湖北省“金太阳联考”2025届高三12月数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省“金太阳联考”2025届高三12月数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−3,−2,−1,0,1}，B={x|12x+3<0}，则A∩B=A.{−3,−2,−1,0,1} B.{0,1}

C.{−3,−2} D.{−3}2.已知复数z=3−12i3，z为z的共轭复数，则zA.12 B.−12 C.−3.已知平面向量a=(1,−2)，b=(2x,x−1)，且a//(b−A.5 B.15 C.45 4.黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.该塔塔身由青灰色石块砌成，共七层，假设该塔底层(第一层)的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，则该塔顶层(第七层)的底面面积为(

)A.8平方米 B.9平方米 C.10平方米 D.11平方米5.已知α为锐角，cos(2α+8π9)=7A.13 B.223 C.−26.已知(x1,y1)，(A.y1+y22<log2x7.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45∘，则四棱锥P−ABCD的体积为(

)A.163 B.1623 C.8.已知函数f(x)=(mx−1)2−sinx−m在[0,πA.(0,1] B.(0,1]∪[2(π+2)π2,+∞)

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数、中位数都是A.数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的平均数相等

B.数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的方差相等

C.数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，10.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)−f(x−y)=2f(y)，且当x>0时，f(x)>0，则(

)A.f(0)=0 B.f(22024)=22024f(1)

11.已知函数f(x)=sinx(|cosx|+1)A.f(x)是偶函数

B.f(x)的最小正周期是2π

C.f(x)的图象关于直线x=π2对称

D.若∀x1∈[0,2π3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x2+ax的图象在点(1,f(1))处的切线过点(3,0)，则13.某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有

种可能.(用数字作答)14.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AB=2，AA1=6，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=π3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a−b)(sinA+sin(1)求A;(2)若△ABC的外接圆面积为9π，角B的平分线交AC于D，求△ABC的面积，及△ABD与△BCD的面积之比．16.(本小题15分)已知函数f(x)=2xln(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−DEF中，AD=DE=2，EF=BF=10，DF=23，∠BAD=(1)证明：平面CBEF⊥平面ABED．(2)求二面角F−AB−C的正弦值．18.(本小题17分)设数列{an}的前n项和为Sn，若S1=2，且对任意的n∈N∗，均有S(1)设{an}为“ ①求{an ②若bn=nan，数列{bn(2)是否存在{an}既是“Ⅱ(k)数列”，又是“Ⅱ(k+2)数列”?若存在，求出符合条件的{an}19.(本小题17分)甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，⋯，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回(后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回)，接下来甲有2种选择： ①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若a+b>N，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次; ②直接结束抽牌，记b=0，换由乙抽牌一次．

记乙抽到的纸牌上的数字为c，若a+b+c≤N，则乙赢，否则甲赢.游戏结束．(1)若甲只抽牌1次，求甲赢的概率;(2)若甲抽牌2次，求甲赢的概率;(3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择 ②赢得游戏的概率更大? (结果用含N的式子表示)

参考公式：若数列{an}的通项公式为an=n2，则{参考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.C

6.A

7.C

8.D

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.5

13.36

14.4−15.解：(1)在△ABC中，sinA>0，sinB>0．

因为(a−b)(sinA+sinB)=0，sinA+sinB>0，

所以a−b=0，即a=b，sinA=sinB.

因为233−cb=cosCcosB，所以233−sinCsinB=cosCcosB，

即sinCsinB+cosCcosB=sin16.解：(1)f′(x)=2lnx+2x+2−a，

若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，

可得f′(x)=2lnx+2x+2−a≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，

因为f′(x)=2lnx+2x+2−a在[1,+∞)上单调递增，所以f′1=4−a⩾0，

解得：a⩽4，

故a的取值范围为(−∞,4];

(2)f(x)≥0，即a⩽2lnx+x+3x，

令gx=2lnx+x+3x，则g′x=2x+1−3x2=x+3x−1x2．

由g′x<017.(1)证明见解答；

(2)418.解：(1) ①解：因为{an}为“Ⅱ(1)数列”，所以Sn=−12an+1+1．

因为S1=2，所以a1=2．

当n=1时，a1=S1=−12a2+1，得a2=−2．

当n≥2时，Sn−1=−12an+1，则an=Sn−Sn−1=−12an+1+12an，

即an+1=−an，

经检验，当n=1时，满足an+1=−an，

所以an+1=−an对任意的n∈N∗恒成立，{an}是首项为2，公比为−1的等比数列，

所以an=2×(−1)n−1．

 ②证明：bn=nan=2n(−1)n−1．

Tn=2×(−1)0+2×2×(−1)1+2×3×(−1)2+⋯+2n(−1)n−1，

−Tn=2×(−1)1+2×2×(−1)2+2×3×(−1)3+⋯+2n(−1)n，

两式相减得2Tn=2+2×(−1)1+2×(−1)z+⋯+2(−1)n−1−2n(−1)n=1+(1+2n)(−1)n−1，

所以Tn=119.解：(1)若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．

甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况;

甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，N−1，此时有2种情况;

甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N，N−1，N−2，此时有3种情况;

⋯⋯

依次类推，甲赢的情况共有1+2+3+⋯+N=12(1+N)N种．

故甲赢的概率为12(1+N)NN2=1+N2N．

(2)若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．

 ①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1，第2次抽到的纸牌上的数字为1，

乙抽到的纸牌上的数字为N，N−1，此时有2种情况;

第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，N−1，N−2，此时有3种情况;

⋯⋯

第2次抽到的纸牌上的数字为N−1，乙抽到的纸牌上的数字为N，N−1，⋯，1，此时有N种情况．

以上有2+3+⋯+N种情况．

 ②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2，第2次抽到的纸牌上的数字为1．

乙抽到的纸牌上的数字为N，N−l，N−2，此时有3种情况;

第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，N−l，N−2，N−3，此时有4种情况;

⋯⋯

第2次抽到的纸牌上的数字为N−2，乙抽到的纸牌上的数字为N，N−1，⋯，1，此时有N种情况．

以上有3+4+⋯+N种情况．

依次类推，甲第1次抽到的纸牌上的数字为3时，甲赢的情况有4+5+⋯+N种;

甲第1次抽到的纸牌上的数字为N−2时，甲赢的情况有N−