湖北地区高考数学复习资料学习知识重点按难度与题型归纳(数学应试记录材料)

湖北省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)

一、填空题

答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!

A、1〜4题，基础送分题，做到不失一•题！

AL集合性质与运算

1、性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为AqA；

②空集是任何集合的子集，记为A；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果同时B[A，那么/=反

如果A=8,那么A=C.

【注意】：

①容｛整数｝(J)Z=｛全体整数｝(X)

②已知集合S中/的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(X)

③空集的补集是全集.

④若集合片集合8则G4=0,05=0Q(QS)=Z?(注：M=0).

2、若…%｝，则力的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个.

3、An(8Uc)=(An8)u(Anc)Mu<«no=(/In(^uo；

(Ac5)cC=Ac(5cC),(AU3)UC=AU(5U。

4、DeMorgan公式：C“(An8)=G，AU£/；C“(AU8)=C,AfK*.

【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.

在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有

关问题。

A2.命题的否定与否命题

*1.命题pnq的否定与它的否命题的区别：

命题p=q的否定是,否命题是r?=r.

命题“夕或夕”的否定是“力且r”，“P且q”的否定是“一^或.”.

*2.常考模式：

全称命题P：VxeM,p(x)；全称命题p的否定-1P:3LxeM,「p(x).

特称命题p：3xeM,p(x)；特称命题p的否定一1P:TxeM「p(x).

A3.复数运算

mmm

*1.运算律：⑴z"'-z"=z"'+"：⑵(z"')"=z""‘；(3)(z|-z2)=z1z2(/M,ne^).

【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.

*2.模的性质：

(»1z,z2l=lz,||z2|；(2)|A|=1A1,⑶.

1

z2I22I'

*3.重要结论：

22

⑴|Z「Z2F+|Z|+Z2『=2(|Z,|+|Z2I)；

2

(2)Z]-z2=|z|=|z|；⑶(l±i)2=±2i；⑷j~=

(5”性质：T=4；i4n+'=i,i4n+2=-I,i4n+3=-i,i4n=1.

【拓展】：co=1<=>(<y—+<y+l)=0o(y=l或0=—]±-出---i.

A4.募函数的的性质及图像变化规律：

(1)所有的嘉函数在(0,+8)都有定义，并且图像都过点(1,1)；

(2)”>0时，幕函数的图像通过原点，并且在区间[0,+o。)上是增函数.特别地，当〃>1时，幕函数的图

像下凸；当0<4<1时，嘉函数的图像上凸；

(3)。<0时，基函数的图像在区间(0,+8)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y

-/

轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

【说明工对于幕函数我们只要求掌握4=1,2,3,!」的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1),

23

并且x=-l时图像都经过(1,1),把握好基函数在第一象限内的图像就可以了.

A5.统计

1.抽样方法：

(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.

(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概

率都相等(2).

N

2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.

总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图).

⑴频率分布直方图

用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积

的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

频数

①频率=

样本容量

②小长方形面积=组距X鼐1=频率.

组距

③所有小长方形面积的和=各组频率和=1.

【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小,

小矩形的面积表示频率.

⑵茎叶图

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，

即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做

茎叶图。

3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；

样本平均数：X=-(Xl+X2+---+%")=防七

n«Zi

4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).

(1)一组数据斗，々，了3,…，％

①样本方差

2222222

5=-[(^-^)+(%2-%)+-+(%„-%)]-X)=-(£X,)-(-£X,.)；

nni=ini=xn/=l

②样本标准差_____________

222

O=店=^[(x,-X)+(x2-x)+•••+(x„-x)]=J；X(.一丁)2

⑵两组数据为,々，了3,…,与其，必，%，…，％，其中y=时+6，i=.则歹=应+。,它们

的方差为,标准差为％=|a|%

③若石,工2,…,乙的平均数为x，方差为一，则叫+九驱+b,…,叫+。的平均数为ax+b,方差

为a2s2.

样本数据做如此变换：x；=用+0则(S')2=/s2.

B、(5〜9,中档题，易丢分，防漏/多解)

B1.线性规划

1、二元一次不等式表示的平面区域：

(1)当A>0时，若Ax+母+C>0表示直线/的右边，若Ar+By+C<0则表示直线/的左边.

(2)当B>0时，若Ax+8y+C>0表示直线/的上方，若Ar+B)，+C<0则表示直线/的下方.

2、设曲线。：(4%+4>+。])(42%+员丁+。2)=0(44瓦82H0),则

-/

(4、+4丁+0(4%+鸟丫+。2)>0或<0所表示的平面区域：

两直线4x+4〉+G=。和4》+与>+。2=o所成的对顶角区域(上下或左右两部分).

3、点勺(%,衣)与曲线/(x,y)的位置关系：

若曲线/(x,y)为封闭曲线(圆、椭圆、曲线|x+a|+|y+0|=w等)，则/(%,%)>0,称点在

曲线外部；

若〃x,y)为开放曲线(抛物线、双曲线等)，则/(4,%)>0,称点亦在曲线“外部”.

4、己知直线/:Ax+By+C=0,目标函数2=加+8)，.

①当5>0时，将直线/向上平移，贝Uz的值越来越大；直线/向下平移，则z的值越来越小；

②当3<0时，将直线/向上平移，贝”的值越来越小；直线/向下平移，则z的值越来越大；

5、明确线性规划中的几个目标函数(方程)的几何意义：

(1)z=ax+hy,若。>0,直线在y轴上的截距越大，z越大，若匕<0,直线在y轴上的截距越大,

z越小.

(2))二空表示过两点(x,))(〃,加)的直线的斜率，特别上表示过原点和(〃,,〃)的直线的斜率.

X-nx

(3)f=丫表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.

(4)y=J(x-m)2+(y-〃)2表示(x,y)到点(0,0)的距离.

(5)F(cos^,sin0)；

(6)』产+。；

7A2+B2

(7)a2±ab+b2；

【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x?+y2=i上的点(cosdsin。)及余弦

定理进行转化达到解题目的。

B2,三角变换：

三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换.

三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万

能公式为基础.

三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上

述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决.

三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升)、系数(常值"1”)和运

算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和

差角的变换.

变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，

平方消元等.

具体地：

(1)角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形

技巧，如下：

2ct=CC-\-CL■>a=2x—；

2

&+-少口)；

„„a+Ba-BB+aB-a

a=(a+£)-6=(a-£)+£=—#+——=-----%；

2a=2[(a+0-£]=2[(a-£)+£J=(a+/)+(a-£)=(/7+a)—(b—(z)；

2a+/?=(a+/7)+a,2a-J3=(a-+a；

15°=45°-30°,75°=45°+30°；

匹+a=江_(匹_a)等.

42\4)

-/

(2)“降哥”与“升幕”(次的变化)

利用二倍角公式cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a和二倍角公式的等价变形

sin;a=1~cy2a,cos%=l+s£2a,可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”

的互化.

(3)切割化弦(名的变化)

利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用

的手段是“切化弦”和“弦化切”.

(4)常值变换

常值好，乎，乎,1,6可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值“1”可作如下代

换：1=sin?x+cos2x-see2%-tan2x=tanx-cotx=2sin30°=tan-^=sin-y=cosO=…等.

(5)引入辅助角

一般的，asina+hcosa=Ja2+/?「(一---sina+/_^^=cosa)=sin(a+。)，期中

a.bb

coscp=/,sin°=/,tan(p=—.

\la2+b2yla1+b2a

特别的，sinA+cosA=y/2sin(A+—);

sinx+V3cosx=2sin(x+—),

V3sinx+cosx=2sin(x+一)等.

6

(6)特殊结构的构造

构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.

举例：A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°

可以通过A+B=2+sin70°,A—B=—!一sin70°两式和，作进一步化简.

2

(7)整体代换

举例：sinx+cosx=m=>2sinxcosx=/n2-1

sin(a+/3)-m,sin(a-/3)-n,可求出sinacos£,cosasin£整体值，作为代换之用.

B3.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点.

(1)角的变换

因为在A4BC中，A+B+C^7r(三内角和定理)，所以

任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.

锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；

③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.

即，sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C).

.AB+CA.B+CAB+C

sin-=cos------；cos一=sm-------；tan—=cot—

222222

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理.

面积公式:S=gsh”=gabsinC=r•p=p{p—a){p—a\p—a).

ADrrA

其中r为三角形内切圆半径，〃为周长之半.lan—lan—+tan—tan——Ftan—tan—=1

222222

⑶对任意AABC,；

在非直角AA8C中，tanA+tan5+tanC=tanAtanBtanC.

(4)在AABC中，熟记并会证明：

-/

*1.NAZB,ZC成等差数列的充分必要条件是4B=60°.

*2.AABC是正三角形的充分必要条件是成等差数列且a1,c,成等比数列.

*3.三边。,力,(;成等差数列O2b=a+c<=>2sinA=sinB+sinCOtan—tan—=-；.

2233

*4.三边a,b,c,成等比数列Ob2=acOsin2A=sinBsinC,8W工.

3

(5)锐角AABC中，A+B<=>sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA,a2+b2>c2；

2

sinA+sin3+sinC>8sA+cosB+cosC.

【思考】：钝角A4BC中的类比结论

(6)两内角与其正弦值：

在AABC中，6T>/?<=>>B<=>sinA>sinB<=>cos2B>cos2A,…

⑺若A+8+C=%,则Y+V+Z222yzeosA+2XZCOS5+2AYCOSC.

B4.三角恒等与不等式

组一

sin3。=3sina-4sii?a,cos3a=4cos3a-3cosa

sin2a-sin2p=sin(er+/5)sin(cr一尸)=cos2p-cos2a

“3tan0-tan30八冗c、,71

tan30=-----------1——-tan0tan(----夕)tan(——b0)

l-3tan2£?33

组二

tanA+tang+tanC=tanAtanBtanC

•,•-・「)ABC

smA+sm3+sinC=4cos—cos—cos一

222

c-I一A.B.C

cosA+cosB+cosC=14-4sin—sin—sin一

222

sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC

组三常见三角不等式

乃

(1)若不£(0,一)，则sinxvxvtanx；

2

(2)若尤£(0,2)，贝！JI<sinx+cosxW0；

2

(3)|sinx14-1cosx1；

(4)/(此=任二在(0,乃)上是减函数；

x

B5.概率的计算公式：

A包含的基本事件的个数

⑴古典概型:P(A)=

基本事件的总数

①等可能事件的概率计算公式：p(A)=-=CanKA);

ncard(I)

②互斥事件的概率计算公式：P(A+B)=P(A)+P(助;

③对立事件的概率计算公式是：P(A)=1—P(4)；

④独立事件同时发生的概率计算公式是：P{A-B)=P(A)・P(B)；

⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：

P,仆)=C：PA(1-P)T(是二项展开式［(1一。+/T的第(-1)项).

⑵几何概型：若记事件人={任取一个样本点，它落在区域guC},则A的概率定义为

=g的测度=构成事件4的区域长度(面积或体积等)

-c的测度—试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)

注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件

7

转化为等可能事件的概率（常常采用排列组合的知识）；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立

事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在〃次实验中恰有〃次发生的概率，但要注

意公式的使用条件.事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.

【说明】：条件概率：称尸（8|A）=C改为在事件A发生的条件下，事件8发生的概率。

P（A）

注意:①0<P（8|4）Wl；②P（BUC|A）=P（B|A）+P（C|A）。

B6.排列、组合

（1）解决有限制条件的（有序排列，无序组合）问题方法是：

彳立置分析法

「、古垃、+用加法原理（分类）元素分析法

①直接法：-----------------<

用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）

、捆绑法（相邻问题）

②间接法：即排除不符合要求的情形

③一般先从特殊元素和特殊位置入手.

（2）解排列组合问题的方法有：

①特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉））»

③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，

最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。

④不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好

没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。

⑤多排问题单排法。

⑥多元问题分类法。

⑦有序问题组合法。

⑧选取问题先选后排法。

⑨至多至少问题间接法。

⑩相同元素分组可采用隔板法。

⑪涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.

（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成〃组问题别忘除以〃!.

B7.最值定理

①>（）,由x+y药，若积初=产（定值），则当x=y时和x+y有最小值2，万；

②x,y>0,由x+y22j石，若和x+y=S（定值），则当x=y是积盯有最大值;

【推广】：已知则有（x+y）:=（x-y）2+2xy.

（1）若积町是定值，则当|x-y|最大时，|x+y|最大：当|x—y|最小时，|x+y|最小.

（2）若和|x+叶是定值,则当最大时，|xy|最小；当|x-y|最小时，|町|最大.

③已知eR7,若（zr+〃y=l,则有：

—+—=（ax+&>'）（-+--）=a+b+—+—^a+b+2y[ab=（y/a+\[b）：

xyxyxy

@a,x,b,y&R+,若@+2=1则有：x+j=（x+>1）（—+—）=a+b+2\[ab=（\[a+\[b）'

xyxy

B8.求函数值域的常用方法：

①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；

【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[凡山上的最值；二是求区间定（动），对

称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对

位置关系.

②逆求法：通过反解，用y来表示x,再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围，型如

-/

ax+b

y,XG(777,n)的函数值域;

cr+d

④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数

解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；

⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函

数，再运用其有界性来求值域；

⑥不等式法：利用基本不等式4+6N2J茄(“/€/?+)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积

k

为定值，型如y=x+—(A>0),解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技

X

巧；

⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；

⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等,

利用数与形相互配合的方法来求值域；

⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和

的形式，进而可利用函数单调性确定其值域.

⑩判别式法：对于形如初=%工+4工+、(4,牝不同时为0)的函数常采用此法.

a2x+h2x+c^

【说明工对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行

求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：

=型，可直接用不等式性质；

k+r

2.y=一卫hr一型，先化简，再用均值不等式；

x+nvc+n

x~-I-rvi,Ynr

3.y—-——型，通常用判别式法；

x~+mx+n

+fTjrY-i-

4.y----------型，可用判别式法或均值不等式法；

mx+n

@用数法：一般适用于高次多项式函数求值域.……

B9.函数值域的题型

(-)常规函数求值域：画图像，定区间，截段.

常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.

(二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.

解题步骤：(1)换元变形；

(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围：

(3)画图像，定区间，截段。

(三)分式函数求值域：四种题型

z-»V*_i_ac

(1)y=(。工0)：则y。一且

ax+ba

CY4-d

(2)y=i±_^(x>2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用X的范围解不等式求y的范围.

2/+3x—2

⑶y

6x2-x—1

(2x-l)(x+2)x+2.1、1[r

y=------------=-----(xw-)，则y。一n且ywl且D

(2x-l)(3x+l)3x+l23

2r—1

(4)求y=Y——的值域，当xeR时，用判别式法求值域。

X+X+1

2r—1

y=-......=yj?+(y-2)x+y+l=0,A=(y-2)2—4y(y+l)N0=>值域.

x+x+1

一/

(四)不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.

判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单

调性部分知识讲解.

(五)原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.

(六)已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已

知值域对照求字母取值或范围.

B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数(乘、除变量系数).例1.当0<%<4时，求函的数y=x(8—2x)最大值.

⑵凑项(加、减常数项)：例2.已知％<*,求函数/(幻=4%-2+」一的最大值.

44x—5

Y24-7x4-10

⑶调整分子：例3.求函数/(%)=-----------(xw-1)的值域；

X+1

⑷变用公式：基本不等式竺々NJ石有几个常用变形：与止Nab,(-)2>ab,

222

下手［之学，4^2(学)2前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.求函数

y=J2x-1+45—2x(；<x<!)的最大值；

⑸连用公式：例5.已知a>匕>0,求y=/+—J的最小值；

-b(a-b)

⑹对数变换：例6.已知x>g,y>l,且Ay=e,求f=(2x)i"的最大值;

JT

⑺三角变换：例7.已知0<y且tanx=3tany,求，=x-y的最大值；

⑻常数代换(逆用条件)：例8.已知。>0,。>0,且a+2b=1,求『='+，的最小值.

ab

B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和为定值__

若/+丁2=。(〃为定值，awO),可设x=Gcosa,y=J^sina,,其中0WaV2；r.

①f(x,y)=x+y=y/asina+cosa-V2asin(a+—)在［0,—幻,［—万,2万)上是增函数，在

444

匚1应5匕万］上是减函数；

44

113571357

②g(x,>)=孙=—asin2a在［0,—;r］,—乃］,［—兀,2%)上是增函数，在［一I,一乃］,［一］,一万］上是减

■244444444

函数；

„,11x+ysina+cosa..k,/乃、舟上

③m{x,y)x=—+—=----=-j=----------.令r=sina+cosa=\J2asin(a+—),其中

xyxyJasinacosa4

—21)电(5.由r=i+2sinocosa,得2saina=tc-o,从而

m(x,y)=一=一J-在［一夜，一1)U(-1,1)Ud,V2］上是减函数.

痴2-DG(」

t

⑵和为定值

若x+y=6(人为定值，〃。0),则>=力一天.

bb

®g(^y)=xy=-x2+笈在(一8,万］上是增函数，在［万,+8)上是减函数；

-/

Iix+vhhh

②加(x,y)=—+—=----=—----.当力>0时，在(一oo,0),(0,—］上是减函数，在+8)上

xyxy-x+bx22

是增函数；当b<0时，在(―8力),(/］上是减函数，在20),(0,+8)上是增函数.

22

bh

③n(x,y)=f+V=2x2+2bx+〃在(-oo,万］上是减函数，在弓，+℃>)上是增函数：

⑶积为定值

若jqy=c(c为定值，c*0),JJPJy--.

x

①/(x,y)=x+y=x+£.当c>。时，在［-G,0),(0,W］上是减函数，在(一8,-6］,［八,+8)上是增

X

函数；当C<0时，在(-00,0),(0,+0。)上是增函数；

②m(x,y)=—+—==-(%+—).当c>0时，在［->fc,0)”(上是减函数，在

xyxycx

(-00,-五］,］&,+00)上是增函数；当C<0时，在(Y0,0),(0,+8)上是减函数；

2

③n(x,y)=%2+J=f+==(%+与2-2c在(-oo,-7c),(0,Vc］上是减函数，在(-Vc,OJ,［Vc,+oo)上是

xx

增函数.

⑷倒数和为定值

若L+L=2(。为定值，_L,_L,_L),则>=£.成等差数列且均不为零，可设公差为z,其中z声±2，

xydxdyxd

l111dd

则nl一=:_2,_=：+2得*=_r--

xdya:1-az;1+dz

①/(x)=x+y=—■方.当d>0时，在(―8,-工),(—工,0］上是减函数，在［0,工),(工,一。。)上是增函

l-d-zdddd

数；当d<0时，在(―8,'),(工,0］上是增函数，在［0,+8)上减函数；

dddd

②g(x,y)=_xy=—&■=..当d>0时，在(一oo,-L),(-•L。］上是减函数，在［0,'),(',+8)上是增函

\-d~zdddd

数；当d<0时，在(―8,工),(工,0］上是减函数，在［0,-工),(—2,+8)上是增函数；

dddd

22

③〃(九,y)=彳2+y2=2"(,,一［1)..令/=jz+i,其中且f/2,从而

(dz-1)

*7才2tQJ2

n(x,y)=----7=y—在［1,2)上是增函数，在(2,+8)上是减函数.

0-2)-

Z+2.4

t

B12.理解几组概念

*1.广义判别式

设/(%)是关于实数x的一个解析式，a,"c都是与x有关或无关的实数且。H0,则△=〃—4acZ0是

方程a［f(x)］2+af(x)+c=0有实根的必要条件，称为广义判别式.

*2.解决数学问题的两类方法：

一是从具体条件入手,运用有关性质，数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决;二是从整体上考查命

题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法.

*3.二元函数

设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中。中，任取一组数值时，第三个变量Z就以某一确定的

法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z称为变量x与y的二元函数.记作：Z=f(x,y).其中x与y称

-/

为自变量，函数Z也叫做因变量，自变量x与)，的变域O称为函数的定义域.

把自变量x、y及因变量Z当作空间点的直角坐标，先在my平面内作出函数Z=/(x,y)的定义域。；

再过O域中得任一点M(x,y)作垂直于wy平面的有向线段MP,使其值为与(X,)，)对应的函数值Z；

当M点在。中变动时，对应的P点的轨迹就是函数Z=/(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，

其定义域D就是此曲面在叼平面上的投影.

*4.格点

在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点(又称整数点).在数论中，有所谓格点估计问题.在直

角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形,

它是运筹学中的一个基本概念.

*5.间断点

我们通常把间断点分成两类：如果/是函数/(x)的间断点，且其左、右极限都存在，我们把飞称为

函数"X)的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.

*6.拐点

连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.

如果y=在区间(。,。)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定y=/(x)的拐点.

⑴求/〃(x)；

(2)令/"(x)=0,解出此方程在区间(a,切内实根；

(3)对于(2)中解出的每一个实根检查/"(x)在/左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此

点是拐点，若相同，则不是拐点.

*7.驻点

曲线/(x)在它的极值点与处的切线都平行于x轴，即/(%)=0.这说明，可导函数的极值点一定是它的

驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.

*8.凹凸性

定义在。上的函数/(x),如果满足：对任意士,玉e。的都有外1，；"(占)+/(玉)1，则称是/(X)上

的凸函数.定义在。上的函数如果满足：对任意的知x,e。都有了(土也)五,"(占)+/(Xi)l,则称f(x)是。上

22

的凹函数.

【注】：一次函数的图像(直线)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等号成立).

若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的

上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.

B13.了解几个定理

*1.拉格朗日中值定理：

如果函数y=/(x)在闭区间切上连续，在开区间(a/)内可导，那末在(a/)内至少有一点c,使

/(&)-/(«)=S-a)f'(c)成立.这个定理的特殊情形，即：f(b)=/⑷的情形.描述如下：

若奴幻在闭区间［a,。］上连续，在开区间(a,加内可导，且0(a)=°(与，那么在(。,打内至少有

一点c,使°'(c)=o成立.

*2.零点定理：

设函数/(x)在闭区间［a,句上连续，且/(a>/(b)V0.那么在开区间(a,b)内至少有函数/(x)的一个零

点，即至少有一点J使/(乡=0.

*3.介值定理：

设函数f(x)在闭区间口，句上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)=A,f(b)=B,那么对于A,B

之间任意的一个数C,在开区间(a,力内至少有一点使得/(4)=C

*4.夹逼定理：

设当0V|X—X。|Vb时，有g(x)W/(x)<〃(x),且limg(x)=lim/?(x)=A,则必有limf(x)=A.

X-^XQXT而XT与

【注】：|x-X0|:表示以Xo为的极限，则|x-Xol就无限趋近于零.(？为最小整数)

C、10〜12,思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力

-/

C1.线段的定比分点公式

设片（和乂），鸟12，%），P（x,y）是线段片鸟的分点，力是实数，且物=/而（或9=上丽）,

A

则

_%+AX2

1+4一kOP+AOP--—1,—-/1、

c。。尸二—!------y-«>OP=tOP+(]-t)Oe(1=------)

_」+4为1+九-1+4

—1+2

X+%

y=

推广1：当2=1时，得线段尸的中点公式：.2

X)+x

X=2

2

推广2：些=丸贝|J而二第"对应终点向量）•

MB

_x{+x2+x3

x~~

三角形重心坐标公式：XABC的顶点A{XX，力1M%2，丁2），。（与，y3），重心坐标G（X,丁）：<

1，一。+)'2+%