第5题【答案】【解析】首先求导数h’(x)=3x^2-6x+2。然后解不等式h’(x)>0，即3x^2-6x+2>0。解这个不等式，得到x<1-sqrt(3)/3或x>1+sqrt(3)/3。第6题【答案】【解析】由T3=9和T6=63，我们可以列出方程组：3/2*(2b1+2d)=910/2*(2b1+5d)=63解这个方程组，得到b1=-3，d=3。所以c2=b1*q=-3*2=-6。第三题已知函数fx=x解答：求导数：首先对函数fxf求导数为零的点：令f′3使用求根公式：x所以，导数为零的点为：x计算端点和临界点的函数值：计算fx在区间端点x=0和x=3ffff经过计算，得到：ff比较函数值：通过比较f0、f最大值最小值结论：函数fx=x3−3三、解答题（本大题有3小题，每小题15分，共45分）第一题：题目：已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过原点及点(2，-3)，求该二次函数的表达式，并求函数的对称轴。已知函数的判别式大于零，问该二次函数是否有两个不同的零点？若有，分别是什么？请写出解答过程。答案：解：由题意可知，函数f(x)经过原点，即当x=0时，y=0，代入得c=0。同时函数经过点(2，-3)，代入得4a+2b=-3。因为这是一个二次函数，所以a不等于零。解得a和b的值后，二次函数的表达式为f(x)=ax^2+bx（其中a不等于零）。对称轴方程为x=-b/(2a)。由于判别式Δ=b^2