《线性代数》课件第1章

1.1全排列、逆序数与对换1.2行列式的定义

1.3行列式的性质1.4行列式按行（列）展开1.5克莱姆法则1.1.1排列与逆序

定义1.1.1

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(也简称排列)。n个不同元素的所有排列的个数，通常用pn表示.

pn=n·(n-1)·…·3·2·1=n!1.1全排列、逆序数与对换

定义1.1.2

在一个n阶排列i1i2…it…is…in中，若数it>is，则称数it与is构成一个逆序。一个n阶排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.排列i1，i2，…，in的逆序数记做:

t(i1，i2，…，in)

例1.1.1

求排列32514的逆序数，判断此排列的奇偶性。

解在排列32514中，

3排在首位，逆序数为0；

2的前面比2大的数有一个(3)，故逆序数为1；

5是最大数，逆序数为0；

1的前面比1大的数有三个(3，2，5)，故逆序数为3；

4的前面比4大的数有一个(5)，故逆序数为1，于是这个排列的逆序数为

t=0+1+0+3+1=5

例1.1.2

求t(1，2，3，…，n)，t(n，n-1，…，2，1)。

解易知在n阶排列1，2，3，…，n中没有逆序，所以

t(1，2，3，…，n)=0

在n，n-1，…，2，1中，只有逆序，没有顺序，故

t(n，n-1，…，2，1)=0+1+2+…+(n-1)=1.1.2对换

定义1.1.3

在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种做出新排列的变换叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。

定理1.1.1

一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变。

证先证相邻对换的情形.排列

a1…alabb1…bm

(1.1.1)对换a与b，变为

a1…albab1…bm

(1.1.2)

再证一般对换的情形。设排列为

a1…alab1…bmbc1…cn

(1.1.3)

把它作m次相邻对换，式(1.1.3)调成

a1…alabb1…bmc1…cn

(1.1.4)

再作m+1次相邻对换，式(1.1.4)调成

a1…albb1…bmac1…cn

(1.1.5)1.2.1二阶行列式

定义1.2.1

由4个元素aij(i=1，2；j=1，2)排成两行两列，并定义1.2行列式的定义

例1.2.1

计算行列式

解1.2.2三阶行列式

定义1.2.2

由9个元素aij(i=1，2，3；j=1，2，3)排成三行三列，并定义

式称为三阶行列式。为便于记忆，给出图1.1所示的方法，此方法称为对角线法则(显然，二阶行列式也适用对角线法则)。图1.1中实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号。

图1.1对角线法则

例1.2.2

计算三阶行列式。

解按对角线法则，有

D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-3)×(-2)×4-1×1×4

-2×(-2)×(-2)-(-3)×2×(-3)=-4-6+24-4-8-18=-16

例1.2.3

求解方程

解

方程左端的三阶行列式

D=3x2+4x+18-9x-2x2-12=x2-5x+6所以，三阶行列式可以写成1.2.3n阶行列式

定义1.2.3

n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积，即

，并冠以符号(-1)t，即的代数和，记做

定理1.2.1

n阶行列式也可定义为

例1.2.4

证明对角线行列式(其中对角线上的元素是b，未写出的元素都是0)(1.2.1)(1.2.2)

证式(1.2.1)显然成立，下面只证式(1.2.2)。

若记bi=ai，n-i+1，则依行列式定义

例1.2.5

若(-1)t(i432j)a1ia24a33a42a5j是5阶行列式det(aij)的一项，则i，j应取何值?此时该项的符号是什么?

解由行列式定义，每一项中的元素取自不同行不同列，故若i=1，则j=5,或者i=5时，j=1。

当i=1，j=5时，t(14325)=3，所以此时该项为-a11a24a33

a42a55。

当i=5，j=1时，t(54321)=10，所以此时该项为a15a24a33

a42a51。

例1.2.6

证明下三角行列式

证由于当j>i时，aij=0，故D中可能不为0的元素其下标应有pi≤i,即

p1≤1，p2≤2，p3≤3，…，pn≤n

在所有排列p1p2…pn中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列12…n,所以D中可能不为0的项只有一项(-1)ta11a22…ann，此项的符号(-1)t=(-1)0=1，所以

D=a11a22…ann

这就是说，下三角行列式等于其主对角线上n个元素的乘积。

同理，上三角行列式也有当行列式阶数较大时，使用行列式定义计算行列式工作量很大.本节讨论的行列式的性质，不仅可以用来简化行列式的计算，而且在行列式理论研究中发挥着重要的作用。

记1.3行列式的性质

性质1

行列式与它的转置行列式相等，即DT=D。

证记D=det(aij)的转置行列式而由定理1.2.1有故

性质2

互换行列式的两行(列)，行列式变号。

证设行列式

第i行

第j行

第i行第j行

D1是由行列式D=det(aij)变换i，j两行得到的，则设排列p1…pj…pi…pn的逆序数为t1，则故

推论1

如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零。

证把这两行互换，有

D=-D

故D=0。

性质3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

第i行(列)乘以k，记做ri×k(或ci×k).

性质4

行列式中如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。

例如，有行列式，因为第一列与第

二列对应元素成比例，根据性质4，可直接得到

性质5

若行列式的某一行(列)的元素都是两元素之和，则此行列式可以写成两个行列式之和。

例如，某行列式第j列的元素都是两数之和:则D等于下列两个行列式之和:

性质6

把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变，即(1.3.1)

例1.3.1

设解利用行列式性质，有

例1.3.2

计算解例1.3.3

计算

解这个行列式的特点是各列4个数之和都是6。现把第2，3，4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第一行:

例1.3.4

计算

解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使D4中的零元素增多.

例1.3.5

计算n阶行列式

解该行列式具有各行元素之和相等的特点，可将第2，3，…，n列都加到第1列，则第1列的元素相等，再进一步化简.例1.3.6

设

证对D1作运算ri+krj，把D1化为下三角形行列式，有对D2作运算ci+kcj，把D2化为下三角形行列式，有于是，对D的前k行作运算ri+krj，再对后n列作运算ci+kcj，把D化为下三角形行列式

例1.3.7

计算

解设，由例1.3.6的结论得

例1.3.8

计算n阶行列式

解由于行列式每行(或列)各元素之和相等，故可将各列都加到第1列，然后考虑化为上三角形行列式.定义1.4.1

在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫元素aij的余子式，记做Mij，记

Aij=(-1)i+jMij

Aij叫做元素aij的代数余子式。1.4行列式按行(列)展开

例如中第一行元素的余子式分别是对应的代数余子式为

定理1.4.1

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1，2，…，n)

(1.4.1)

或

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1，2，…，n)(1.4.2)

证即得

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1，2，…，n)这个定理叫做行列式按行(列)展开法则.利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。例如，

三阶行列式可以通过二阶行列式表示:现在再考虑另一种情形，把aj1，…，ajn换成ai1，…，ain(i≠j)，其他的行不改变，从而得到一个新的行列式，即显然D1=0，但把D1按第j行展开，有

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)(1.4.3)

同样，把第j列换成第i列，按第j列展开，有

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i≠j)(1.4.4)

推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)

或a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i≠j)

综合上述定理和推论，有下列结果或

例1.4.1

试按第三列展开计算行列式

解将D按第三列展开，则有D=a13A13+a23A23+a33A33

+a43A43，其中a13=3，a23=1，a33=-1，a43=0。所以D=3×19+1×(-63)+(-1)×18+0×(-10)=-24。

例1.4.2

计算行列式解

例1.4.3

设D中元素aij的余子

式和代数余子式依次记做Mij和Aij，求A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41。

解

注意到A11+A12+A13+A14等于用1，1，1，1代替D的第1行所得的行列式，即又按定义知

例1.4.4

计算

解

按第1行展开，有以此做递推公式，即得

例1.4.5

计算n阶行列式(其中xi≠0，i=1，2，…，n)。

解方法一

方法二

构造n+1阶行列式

例1.4.6

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式(1.4.6)证用数学归纳法.因为为此，设法把Dn降阶，即从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有按第1列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出，就有上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(xi-xj)因子的乘积，其中n≥i≥j≥2.故

例1.4.7

求方程

的根。

解由行列式的定义知，D=0是x的三次方程，又是四阶范德蒙德行列式的转置，D=0的充要条件是D中有两行元素相同，所以D=0的三个根分别是x=-1，2，1。

形如

(1.5.1)1.5克莱姆法则1.5.1非齐次线性方程组

n元线性方程组与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即有