（一诊）德阳市高中2022级（2025届）高三第一次诊断考试数学试卷（含官方答案）

德阳市高中2022级第一次诊断考试 数学试卷 2024.12.3说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分，120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.设集合A=x|y=x,集合B=x∈Z|-2＜A.[0,1]B.{0}C.[0,1)D.{0,1}2.已知复数z满足(1+i)z=|-i|,则z=A.12-12iB.12+12iC3.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为y=-52温度x(℃)6810病毒数量y(万个)3022mA.m=19B.m=20C.m=21D.m的值暂时无法确定4.已知数列an的前n项和为Sn=n²+kn,且a₃=6,则数列A.910B.109C.10115.底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为A.2B.32C.155D6.设(1+ax5=a0+A.120B.-120C.40D.-40数学一诊第1页(共4页)7.函数fx=2x,-1＜x＜1,3-m,x≥1单调递增,且f(A.(-2,1]B.(-2,1)C.(0,1]D.(0,1)8.设F₁,F₂为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0A.6B.5C.2D.3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是A.随机变量X服从二项分布B312,Y=B.数据x₁,x₂,x₃,…,xn的平均数为2,则33C.数据2,4,6,8,10,12,14的第60百分位数是10D.随机变量X服从正态分布N(5,σ²),且P(2＜X＜5)=a,则P(X＞8)=1-a10.定义在R上的函数f(x)满足fxA.f(0)=2B.f(x)为奇函数.C.6是f(x)的一个周期D11.已知函数fxA.当m≤3时,函数f(x)有两个极值B.过点(0，1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有一条C.当m=1时,若b是a与c的等差中项,直线ax-by-c=0与曲线y=f(x)有三个交点Px₁y₁,QD.当m=0时,若-1＜x＜第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为13.已知sinα+β=23,tanα=3tanβ,则c14.若关于x的方程lnx+|1+mx数学一诊第2页(共4页)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)平面向量e₁，e₂满足e₁,e₂|(1)若b在a上的投影向量恰为a的相反向量，求实数t的值；(2)若＜a，b＞为钝角，求实数t的取值范围.16.(本题满分15分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=6,△ABC的面积(1)若cosA=14(2)求内角C取得最大值时△ABC的面积.17.(本题满分15分)已知函数fx=log54-x(1)若λ=34,求函数f((2)若D=mn,且g数学一诊第3页(共4页)18.(本题满分17分)甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同.现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后n∈N*,，记甲袋中的白球数为Xn(1)求p₁,p₂;(2)求Pn(3)求E19.(本题满分17分)若函数y=fx)与y=g(x)在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称y=fx与y=g((1)证明函数y=2sinxcosx-(2)已知fx=lnxxa与①求实数a的值；②判断命题：“∃x₀,x₁,x₂∈R,fx₁=fx₀=g数学一诊第4页(共4页)德阳市高中2022级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.D2.B3.B4.C5.D6.A7.C8.B二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9.AC10.ACD11.BD三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.813.79四、解答题(本大题共5小题，共77分)15.解:(1)由题意得a⋅b|a|2a=-a,从而a⋅b|a|2=-1,亦即(又a⋅b=所以t²+2t+1=0即l=-1…………(7分)(2)<a,b>为钝角⇔a与b不可线⇔2t<0所以t的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,0)…………………(13分)16.解:(1)由S=c2sinA=12bc由于a=6,cos36=b²+c²-2bccosA=4c²+c²-c²=4c²,,从而c=3…(6分)即b=6…………(7分)(2)△ABC中有(cos(当且仅当32c=c8,即。此时，角C取到最大值π6,b=43S=12ab17.解:(1)因为λ=34,由-x2+令t=-x2+数学一诊答案第1页(共4页)从而f（x）的值域为（﹣∞,2]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）(2)由于D=(m,n),且△=4λ²+4>0,所以方程-x²+2λx+1=0的两根分别为m，n且m+n=2λ,mn=-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）又gm-gn亦即从而⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）所以，λ²-9≤0⇔-3≤λ≤3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15分）18.解：(1)记第n次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为qn，则第n次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为1-pn-qn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）p2=p(2)由(1)知p所以pn-2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）所以p即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）(3)显然Xn的所有可能取值为0,1,2且⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分q即从（15分）所以Xn的分布列为x,012P16—(-1)'.1(-12)"+1—1(-1)'所以EXn=0+1×19.解:1y=sin2x-3cos2x=2sin数学一诊答案第2页(共4页)即x=kπ+5π12k∈Z时，yₘₐₓ=2;所以函数y=x-sinπxπ在[0，2]上单调递增，从而当x=2函数y=2sinxcosx-3cos2当a<0时,若x∈0e1n,f'x<0;若上单调递减，在e1当a=0时,f(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增,无最大值;当a>0时,若x∈0e1a,f'x>0;若上单调递增，在e1a+∞上单调递减，所以当x=e1ag因为a>0,所以x∈(0,a)时,,g'(x)>0;x∈(a,+∞)时,g'(x)<0,即函数g(x)在(0,a)上单调递增，在(a，+∞)上单调递减，从而当x=a时，gxmax=由于fx=lnxxa与gx=xaex即1将上式两端取自然对数得-lna--1=alna-a,即ln令ha=ln所以h(a)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,从而a=1…(10分)②命题为真命题，理由如下：先考察方程f(x)=g(x)的实根情况，令m由①知f(x)在(1,e)上单调递增,g(x)在(1,e)上单调递减,所以m(x)=f(x)-g(x)在(1，e)上单调递增，又m所以存在唯--x₀∈1e,使得m(x₀)=0,即方程f(x)=g(x)在(1,e)上有唯一实根x₀,且f其次考察方程f(x)=f(x₀)|的实根情况，令n(x)=f(x)-f(x₀)由①知n(x)在(e,+∞)上单调递减,且数学一诊答案第3页(共4页)

所以存在唯-一x₁∈(e,+∞),使得n(x₁)=0,即f(x₁)=f(x₀),由于fx0=gx0=x0ex0=lnex0ex0=fex0,最后考察方程gx=gx₀由①知p(x)在(0,1)上单调递增,且p所以存在唯--x₂∈0l,使得p(x₂)=0由于gx0=fx0=由g(x)在(0,1)上的单调性知:x₂=lnx₀…………(15分)所以.x1x2=ex即x1x2②另解先考察方程f(x)=g(x)的实根