专题5.4 三角函数的图象与性质（6类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题5.4三角函数的图象与性质TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：正弦、余弦、正切函数的图象】 1【考点2：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】 6【考点3：正弦、余弦、正切函数的周期性】 12【考点4：正弦、余弦、正切函数的单调性】 16【考点5：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】 23【考点6：正弦、余弦、正切函数的对称性】 26【考点1：正弦、余弦、正切函数的图象】【知识点：正弦、余弦、正切函数的图象】三角函数正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx图象1．（2022·高一课时练习）函数y=sinx，x∈0,2π的图像与直线A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用数形结合即可.【详解】在同一平面直角坐标系内，先画函数y=sinx，x∈0,2故选：C．2．（2022秋·上海杨浦·高一校考期中）函数y=10sinx与函数y=x的图像的交点个数是（A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】作出函数y=10sinx和【详解】y=10sinx的最小正周期是2π，y=x∈[−10,10]时，x∈[−10,10]，作出函数y=10sinx和y=x的图象，只要观察故选：C．3．（2022秋·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）在区间0,π内，函数y=sinx与y=tanA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】对x分类讨论，结合正弦、正切函数的性质判断即可；【详解】解：当x=0时sinx=tanx=0，故x=0是函数y=当x∈0,π2时，则tanx−sin所以1cosx>1，则1cosx−1>0，即tanx−当x∈π2,π时，tanx<0，sinx>0，所以tan当x=π时sinx=tanx=0，故x=π是函数y=综上可得函数y=sinx与y=tanx的图像在故选：C4．（2022春·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）函数y=6cosx与y=3tanx在0,π上的图象相交于M，N两点，A．2π B．32π2 C．【答案】D【分析】通过解三角方程求得M,N的坐标，从而求得△MON的面积.【详解】依题意，0<x<π，则由6cosx=36cos2x=23sin2解得sinx=32，所以xM=所以yM所以Mπ3,3,N2π所以S△MON故选：D5．（2022春·陕西安康·高二校考期中）函数fx=sinx在区间0,22π上可找到n个不同的数x1,xA．20 B．21 C．22 D．23【答案】C【分析】题意即考虑直线y=kx与y=sinx的图象在【详解】设fx1x1=fx2x2=⋅⋅⋅=fxk=0时，有21个交点，k>0时，最多有21个交点，即n的最大值为22故选：C．6．（2022春·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）函数y=1+sinx，x∈π4,πA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】ABC【分析】作出函数y=1+sinx，x∈π【详解】解：作出函数y=1+sinx，x∈π所以，当t>2或t≤1时，y=1+sinx，x∈π当t=2或1<t≤1+22时，y=1+sinx，当1+22<t<2时，y=1+sinx故函数y=1+sinx，x∈π故选：ABC7．（2022·高一课时练习）关于函数fx=1+cosx，x∈π3,2A．当t<0或t≥2时，有0个交点 B．当t=0或32C．当0<t≤32时，有2个交点 D．当【答案】AB【分析】作出函数函数fx=1+cos【详解】根据函数的解析式作出函数fx对于选项A，当t<0或t≥2时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当t=0或32对于选项C，当t=3对于选项D，当32故选:AB．8．（2021春·北京·高一校考阶段练习）函数y=sinπx【答案】3【分析】将函数y=sinπx2−【详解】函数y=sinπx在同一坐标系中作出y=sin由图象知，在区间−6,6内的零点个数为3，故函数y=sinπx故答案为：39．（2022·高一课时练习）用五点法作函数y=2cos【答案】见解析.【分析】分别取x等于0，π2，π，3π2，2π，求出对应的x,y的值，描点连线得出函数y=2cosx−1在[0,2π]的简图，再将y=2cosx−1在【详解】y=2cosx−1,x∈Rx0ππ3π2πy=220−202y=21−1−3−11把y=2cosx−1在[0,2π]上的图像向左右拓展，得y=2cos【考点2：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】【知识点：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】三角函数正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx图象定义域RR{值域[－1,1][－1,1]R最值当且仅当x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1[方法技巧]三角函数值域或最值的三种求法直接法形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函数，直接利用sinx，cosx的值域求出化一法形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)换元法形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)1．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）函数y=−sin2x+4A．2,10 B．0,10 C．2,10 D．−10,−2【答案】D【分析】利用平方关系将函数写成关于cosx【详解】由sin2x+令cosx=t，则t∈−1,1易知，二次函数f(t)=t2+4t−7所以函数f(t)=t2+4t−7所以，yy所以，其值域为−10,−2.故选：D.2．（2022春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知函数fx=sin2x+φ，0≤φ<2π，若对∀x∈R，fA．π6 B．5π6 C．7【答案】D【分析】根据题意可知，函数fx=sin2x+φ在x=π3时取最大值，所以【详解】由函数fx=sin2x+φ对函数fx=sin2x+φ所以，2×π3又因为0≤φ<2π所以k=1时，φ=故选：D3．（2022·四川自贡·统考一模）函数fx=a−3tan2x在x∈A．5π12 B．π3 C．π【答案】B【分析】首先根据区间的定义以及fx的有界性确定b的范围，然后再利用正切函数的单调性得到fx的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出【详解】∵x∈−π6,b，根据函数f(x)在x∈−所以2b<π2，即b<π4，根据正切函数则f(x)=a−3tan2x∴f−π6则tan2b=33，∵2b∈−π∴ab=4×π故选：B.4．（2022·高一课时练习）函数y=tanx−π6，A．−3,1 B．−1,33 C．【答案】A【分析】设z=x−π6，求得z∈−π3【详解】设z=x−π6，因为x∈−因为正切函数y=tanz在−π2,所以tanz∈故选：A．5．（2022春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数fx=cosx+π3，若fx在0,aA．π3 B．2π3 C．4π3【答案】BC【分析】根据已知求出a的范围即可.【详解】fx=cosx+又因为fx的值域是−1,1可知a的取值范围是2π3故选：BC.6．（2022·高一课时练习）函数y=−tan【答案】{x|x≠【分析】先得到使函数有意义的关系式2x−3π【详解】若使函数有意义，需满足：2x−3π解得x≠5π故答案为：{x|x≠7．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）函数f(x)=sin【答案】[−1,1]【分析】根据正弦函数的图象和性质即得.【详解】因为函数f(x)=sin2x,x∈−所以sin2x∈−1,1，即函数f(x)=故答案为：[−1,1].8．（2022·全国·高三专题练习）函数y=tan【答案】0,+【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.【详解】设z=x+π6，因为x∈−因为正切函数y=tanz在0,π即函数y=tanx+π6在故答案为：0,+∞9．（2022·上海闵行·统考一模）已知函数fx=2sinωx+π4ω>0在区间−1,1【答案】5【分析】根据函数值域满足n−m=3，结合正弦函数的图象可知ω+π【详解】∵x∈−1,1，令t=ωx+∴−ω+π4≤t=ωx+∵n−m=3，作出函数y=2sin由图可知，以π4为中心，当ω>0变大时，若0<ω<π4，函数最大值y→2，最小值y→0，不满足n−m=3，若π4≤ω时，函数最大值y=2，所以只需要确定函数最小值，因为n−m=3，需函数最小值为y=−1函数值域为[−1,2]，满足n−m=3，当5π12<ω时，函数最小值y<−1，此时不满足n−m=3，综上故答案为：5π10．（2022春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）函数y=2−sin2x−【答案】7【分析】利用同角三角函数的关系将函数变形为y=(【详解】因为y=2−sin又因为x∈−π3所以当cosx=−12时，函数y=2−故答案为：7411．（2022春·江西·高三校联考阶段练习）函数fx=cos【答案】−1【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】解：因为x∈0,π2所以当2x+π4=故答案为：−1.【考点3：正弦、余弦、正切函数的周期性】【知识点：正弦、余弦、正切函数的周期性】函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象最小正周期2π2ππ1．在函数y=sin2x,y=sinx,y=cosA．y=sin2x B．y=sinx C．【答案】A【分析】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.【详解】由正弦函数性质，y=sin2x的最小正周期为2π2=由余弦函数性质，y=cosx的最小正周期为由正切函数性质，y=tanx2综上，最小正周期为π的函数是y=sin故选：A2．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)的最小正周期为TT>π2，且将y=f(x)的图象向右平移A．3π4 B．π C．3π2 【答案】A【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇偶性，可得ω=−43−4k,k∈Z，由【详解】将函数f(x)=sin(ωx+π得y=sin(ωx+π则函数y=sin所以−π3−又T=2πω>π2则T=2π故选：A.3．（2022·浙江·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+π6（其中A>0，ω>0）的最小正周期为T，若2π3<T<A．−3 B．−1 C．1 D．【答案】C【分析】根据2π3<T<π得到2<ω<3，由y=fx图象上有一个最低点3π2,−2，求出A=2，ω=89+【详解】因为ω>0，所以2π3<T=y=fx图象上有一个最低点3π2,−2，且且2sin3ωπ2+解得：ω=89+由2<ω<3可得：89+4因为k∈Z，故k=1所以ω=8故fx所以f3故选：C4．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的是（

）A．y=sinx B．y=sinx C．【答案】AD【分析】利用特殊值排除B，利用图象以及三角函数最小正周期的知识求得正确答案.【详解】A选项，y=sinx的图象如下图所示，由此可知y=sinB选项，令fx=sinf−C选项，令gx=cos所以π不是y=cosD选项，对于函数y=cos2x，当2x≥0时，当2x<0时，y=cos所以y=cos2x=故选：AD5．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中期中）函数y=sin【答案】2【分析】直接利用三角函数的周期公式，即可求解.【详解】解：由正弦函数的周期公式得T=2所以函数y=sin3x的最小正周期为故答案为：26．（2000·北京·高考真题）函数y=cos【答案】3【分析】利用周期公式求解即可.【详解】函数y=cos2π故答案为：3.7．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）函数y=tan【答案】1【分析】直接根据正切函数的周期公式得答案.【详解】函数y=tan3πx+故答案为：18．（2022秋·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）已知函数y=tanax−π6(a≠0)【答案】±2【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求a的值.【详解】解：函数y=tanax−π6(a≠0)故答案为：±2.9．（2022春·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）设f(n)=cosnπ【答案】−【分析】确定f(n)的周期为4，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，计算得到答案.【详解】f(1)=cosπ2+πf(4)=cos4πf(n+4)=cos2π且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2022)=f(1)+f(2)=−2故答案为：−10．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象与直线y=a的相邻的四个交点依次为A，B，C，D，且AB=【答案】2【分析】由正弦函数的图象与性质可得，AB=CD=π2，BD=2π，所以【详解】由题，显然a≠±1，作出示意图由正弦函数的图象性质及AB=π2，BD=4CD可知，AB=CD=π所以函数f(x)的周期为2π故答案为：2π【考点4：正弦、余弦、正切函数的单调性】【知识点：正弦、余弦、正切函数的单调性】函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))为增；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))为减，k∈Z[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))为增，k∈Z1．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）下列四个函数中，在区间0,π2上为增函数的是（A．y=−sinx C．y=tanx 【答案】C【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性判断即可.【详解】对A，因为y=sinx在0,π2上递增，所以对B，y=cosx在对C，y=tanx在对D，由C知，y=−tanx在故答案为：C2．（2022·四川达州·统考一模）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在区间[−A．0，83​ B．C．12，83​【答案】B【分析】根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调增区间，根据函数f(x)在区间[−π【详解】∵fx在区间[−所以−由函数解析式知:fx在[2k则有−ωπ4所以当k=0时，有0<ω≤1故选:B.3．（2022春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）下列不等式成立的是（

）A．sin−π10C．sin7π8【答案】BD【分析】利用正余弦函数的单调性可得出每个选项中两个三角函数值的大小，即可选出答案.【详解】因为−π2<−π8<−π因为cos400∘=cos40∘,即cos400因为π2<7π8<8因为π2<2<3<3π2，且函数y=故选：BD4．（2022春·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知函数fx=cosωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期π，且对任意x∈R，f【答案】π【分析】根据已知先求得fx=cos2x+π【详解】解：由函数fx=cosω=2π又对任意x∈R，fx所以函数fx在x=π3处取得最小值，则2即φ=π3+2k又0<φ<π所以φ=π所以fx令2kπ≤2x+π解得−π6+k则函数y=fx在0,故实数a的最大值是π3故答案为：π35．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一尚志市尚志中学校考阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx在区间−π4【答案】(1)增区间kπ−5π12,k(2)最大值为3，x=π12；最小值为−【分析】（1）将2x−π6整体代入y=cos（2）通过x的范围，求出2x−π6的范围，然后利用【详解】（1）fx令2kπ−π<2x−π6<2k令2kπ<2π−π6<2k故函数fx的单调递增区间为kπ−单调递减区间为kπ+π12,kπ+（2）当x∈−π4所以当2x−π6=0，即x=π12当2x−π6=5π6，即6．（2022春·安徽滁州·高一阶段练习）已知fx(1)求函数在R上的单调递减区间；(2)求函数在0，(3)求不等式fx<−1【答案】(1)kπ−(2)−1(3){x|−5π【分析】（1）通过诱导公式可得函数fx的单调递减区间相当于函数y=（2）通过x的范围得出π6（3）先求出在R上的解集，再结合给定区间即可得结果.【详解】（1）fx∴函数fx的单调递减区间相当于函数y=令2x−π6∈则x∈kπ−∴函数在R上的单调递减区间为kπ−π（2）∵x∈[0，π∴π当π6−2x=−π2，即当π6−2x=π6，即∴函数fx在0，（3）∵f(x)=sin∴2kπ−5∴−kπ+π∵x∈[−π，π]，故不等式fx<−12在−7．（2022春·重庆·高一阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)求fx的最大值和对应x(3)求fx在−【答案】(1)π；(2)当x=π8+kπ,k∈(3)−3【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式即得；（2）根据正弦函数的图象和性质即得；（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.【详解】（1）因为函数fx所以fx的最小正周期为T=（2）因为fx由2x+π4=∴当x=π8+kπ,k∈（3）由−π2+2k又x∈−∴函数fx的单增区间为−8．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx在−(3)求函数fx在区间−【答案】(1)增区间为kπ−(2)−(3)最小值为−32【分析】(1)根据解析式及诱导公式,先将ω化为正,再将2x−π6放在y=cos(2)由(1)得fx的单调递增区间,令k=−1,k=0,k=1求得递增区间,再由x∈(3)先由x∈−π4,π2,求出【详解】（1）解:由题知fx令2kπ−π得kπ−5令2kπ≤2x−π得kπ+π故fx的单调递增区间为k单调递减区间为kπ（2）由(1)可得fx的单调递增区间为令k=−1,fx在−令k=0,fx在−令k=1,fx在7π因为x∈−所以fx在−−π（3）由题知fx当x∈−π4根据y=coscos2x−∴3故fxmin=−【考点5：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】【知识点：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象奇偶性奇函数偶函数奇函数 1．（2022春·上海·高二开学考试）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（

）A．y=sinx B．y=sinx C．【答案】B【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A，∵y=sinx定义域为R，sin−x对于B，∵y=sinx定义域为R，sin−x对于C，∵y=tanx定义域为kπ−π2,kπ+对于D，∵y=cosx−π2=sinx故选：B.2．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数fx=2cos−2x+A．−1 B．1 C．1或-1 D．2【答案】A【分析】根据三角函数奇偶性可确定π4+φ=kπ,【详解】由函数fxπ4+φ=kπ,所以，tanφ=故选：A.3．（2021春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=sinx,x∈R，若函数f(x+θ)是偶函数，则θA．π2 B．π C．π3 【答案】A【分析】根据三角函数的奇偶性求参即可.【详解】解：由f(x)=sinx,x∈R又函数f(x+θ)是偶函数，所以θ=π所以当k=0时，θ取得最小正值π2故选：A.4．（2022春·山东济宁·高三统考期中）函数fx=cosx−ax≤0sinx−bA．a=π3,b=C．a=2π3【答案】D【分析】根据题意，x<0时，−x>0，代入分段函数，又函数为偶函数，可得cos(x−a)=−【详解】当x<0时，−x>0，f(−x)=sin(−x−b)，因为函数f(x)是偶函数，f(−x)=f(x)，即cos(x−a)=sin−x−b=−sin故选：D5．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<π【答案】0【分析】根据题意得到f(x)关于0,0对称，根据余弦函数的性质可得到φ=π【详解】因为f(x)=cos(πx+φ)是定义在R上的奇函数，故所以f(0)=cosφ=0，解得因为0<φ<π，所以φ=所以f(x)=cos所以f1故答案为：06．（2022春·河北唐山·高三校联考阶段练习）将函数fx=sin2x+π3的图象向左或向右平移φ(0<φ<π【答案】π12（或5π12【分析】根据三角函数图象变换的知识求得gx的解析式，根据gx是偶函数列方程，化简求得φ的表达式，进而求得【详解】由题意可知gx因为gx是偶函数，所以π所以±φ=k因为0<φ<π所以φ的取值可能为π12故答案为：π12（或5π127．（2022春·福建三明·高三校联考期中）将函数fx=cosωx+π6(ω>0)【答案】5【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.【详解】由题意可得：gx∵gx为偶函数，则π∴ω=6k−1,k∈Z又∵ω>0，即6k−1>0,k∈Z，则k>∴当k=1时，ω取到最小值为5.故答案为：5.【考点6：正弦、余弦、正切函数的对称性】【知识点：正弦、余弦、正切函数的对称性】函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象对称中心(kπ，0)，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z1．（2022春·江苏连云港·高一期末）函数y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)的图象关于直线x=πA．0 B．π4 C．π2 【答案】B【分析】将x=π8代入得2×π【详解】由题意得2×π解得φ=kπ∵0≤φ≤π，∴k=0时，φ=故选：B.