专题5.1 任意角与弧度制（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题5.1任意角与弧度制TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：任意角的概念与终边相同角】 1【考点2：象限角】 4【考点3：弧度制】 7【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】 12【考点1：任意角的概念与终边相同角】【知识点：任意角的概念与终边相同角】1．角的分类角的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的终边在第几象限，这,个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))2．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．1．（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（

）A．60° B．−60° C．30° D．−30°【答案】C【分析】根据任意角的概念计算可得.【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢5分钟，转过的角为560故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（）A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60°【答案】D【分析】根据分针旋转方向结合任意角的定义即可求出【详解】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是−360°故选：D．3．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）与﹣460°A．k⋅360°+260°,k∈Z B．k⋅360°+100°,k∈ZC．k⋅360°+460°,k∈Z D．k⋅360°−260°,k∈Z【答案】A【分析】先求出相近的终边相同的角，即可判断.【详解】与﹣460°角终边相同的角为−100°,  260°,  620°故选：A4．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角α=−30°终边相同的角是（A．30∘ B．240∘ C．390∘【答案】D【分析】写出与角α=−30∘终边相同的角的集合，取【详解】解：与角α=−30∘终边相同的角的集合为取k=1时，β=−30故选：D5．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角α=k⋅180°−2002°,k∈Z，则符合条件的最大负角为（

A．–22º B．–220º C．–202º D．–158º【答案】A【分析】由α=k⋅180°−2002°<0，求出k的范围，即可求解【详解】因为α=k⋅180°−2002°<0，所以k<11+11又k∈Z所以当k=11时，最大负角为−22°，故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）将−885∘化为α+k⋅360A．−165°+C．195°+−2【答案】B【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.【详解】由α∈0°,故选：B.7．（2022·山东东营·高一期中）与2022∘终边相同的角是（

A．−138∘ B．−72∘ C．【答案】AD【分析】根据终边相同的角的公式，将所有角转化为终边落在0∘【详解】∵2022∘=222∘+5×∴选项中只有−138∘和222∘故选：AD.8．（2022·全国·高一课时练习）将一条射线绕着其端点顺时针旋转198∘，再逆时针旋转80【答案】−【分析】根据正负角的定义可直接求得结果.【详解】∵顺时针旋转所成的角为负角，逆时针旋转所成的角为正角，∴经两次旋转后形成的角的度数为−198故答案为：−1189．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）与2023∘【答案】223【分析】用诱导公式（一）转化即可.【详解】因为2023∘=5×360∘+故答案为：223∘10．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高三阶段练习）在0°到360∘范围内，与405【答案】45°【分析】根据终边相同的角的表示，可得答案.【详解】因为405∘所以在0°到360∘范围内，与405∘终边相同的角为故答案为：45°【考点2：象限角】【知识点：象限角】[方法技巧]确定eq\f(α,n)(n≥2，n∈N*)终边位置的方法步骤讨论法(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)写出eq\f(α,n)的范围；(3)根据k的可能取值讨论确定eq\f(α,n)的终边所在位置等分象限角法已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求eq\f(α,n)是第几象限角．(1)等分：将每个象限分成n等份；(2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；(3)选答：出现数字m的区域，即为eq\f(α,n)的终边所在的象限1．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）第二象限的角都是钝角．_____【答案】错误【分析】利用象限角的概念，即可得出该命题为假命题.【详解】设第二象限角为θ，第二象限角的范围是：π2+2kπ故8π故答案为：错误2．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）2022°是第（

）象限角．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【分析】将2022°表示为k⋅360°+α（k∈Z【详解】2022°=5×360°+222°，所以2022°是第三象限角.故选：C3．（2022·安徽·高三阶段练习）设角θ是第一象限角，且满足cosθ2=-cosθ2A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由角θ是第一象限角写出其范围，再写出其半角范围为kπ<【详解】由角θ是第一象限角，有2kπ<θ<2kπ+π2k∈故选：C.4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．−150°是第二象限的角 D．−252°16【答案】D【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解【详解】对于A：当角为510°是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B：分别取第一象限的角为730°，第二象限角510°，此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；对于C：−150°是第三象限的角，故C错误；对于D：因为467°44所以−252°16故选：D5．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边与5π3的终边重合，则α3的终边不可能在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先表示角α的取值，即可得到α3的取值，再对k【详解】解：因为角α的终边与5π3所以α=5π3+2kπ，k∈Z，所以α令k=3n(n∈Z)，则α3=5π令k=3n+1(n∈Z)，则α3=11π令k=3n+2(n∈Z)，则α3=17π所以α3故选：A．6．（2022·江西上饶·高一阶段练习）若α是第二象限角，则（

）A．π−α是第一象限角 B．α2C．3π2+α是第二象限角 D．【答案】AB【分析】由α与−α关于x轴对称，即可判断AD；由已知可得π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z【详解】解：因为α与−α关于x轴对称，而α是第二象限角，所以−α是第三象限角，所以π−α是第一象限角，故A正确，D错误；因为α是第二象限角，所以π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，所以π4故α2是第一或第三象限角，故因为α是第二象限角，所以3π2故选：AB．7．（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．【答案】一【分析】利用象限角的定义进行求解.【详解】若α是第二象限角，则k⋅360∘+所以−k⋅360∘−即−k⋅360∘<所以180°－α是第一象限角．故答案为：一.8．（2022·全国·高一课时练习）若α=k⋅360∘+24∘，k∈Z【答案】2α为第一象限角；α2【分析】分别求得2α和α2，根据对k【详解】由α=k⋅360∘+24∘由α=k⋅360∘+当k=2nn∈Z时，α2=n⋅当k=2n+1n∈Z时，α2=n⋅综上所述：2α为第一象限角；α2【考点3：弧度制】【知识点：弧度制】1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2．角度制与弧度制的转化：①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°1．（2022·全国·高一课时练习）将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（

）A．π3 B．−π3 C．π【答案】B【分析】将分针拨快10分钟，则分针顺时针旋转即为负角，且角度为圆周的16【详解】将分针拨快10分钟，即分针顺时针旋转圆周的16分针转过的弧度为−10故选：B2．（2022·江西上饶·高一阶段练习）如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).则α=（

）A．π2 B．π4 C．π8【答案】B【分析】由图可知α为周角的18【详解】解：由图可知，α=1故选：B．3．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）若角α=3rad，则角α是（

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【分析】根据象限角的定义判断．【详解】因为π2<3<π，所以故选：B．4．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M=xx=kπ4A．N⊆M B．M⊆NC．M=N D．M∩N=∅【答案】A【分析】利用集合的基本关系求解【详解】解：因为M=xx=k当k∈Z时，2k+1是奇数，k+2是整数，所以N⊆M．故选：A．5．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）设r为圆的半径，弧长为πr的圆弧所对的圆心角为（

）A．90° B．180° C．270° D．360°【答案】B【分析】根据弧长、圆心角、半径的关系l=【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：l=弧长为πr的圆弧所对的圆心角：α=故选：B6．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）315°角的弧度数为（

）A．3π4 B．7π4 C．−π【答案】B【分析】利用公式可求315°角的弧度数.【详解】315°角对应的弧度数为315180故选：B.7．（2022·辽宁实验中学高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（

）A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2πD．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π【答案】D【分析】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.【详解】A.根据弧度数定义可知A正确；B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；C.根据三角形关系可知，长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角为120∘，即弧度数为2πD.圆周长为2πr=20πcm，32等分后，每一份弧长为5π故选：D8．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()（3）1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的（4）1rad的角比1°【答案】

√

×

√

√【详解】（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故正确；（2）弧度制度量角与两边夹角有关，与半径无关，故错误；（3）1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的（4）1°=π9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列说法不正确的是(

)A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．cosC．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角D．若sinα=sinβ，则α【答案】ACD【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断．【详解】对于选项A，三角形内角范围是0，π，其中90°不属于象限角，故A错误；对于选项B，大小为2的角终边在第二象限，故cos2＜0，故B正确；对于选项C，1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角，故C错误；对于选项D，若sinα=sinβ，则α和β故选：ACD．10．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）下列结论中正确的是（

）A．终边经过点m,mm>0的角的集合是αB．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是π3C．若α是第三象限角，则α2是第二象限角，2αD．M=xx=45°+k⋅90°,k∈Z，【答案】ABD【分析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果.【详解】A.终边经过点m,mm>0的角的终边在第一象限平分线上，故角的集合是αB.将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角度为60°，对应弧度数是π3C.因为α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z，所以kπ+π2<α2<kπ+3π4,k∈Z，当k为奇数时，D.M=xN=yy=90°+k⋅45°,k∈Z=故选：ABD.11．（2021·上海市光明中学高一期中）将角度换算成弧度：100°=____________rad.【答案】5【分析】根据角度制与弧度制的互化计算即可.【详解】解：100°=100×π故答案为：5912．（2022·全国·高一课时练习）若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．【答案】π360+【分析】设这两个角的弧度数分别为α，β，先将1°化为弧度，然后由条件可得方程α−β=1α+β=【详解】设这两个角的弧度数分别为α，β，α>β，因为1°=π所以α−β=1α+β=π180，则α=π360故答案为：π360+13．（2022·全国·高一课时练习）把弧度化成角度：（1）3π10【答案】

54°

360【分析】根据结论πrad=180【详解】（1）3π10（2）2rad故答案为：54°，360π【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】【知识点：弧长公式与扇形的面积公式】角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r21．（2023·广东·高三学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．12 B．23 C．3【答案】C【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则αr=3,12故选：C．2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB的周长为（

）A．32 B．24 C．62 D．【答案】D【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.【详解】圆心角α=2，扇形面积S即8=12×2×所以弧长l=故扇形AOB的周长L=故选：D3．（2022·上海市向明中学高一期末）已知扇形的周长为6cm，半径为2cm，则该扇形的面积是___________【答案】2【分析】首先求出弧长，即可求出圆心角，再根据扇形面积公式计算可得.【详解】解：因为扇形的周长为6cm，半径r=2cm，所以扇形的弧长为设扇形的圆心角的弧度数为α，由弧长公式得2=2α，解得α=1，所以该扇形的面积是12故答案为：24．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期中）已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为___________.【答案】6【分析】利用弧长公式l=αr求弧长.【详解】因为扇形的中心角为2弧度，扇形半径为3，所以扇形的弧长l=2×3=6.故答案为：6.5．（2022·上海市延安中学高三期中）已知扇形的圆心角为π3，其弧长为π，则此扇形的面积为_________.（结果保留π【答案】3【分析】首先根据弧长公式求半径，再根据扇形面积公式，即可求解.【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径r=l此扇形的面积s=1故答案为：36．（2022·江西赣州·高三期中（文））古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】20【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得OC=9cm【详解】解：如图，依题意可得弧AB的长为60cm，弧CD的长为20cm则AB=α⋅OA,CD=α⋅OC，则OA因为AC=18cm，所以OC=9cm，所以该扇形的中心角的弧度数故答案为：2097．（2022·安徽·六安一中高三阶段练习）已知扇形的周长为20cm，则当扇形的圆心角α=________扇形面积最大．【答案】2【分析】由扇形周长公式列式2r+l=20(0<r<10)，根据扇形面积公式列式并化简为二次函数形式，从而求解得r=5时扇形面积最大，计算出弧长l，由弧长公式计算圆心角的值.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，由题意，2r+l=20⇒l=20−2r(0<r<10)，扇形的面积为S==−r