湖南省张家界市2023-2024学年高一数学上学期期末数学试卷（含答案）

湖南省张家界市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={3，4，5}，A．{3} B．{4} C．{5} D．{32．命题“∀x∈(1，+∞)，A．∃x∈(1，+∞)，x−1>lnx C．∃x∈(1，+∞)，x−1<lnx 3．已知扇形的半径为3，圆心角弧度数为2，则其面积为（）A．18 B．12 C．9 D．64．下列命题为真命题的是（）A．若a>b，则a2>b2 C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd5．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（）A．20人 B．17人 C．15人 D．12人6．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为y=10t，0≤t≤0A．a=0.2，t0=0.C．a=0.1，t0=0.7．英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了如下公式：sinx=x−x33!+x55!−A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.868．若a=cos50°cos128°+cos40°cosA．a>b>d>c B．b>a>d>c C．d>a>b>c D．c>a>d>b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列各命题中，p是q的充要条件的有（）A．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例B．p：四边形是菱形；q：四边形的对角线互相垂直C．p：xy>0；q：x>0，y>0D．p：lgx>1；q：10．函数y＝3sin(2x+A．向左平移π3B．向左平移π3个单位长度，横坐标缩短到原来的1C．横坐标缩短到原来的12，向左平移πD．横坐标缩短到原来的12，向左平移π11．已知函数f(x)=ax−(1A．函数f(x)是奇函数B．函数f(x)在其定义域上有零点C．函数f(x)的图象过定点(0D．当a>1时，函数f(x)在其定义域上单调递增12．已知函数f(x)的定义域为R，则下面判断正确的是（）A．若∀x∈R，f(x+1)>f(x)，则函数f(x)在R上是增函数B．若∀x1，x2C．若∀x1，x2D．若∀x1，x2∈(−1，1)且x1≠x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)：.①f(x)是偶函数；②f(x)在(0，14．若a>0，b>0，a+b=1，则1a+115．17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JohannesKepler）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图，在其中一个黄金△ABC中，BCAC=5−116．设函数f(x)=x+1x，若方程f(|3x−2|)+2a(四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知集合A={x|3≤3x≤27}（1）求A∪(∁（2）已知集合C={x|1<x<a}(a>1)，若C⊆A，求实数a的取值范围。18．已知函数f(（1）若m=2，解不等式f(（2）若关于x的不等式f(x)<−9m的解集为19．如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=π2，记∠MOA=α，（1）若α=π3，求点（2）若点A的坐标为(45，20．已知函数f(x)=（1）求f(x)（2）判断函数f(x)21．一根长为L的材料AB（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=1m.（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）求能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求L的最小值）.22．设函数f(x)=cosπ3x，（1）求函数y=f(x)在(0，（2）若∀x1∈(0，3)，∃（3）求证：函数φ(x)=f(x)−g(x)在(0，+∞)上仅有一个零点x0，并求[h(g(x0))]（[x]表示不超过

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由y=2x−3，x∈{3,4,5}，则集合B={3,故答案为：D.【分析】先求集合B，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：命题“∀x∈(1,+∞)，x−1>lnx”的否定是“故答案为：B.【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接判断即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：由扇形面积公式可得S=1故答案为：C.【分析】根据扇形面积公式求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、取a=−1，b=−2，满足a>b，但a2B、由a>b，当c=0时，ac=bc，故B错误；C、根据同向不等式的性质知，a>b，c>d可推出a+c>b+d，故C正确；D、取a=3，b=0，c=−1，d=−2，满足条件，但ac<bd，故D错误.故答案为：C.【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：设参加田径运动的同学构成集合A，参加球类运动会的同学构成集合B，则参加田径运动的同学人数cardA=8，参加球类运动会的同学人数cardB=12，两次运动会都参赛的同学人数card(A∩B)=3，则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为card(A∪B)=cardA+cardB−card(A∩B)=8+12−3=17.故答案为：B.【分析】利用容斥原理card(A∪B)=cardA+cardB−card(A∩B)求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：当t=0.1时，y=1，代入解析式可得(1令(116)t−0.1=0故答案为：C.【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解即可，7．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：sin1≈1−13!+故答案为：B.【分析】根据题意将x=1代入sinx=x−8．【答案】A【解析】【解答】解：a=cosb=2c=1−d=1因为y=cosx在[0,π]上单调递减，且78°<79°<80°<81°，所以故答案为：A.【分析】利用三角恒等变换化简各式，再由余弦函数单调性比较得出大小即可.9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、“两个三角形相似”，可得“三角形三边对应成比例”，所以p是q的充分条件；又“两个三角形三边成比例”可得“两个三角形相似”，所以充要条件，故A符合；B、因为对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，所以p不是q的充要条件，故B不符合；C、由“xy>0”⇒“x>0y>0或x<0y<0”，所以p不是D、lgx>1⇔x>10，所以p是q故答案为：AD.【分析】根据充要条件的判断方法，逐项判断即可.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：①先平移后伸缩：

将函数y＝sinx的图象向左平移π3得到函数y＝sin(x＋π3)，再横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变得到函数y＝sin(2x＋π3)，

再横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin(2②先伸缩后平移：

将函数y＝sinx的图象横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变得到函数y＝sin2x，再向左平移π6得到函数y＝sin(2x＋π3)，

再横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin(2x故答案为：BD.【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换判断即可.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=ax−(1a)B、令f(x)=aC、因为f(0)=a0−D、当a>1时，0<1a<1，所以y=ax所以f(x)=a故答案为：ABD.【分析】根据奇函数定义即可判断A；由方程f(x)12．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、令f(x)=sin(2πx)+x，满足f(x+1)>f(x)，但函数f(x)在B、令x1=x,可得f(x)+f(−x)=0，即满足f(−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，故B正确；C、若∀x1,所以|f(x)−f(x+2π)|≤|sinx−sin满足f(x)=f(x+2π)，可得函数f(x)是周期为T=2π的周期函数，故C正确；D、取∀x1,x2，满足−1<x1可得|sinx1即sinx可得f(x1)+所以函数f(x)−sinx在区间(−1,1)上单调递减，函数故答案为：BC.【分析】令f(x)=sin13．【答案】f(x)=x【解析】【解答】解：函数f(x)=x2，定义域为由f(x)=x2的图象可知在故答案为：f(【分析】根据函数的奇偶性、单调性写答案即可.14．【答案】4【解析】【解答】解：因为a>0，b>0，a+b=1，所以1a当且仅当ba=ab，即故答案为：4.【分析】根据已知条件，利用基本不等式求解即可.15．【答案】−【解析】【解答】解：在等腰△ABC中，∠BAC=36∘，则由正弦定理可得：BCAC=5故sin954°=故答案为：−5【分析】利用正弦定理得到边角关系，再通过正弦的二倍角公式转化求解cos316．【答案】(−【解析】【解答】解：令|3x−2|=t，则f(t)+2a(1t作出函数y=|3原的问题转化为方程t2+(2a−3)t+2a+1=0有两根当t1=0,t2当t1∈[2,+∞),t2∈(0,2)时，需满足Δ=(2a−3)故答案为：(−1【分析】利用换元法将方程转化为t2+(2a−3)t+2a+1=0必有两根，画出函数y=|3x−2|17．【答案】（1）解：由A={x|3≤3x≤27}={x|因为B={x|x>2}，所以∁R可得A∪(∁（2）解：由（1）知A={x|1≤x≤3}，因为C⊆A，且a>1，所以1<a≤3，即实数a的取值范围为(1，【解析】【分析】（1）先解指数不等式求得集合A={x|1≤x≤3}，再由集合混合运算求解即可；（2）由（1）知A={x|1≤x≤3}，再根据集合间的包含关系，求解即可.18．【答案】（1）解：当m=2时，f(x)=2x所以原不等式的解集为(−2，（2）解：依题意，∀x∈R，f(x)<−9m⇔mx当m=0时，2x+4<0，解得x<−2，不合题意，因此m≠0，二次函数y=mx2+2(m+1)x+9m+4值恒小于0，则m<0化简4(m+1)2−4m(9m+4)<0得：8m2于是得m<−1所以实数m的取值范围是(−∞【解析】【分析】（1）利用m的值得出函数的解析式，再结合一元二次不等式求解方法得出不等式f(x)<0的解集。

（2）依题意，∀x∈R，f(x)<−9m⇔mx2+2(m+1)x+9m+4<0，当m=0时，2x+4<0，再结合一元一次不等式求解方法得出x的取值范围，不合题意，因此m≠0，二次函数y=m19．【答案】（1）解：因为α=π3，所以cosα=12，sin（2）解：因为A点在单位圆上，得(4又因为点A位于第一象限，m>0，则m=3所以点A的坐标为(45，35所以sinβ=所以sinα−【解析】【分析】（1）利用三角函数定义，求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标；（2）先由点A在单位圆上求m得sinα，再利用三角函数定义与诱导公式求解sin20．【答案】（1）解：根据题意，函数f(x)=m则f(1)解得m=3，则f(则f(故函数f(（2）解：函数f(x)证明：任取x1，x则f(x又由0≤x1<x2，则x2则f(x1)−f(x2【解析】【分析】（1）根据题意，将两个点的坐标代入函数的解析式，求得m,n的值，即可得函数的解析式，再分析函数的奇偶性即可；21．【答案】（1）解：由题意知，∠OAC=∠BOD=θ，可得AO=ACcosθ所以L=AO+BO=1cos（2）解：令t=sin因为θ∈(0，π2)，所以θ+则L(x)=2t易知y=t−1t在t∈(1，2]所以L(t)即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为2【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得AO=1cosθ，BO=1sin（2）利用换元法令t=sinθ+cos22．【答案】（1）解：因为x∈(0，6)，所以由0<π3x≤π由π≤π3x<2π所以函数y=f(x)在(0，6)上的单调减区间是(0，（2）解：若∀x1∈(0，3)则f(x)在(0，3)上的值域为h(x)在由（1）知，y=f(x)在(0，所以f(x)的值域为(−1，对于函数h(x)=e2x−因为x∈(−∞，a)则H(t)=t2−25（i）当ea≤15时，（ii）当ea>15时，H(t)在所以H(ea)≥1，即(综上，a≥ln（3）证明：由（1）知y=f(x)在(0，3)上是减函数，又y=g(x)在所以φ(x)=f(x)−g(x)=cosπ3