2024-2025学年山东省淄博市沂源县高二上学期11月阶段性考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省淄博市沂源县高二上学期11月阶段性考试数学检测试题注意事项：1．答卷时，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点，则直线的斜率是（）A. B. C.1 D.2.圆与的位置关系为（）A.外切 B.内切 C.相交 D.外离3.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2+y2+ax﹣2y+2＝0的曲线是圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（）A B. C. D.5.点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（）A.2 B.3 C.4 D.6.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》是我国古代数学中的5部著名数学著作，其中《周髀算经》《九章算术》产生于汉代.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰好有一部是汉代时期专著的概率为（）A. B. C. D.7.如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（）A.与 B.与 C.与 D.与8.已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A.或 B.或C.或 D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各组中的两个向量，互相平行的有（）A. B.C. D.10.已知事件，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.如果，那么C.如果与互斥，那么 D.如果与相互独立，那么11.下列结论错误的是（）A.直线恒过定点B.直线的倾斜角为150°C.圆上有且仅有3个点到直线：距离都等于1D.与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是______．13.如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）14.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．（1）BC边上的高线的方程；（2）BC边垂直平分线的方程．16.生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品概率.17.光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，（1）求圆C方程（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．18.设椭圆：的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）过点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积．19.如图，在四棱锥中，平面平面，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．2024-2025学年山东省淄博市沂源县高二上学期11月阶段性考试数学检测试题注意事项：1．答卷时，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点，则直线的斜率是（）A. B. C.1 D.【正确答案】A【分析】由斜率的计算公式直接求解即可.【详解】由题意点，所以直线的斜率是.故选：A．2.圆与的位置关系为（）A.外切 B.内切 C.相交 D.外离【正确答案】B【分析】根据圆心距与半径和或半径差的大小关系即可判断.【详解】圆的圆心为，半径为，，，圆的圆心为，半径为，，圆与圆内切.故选：B.3.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2+y2+ax﹣2y+2＝0的曲线是圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】若方程的曲线是圆，则有，解之得或，再利用充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】方程的曲线是圆，则有，解之得或，则“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“方程的曲线是圆”的充分不必要条件.故选：A．本题考查了圆的一般方程的应用及充分条件、必要条件的概念，属于基础题.4.甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解.【详解】解：根据题意知只需考虑剩下两局的情况，（1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得最终胜利的概率为；（2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为．故甲获得最终胜利的概率为.故选：B5.点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（）A.2 B.3 C.4 D.【正确答案】A【分析】利用中位线先求出，再结合椭圆定义即可求解.【详解】如下图所示，连接，为的中点，且，可得由椭圆方程可知，.，根据椭圆定义有，故选：A6.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》是我国古代数学中的5部著名数学著作，其中《周髀算经》《九章算术》产生于汉代.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰好有一部是汉代时期专著的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用列举法列出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】假设《周髀算经》《九章算术》分别为1，2，《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》分别为，，，则基本事件有，，，，，，，，，共10个，其中恰好有一个是汉代著作的有，，，，，共6个，所以所求概率为.故选：B此题考查古典概型的概率的求法，利用了列举法，属于基础题.7.如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（）A.与 B.与 C.与 D.与【正确答案】A【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.【详解】以为原点，分别以所成在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，由，因为，所以，所以A正确；由，因为，所以，所以B不正确；由，所以，所以C不正确；由，因为，所以，所以D不正确；故选：A.8.已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A.或 B.或C.或 D.【正确答案】D【分析】根据两点间斜率公式计算即可.【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，结合图象可得直线斜率的取值范围是.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各组中的两个向量，互相平行的有（）A. B.C. D.【正确答案】BD【分析】根据共线向量定理直接判断即可.【详解】在A中，，因为，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，由，可得，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，因为，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，由，可得，故D中两个向量平行，故D正确.故选：BD.10.已知事件，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.如果，那么C.如果与互斥，那么 D.如果与相互独立，那么【正确答案】BCD【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项.【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误；B选项：若，则，B选项正确；C选项：与互斥，那么，C选项正确；D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确；故选：BCD.11.下列结论错误的是（）A.直线恒过定点B.直线的倾斜角为150°C.圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1D.与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条【正确答案】ABD【分析】A.将化为，得到即可求出结果判断；B.将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角；C.求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论；D.分截距不为0，和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.【详解】A.因为，即，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；B.因为，即，设直线的倾斜角为，则，因为，则，所以直线的倾斜角为120°，故B错误；C.圆圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以劣弧上到直线的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线的距离等于1的点有2个，所以圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故C正确；D.因为圆的圆心为，半径为，当截距不为0，故设切线方程为，即，所以，解得（舍）或，即；当截距为0时，故设切线方程为，即，所以，解得，即，则与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是______．【正确答案】【分析】列举所有的基本事件，从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型概率计算即可.【详解】从5个球中随机取出2个球，共有10种基本事件，其中取出2球颜色相同的只有2种，所以取出两个颜色相同球的概率为.故答案为.本题注意考查古典概型的概率.13.如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）【正确答案】【分析】根据向量线性运算直接求解即可.【详解】为中点，；，；.故答案为.14.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是______.【正确答案】或【分析】曲线的图像是一个半圆，结合图象通过讨论直线的位置，求出的范围即可.【详解】解：曲线方程变形为，表示圆心为，半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示：当直过时，将坐标代入直线方程得：，即；当直过0,2时，将0,2代入直线方程得：，即；当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，即，（舍）或，则直线与曲线只有一个公共点时的范围为：或.故或.本题考查了直线和圆的关系，是一道中档题.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．（1）BC边上的高线的方程；（2）BC边垂直平分线的方程．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）BC边上的高线过点A且垂直于BC，由点斜式即可得解；（2）BC边的垂直平分线过BC中点且垂直于BC，由点斜式即可得解.【小问1详解】因为，所以BC边上的高线的斜率，故BC边上的高线的方程为：,即所求直线方程为.【小问2详解】因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率，又BC的中点为，故BC边的垂直平分线的方程为：，即所求直线方程为.16.生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.【正确答案】(1)0.088;(2)0.086.【分析】（1）用减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率.（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从甲､乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A､B,则事件A,B相互独立,且,.(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用对立事件概率进行计算，属于基础题.17.光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，（1）求圆C的方程（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求出直线关于x轴的对称直线的方程，即反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切求得半径即可得出答案；（2）利用圆的弦长公式求得，再根据即可得解.【小问1详解】解：在直线中，令，则，由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，则反射光线所在直线的斜率为，且过点，所以直线关于x轴的对称直线为，点（2，8）