统计学 第十章 多元统计分析

第十章多元统计分析 2 3 3 4 4 5 5 9 9 多元统计分析(multivariatestatisticalanalysis)是研究多个随机变量之间的相互依赖关系以及在二维空间，n个样本点的变量信息若用离差平方和来表示，则变量的信息总量为总方差对于每个变量的离差平方和，它们的取值可能出现各种情况：(1)如(xi1-x1)2和之间相差悬殊，如取值之比为10：1，说明变量x1在方差总yi1,yi2)，上式说明新变量y继承了原变量x的全部信息，并且要求和y2=-sinθx1+cosθx2系数满足的要求是：(cosθ)2+(sinθ)2=1;(-sinθ)2+(cosθ)2=1;cosθ(-sinθ)+sinθcosθ=0其中xij是第i个样本点第j个指标的观测值。如前所述，通过主成分变换得到的线性组合可以表示为y1=u11x1+u12x2+.......+u1pxpy2=u21x1+u22x2+......+u2pxpyp=up1x1+up2x2+......+uppxp数据标准化，以消除量纲对结果的影响。标准化的常用公式为：zxi=标准化后的数据均值，相应的单位特征向量为：(ui1ui2…uip)’，那么相应的主成分就是：yi=ui1zx1+ui2zx2+......+uipzxp。 4.96 4.88 4.60 4.56 率率λ1=2.424λ2=1.943λ3=0.973λ4=0.405λ5=0.179λ6=0.075y1y2y3=0.589zx1+0.256zx2-0.183zx3-0.315zx4+0.556zx5-0.382zx6=0.219zx1+0.048zx2+0.965zx3-0.065zx4+0.049zx5-0.112zx6教师：如果单纯依靠手工计算，计算量相当地大。我们可以尝试使用Excel中的小插件新能力等都是不可直接观测到的变量(潜在变量)，而利税总额、劳动生产率等都是显在变量。因子分析(FactorAnalysis)是利用少数几个潜在变量或公共因子去解释多个显在变量或可观测变量中存在的复杂系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。因子分析的概念起源于20世纪初Karl11111221pp1x=aF+aF++aF+e22112222pp2x=aF+aF++aF+epp11p22pppph2=a2+a2++a211112......1qh2=a2+a2++a222122......2q，h2=a2+a2++pp1p2......2apq222g1=a11+a21+......+ap1222g2=a12+a22+......+ap2222gq=a1q+a2q+......+apqpp1构成的矩阵有A表示，即1.用公式对原始数据标准化4.根据A=求因子载荷矩阵A；对象，试求1）正交因子模型2）各个变量的共同度以及特殊因子方差3）每个因子的方差贡献率以及三个因子的累计方差贡献率4）说明三个因子的意义。||-0.0710.0111|0.7450.706-0.237-0.154|0.7450.706-0.237-0.154根据R-λI=0及(R-λI)U=0求得累计方差贡献率达81.1.2.31x=0917F+1.1.2.313.1.2.33x=-0285F3.1.2.33x4=-0.491F1+0.735F2-0.064F3+e4x5=0.865F1+0.424F2-0.048F3+e56.1.2.36x=-0595F+6.1.2.36————足够的说服力。聚类分析是应用最广泛的分类技术，它把性质相近的个体归为一类，是研究“物以类聚”绝对距离：dij=Σxik-xjk切比雪夫距离：dij=xik-xjk(xki-xi)(xkj-xj)i,j=1,Λ,p先将所有的样本各自算作一类，将最近的两个样本点首先聚类，再将这个类和其他类中最靠近的结重心法：两类的重心分别为xl,xm，则dlm=dx1x2类)，然后计算各样本点之间的距离，并将距离最近的两个样本点并成一类；选择并计算类与类之间的距12456789124567891458914589样本x，依据这个准则就能判别它是来自哪一类别，而且要求其错判率最小歇尔判别函数为-1X(证明略)，将两类均值及待判样本x的各项指标代入判别函数可f(次/年)1222222122222【解】马氏距离的计算公式为：dij=-x1-x2-x3-x4-x5-x612|||20.391|-0.124||L-1.7530.4812.1910.4500.353-1.569|d2(x,k)=(x-x(k))9S-1(x-x(k))222Multivariatestatisticalanalysisisa“mixPrincipalcomponentanalyDiscriminationanalysis(DA).Aprincipalcomponentanalysisisconcernedwithexplainingthevariance-covariancesofasetofvariablesthroughafewlinearcombinationsofthesevariabarerequiredtoreproducethetotalsystemvariability,oftenmuchofthisvariabilitycanbeaccountedforbyasmallnumberkoftheprincipalcomponents.Ifthisisso,thereisalmostasmuchinformationinthekcomponentsasthereareintheoriginalpvariables.Thecanthenreplacetheinitialpvariables,andtheoriginaldataset,consistingofnmeasurementsovariables,isreducedtoadatasetconsistingofnmeasurementsonkprincipalcomponents.Theessentialpurposeoffactoranamanyvariablesintermsofafewunderlying,bgroupedbytheircorrecorrelatedamongthemselvesgroup.Thenitisconceivablethateachgroupofvariablesrepreseorfactor,thatisresponsiblefortheobservedcorThebasicobjectiveinclusteranalysisanalysisisaprimitivetechniqueinthatnoassumptionsaremadeconcerningthenumberofdistance.AgglomerativehierarchicagroupsaremergedaccordingtotheirsDiscriminationisamultivariateteobservationsandwithallocatingnewobservationstopreviouslydefinedKeywords:multivariatestatisticalanalysis,principalcomponentanalysis,Clusteranalysis,discriminationanA．各行元素之和B．各行元素平方和C．各列元素之和D．各列元素D．主成分的方差等于第k个主成分与第j个变量样本间的相关系数2．因子分析中，第j个因子的方差贡献率。B.在距离判别中，计算待判样本与各类的距离，判断12345678192345678AlliedChemical,DuPont,UnionCA.Y1=0.4636X1-0.2411X2+0.6126X3B.Y1=2.8562X1+0.8090X2+0.5401X3+0.451C.Y1=0.4636X1+0.4571X2+0.47X3+0.D.Y1=0.8635X1+0.8236X2+0.7469X3+0.8882（2）第一个主成分与AlliedChemA.2.8562B.0.4636C.0.8635D.0.A.84.107%B.90.209%C.90.1A.F1=0.7834X1+0.