2024-2025学年高考数学考点第十一章计数原理随机变量及其分布11.5二项分布与正态分布理

PAGEPAGE16考点11.5二项分布与正态分布考点梳理考点梳理1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事务A和B，在已知事务A发生的条件下，事务B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事务A中基本领件的个数，则P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②假如B和C是两个互斥事务，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事务(1)对于事务A，B，若事务A的发生与事务B的发生互不影响，则称事务A，B是相互独立事务．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事务A发生的次数，设每次试验中事务A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X听从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为胜利概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X听从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ肯定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的改变而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态总体在三个特别区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.概念方法微思索1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．2．“事务相互独立”与“事务互斥”有何不同？提示两事务互斥是指两个事务不行能同时发生，两事务相互独立是指一个事务发生与否对另一事务发生的概率没有影响，两事务相互独立不肯定互斥．真题演练真题演练1．（2024•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：．依据长期生产阅历，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸听从正态分布．（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，2，，16．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值推断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到．附：若随机变量听从正态分布，则，，．【解析】（1）由题可知尺寸落在之内的概率为0.9974，则落在之外的概率为，因为，所以，又因为，所以；（2）（ⅰ）假如生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由，，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为，因此的估计值为10.02．，剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为，因此的估计值为．强化训练强化训练1．（2024•青羊区校级模拟）设随机变量，满意：，，若，则A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】随机变量，满意：，，，，解得，，，．故选．2．（2024•奎文区校级模拟）设随机变量听从，则的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】随机变量听从，故选．3．（2024•道里区校级三模）已知随机变量听从二项分布．若，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由随机变量听从二项分布．又，，所以，解得：，故选．4．（2024•道里区校级一模）设随机变量，，若，则的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】随机变量，，，，，，故选．5．（2024•江西模拟）已知随机变量听从正态分布，若，则A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7【答案】B【解析】依据题意，正态分布，若，则，即这组数据对应的正态曲线的对称轴，则，又由，得．故选．6．（2024•红岗区校级模拟）在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附，则，．A．906 B．1359 C．2718 D．3413【答案】B【解析】阴影部分的面积，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为，落入阴影部分的点的个数的估计值为．故选．7．（2024•辽宁三模）已知随机变量听从正态分布，且，则A．0.6 B．0.2 C．0.4 D．0.35【答案】B【解析】由随机变量听从正态分布，所以正态曲线的对称轴是，又，所以．故选．8．（2024•运城模拟）在某项测量中，测量结果听从正态分布，，若在内取值的概率为0.6，则在内取值的概率为A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】D【解析】，，又，．故选．9．（2024•益阳模拟）若随机变量听从正态分布，则，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为A．，， B． C．，， D．【答案】C【解析】由题意知：，，，．．故圆的方程为，圆心为，半径为2．如图，，表示与平行的直线，，，共线且垂直于，．当时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1．当直线介于，之间时，符合题意．故，，或．故选．10．（2024•安阳二模）2024年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标，单位为，该厂每天生产的质量在的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在以上的口罩数量为参考数据：若，则，，．A．158700 B．22750 C．2700 D．1350【答案】D【解析】由题意知，，即，，即；所以，所以该厂每天生产的口罩总量为（件，又，所以估计该厂每天生产的质量在以上的口罩数量为（件．故选．11．（2024•重庆模拟）若随机变量听从正态分布，，则，，．已知某校1000名学生某次数学考试成果听从正态分布，据此估计该校本次数学考试成果在130分以上的学生人数约为A．159 B．46 C．23 D．13【答案】C【解析】由题意，，，故．估计该校本次数学考试成果在130分以上的学生人数约为．故选．12．（2024•福建模拟）已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为附：若随机变量，则，．A．0.1359 B．0.6587 C．0.7282 D．0.8641【答案】D【解析】由题意．在正方形内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为．故选．13．（2024•重庆模拟）某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值听从正态分布且．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在，内的产品件数为A．200 B．300 C．400 D．600【答案】B【解析】因为综合质量指标值听从正态分布且．，．．故综合质量指标值在，内的产品件数为．故选．14．（2024•唐山一模）已知随机变量听从正态分布，随机变量听从正态分布，且，则A．0.1587 B．0.3413 C．0.8413 D．0.6587【答案】B【解析】由已知得，．又，．故选．15．（2024•广西模拟）已知随机变量听从正态分布，，A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】B【解析】随机变量听从正态分布，正态分布曲线的对称轴为，，又，，故选．16．（2024•道里区校级一模）某地区有10000名高三学生参与了网上模拟考试，其中数学分数听从正态分布，成果在，之外的人数估计有（附：若听从，则，A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人【答案】A【解析】由数学分数听从正态分布，得，．则．则成果在，之内的人数估计有8183，成果在，之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选．17．（2024•青岛模拟）已知某市居民在2024年用于手机支付的个人消费额（单位：元）听从正态分布，，则该市某居民手机支付的消费额在内的概率为附：随机变量听从正态分布，则，，．A．0.9759 B．0.84 C．0.8185 D．0.4772【答案】C【解析】听从正态分布，，，，则．故选．18．（2024•毕节市模拟）已知，若，则A． B． C． D．【答案】A【解析】作出该函数图象，易知关于直线对称，所以，则即为所求．故选．19．（2024•西宁模拟）设随机变量，则__________．【答案】【解析】随机变量听从二项分布，．故答案为：．20．（2024•呼和浩特模拟）为了更好地贯彻党的“五育并举”的教化方针，某市要对全市中小学生“体能达标”状况进行了解，确定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成果低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参与体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为，测试后，两组各自的成果统计如下：甲组的平均成果为70，方差为16，乙组的平均成果为80，方差为36．（Ⅰ）估计该样本校学生体能测试的平均成果；（Ⅱ）求该样本校40名学生测试成果的标准差；（Ⅲ）假设该样本校体能达标测试成果听从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？（注：①本题全部数据的最终结果都精确到整数；②若随机变量听从正态分布，则，，．【解析】（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16，则这40名学生测试成果的平均分．故可估计该样本校学生体能测试的平均成果为74．（2）由变形得，设第一组学生的测试成果分别为，，，，，其次组学生的测试成果分别为，，，，，则第一组的方差为，解得：．其次组的方差为，解得：．这40名学生的方差为，所以．综上，标准差．（3）由，，得的估计值为，的估计值，故，即，所以．从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有（人．而，故可估计该样本校学生“体能达标”测试合格．21．（2024•潍坊模拟）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：．依据长期生产阅历，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径听从正态分布．假如加工的零件内径小于或大于均为不合格品，其余为合格品．（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润（单位：元）与零件的内径有如下关系：求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量听从正态分布，有，，．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0026．因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为：；（2）由题意，．；；．故随机抽取10000个零件的平均利润：为元．22．（2024•济南模拟）法国数学家庞加是个喜爱吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己