专题3.4 函数的应用（一）（3类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题3.4函数的应用（一）TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：一次、二次、分式函数模型】 1【考点2：分段函数模型】 6【考点3：幂函数模型】 14【考点1：一次、二次、分式函数模型】【知识点：一次、二次、分式函数模型】函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)分式函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)或y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160−2x，生产x件所需成本为C（元），其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（

）A．20≤x≤30，x∈N∗ B．20≤x≤45C．15≤x≤30，x∈N∗ D．15≤x≤45【答案】B【分析】由题意求得利润函数y=−2x2+1300x−500【详解】由题意日销量x件时，利润是y=(160−2x)x−(500+30x)=−2x−2x2+130x−500≥1300，(x−20)(x−45)≤0故选：B．2．某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100m的可作为围墙的材料，则场地的面积S(单位：m2)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为____________．【答案】S【分析】根据矩形的面积公式即可求解解析式，结合长度的要求即可得定义域.【详解】由于场地的长为xm，则宽为(50−x)m，由题意得S=x(50−x)．易知x>0，50−x>0，所以自变量x的取值范围为0<x<50．故所求函数的关系式为故答案为：S3．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)=4Q−1200Q【答案】250【分析】由题意可得总利润LQ=总收入R−固定成本200万元−【详解】根据题意得L=−1所以当Q=300时，总利润取得最大值250万元，故答案为：2504．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________________.【答案】8.5【分析】根据题意找出利润与定价的函数关系，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设定价为x,14>x>3元，利润为y元，由题意可知：y=(x−3)400−40故当x=8.5时，y最大，且最大值为1210.故答案为:8.55．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？【答案】(1)fx=1(2)投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为4万元时，收益最大为3万元.【分析】（1）设投资债券等稳健型产品收益为fx=k（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为(20−x)万元，可得收益函数为y=fx（1）设投资x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为fx=k由题意知：f1=k1×1=0.125=18∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：fx=1（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为(20−x)万元，由题意，投资获得的收益y=fx+g20−x令t=20−x，则0≤t≤2∴原问题为求y=−1∵y=−18(t−2)∴当t=2，即x=16万元时收益最大，最大为3万元.故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为4万元时，收益最大为3万元.6．随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知该厂每月的污水处理量最少为50万吨，最多为200万吨，月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为y=(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？(2)该厂每月能否获利？如果能获利，求出最大利润.【答案】(1)每月污水处理量为100万吨(2)能获利，当该厂每月污水处理量为125万吨时，利润最大为2258【分析】（1）由题意可知每万吨的处理成本为yx（2）由题意可知该厂每月利润w=（1）每万吨的处理成本为yx当且仅当x=100所以当该厂每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低为34（2）记该厂每月利润为w，则w故当x=125时，w最大为225即能获利，当该厂每月污水处理量为125万吨时，利润最大为22587．全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．太原市某社区响应市委号召，在全面开展“创城”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为4000m(1)设占用空地的面积为S（单位：m2），矩形休闲广场东西距离为x（单位：m，x>0），试用x表示为S(2)当x为多少时，占用空地的面积最少？并求最小值．【答案】(1)S=x+44000x【分析】（1）首先根据题意得到矩形广场的南北距离为4000x（2）利用基本不等式求解即可.（1）因为广场面积须为4000m2，所以矩形广场的南北距离为所以S=x+4（2）由（1）知S=4040+16000当且仅当16000x=10x，即答：当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为4840m8．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=168−x−1；当4<x≤10时，y=5−12(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)【答案】(1)8天；(2)1.6.【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，由浓度：当0≤x≤4时，y=168−x−1；当4<x≤10时，y=5−12x，分类讨论解出（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度y1可表示为：当0≤x≤4时，y当4<x≤10时，y1则当0≤x≤4时，由648−x−4≥4，解得所以得0≤x≤4，当4<x≤10时，由20−2x≥4，解得x≤8，所以得4<x≤8，综合得0≤x≤8，故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天.（2）设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度y=(14−x)+16a因为4≤14−x≤8，而1≤a≤4，所以4≤4a≤8，故当且仅当14−x=4a时，y2有最小值为令8a−a−4≥4，解得所以a的最小值为24−16【考点2：分段函数模型】【知识点：分段函数模型求解策略】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层.本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：当0≤x≤5时，T(x)=k3x+4；当5<x≤10时，T(x)=1(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小.并求最小值.【答案】(1)k=20，f(x)={8x+(2)当x=113时，f(x)取得最小值，且最小值为【分析】(1)由题意知本题分两部分讨论.当0≤x≤5时，由T(0)=5求出k=20，求出对应f(x)=8x+6003x+4,，当5<x≤10(2)当0≤x≤5时,利用均值不等式求出f(x)min=2083，当5<x≤10（1）由题意知若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元，∴T(0)=k4=5,当0≤x≤5时，f(x)=8x+30×20当5<x≤10时，f(x)=30×1∴f(x)={（2）当0≤x≤5时，f(x)=8x+600当且仅当x=11当5<x≤10时，当x=7时，f(x)所以，当x=113时，f(x)取得最小值，且最小值为2．（2022·上海市松江二中高三阶段练习）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本px万元，当产量不足60万箱时，px=(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】(1)y=(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【分析】(1)根据产量x的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.(2)分别求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值.（1）当0<x<60时，y=100x−1当x≥60时，y=100x−101x+所以，y=−（2）当0<x<60时，y=−1当x=50时，y取得最大值，最大值为850万元；当x≥60时，y=1460−x+当且仅当x=6400x时，即x=80时，综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.3．（2022·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且R=10x2(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)W=(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）由题意可知x=10时，R=4000，代入函数中可求出a，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，（2）分别当0≤x<40和x≥40求出函数的最大值，比较即可得答案（1）由题意知，当x=10时，Rx=10×10当0≤x<40时，W=900x−10当x≥40时，W=900x−901所以W=−10（2）当0≤x<40时，W=−10x−302+8740，所以当x=30当x≥40时，W=−x+当且仅当x=10000x，即x=100时，因为8740<8990，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.4．（2022·全国·高一课时练习）甲、乙两车同时沿某公路从A地出发，驶往距离A地300km的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达A，B中点C处停留2h后，再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以v（单位：km/h）的速度行驶．(1)将甲车与A地的距离表示离开A地的时间t（单位：h）的函数ft(2)若两车在图中恰好相遇两次（不包括A，B两地），试求乙车行驶速度v的取值范围．【答案】(1)ft(2)75【分析】（1）根据题意写出分段函数，再画图即可；（2）设乙车与A地的距离gt（单位：km）为离开A地的时间t（单位：h）的函数，画出gt的图象，再根据gt（1）由题知甲车从A到B需要15075ft=函数图像如图①所示．（2）由已知，设乙车与A地的距离gt（单位：km）为离开A地的时间t（单位：h）的函数，则gt=vt（0≤t≤300v），其图象是一条线段，如图②所示．由图象，知当此线段经过点4,150时，v=752；当此线段经过点112,300时，v=600115．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60+x（元/件）（其中x∈Z,x>0即售价上涨，x<0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为(1)直接写出y与x之间的函数关系式：(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？【答案】(1)y=(2)65元；6250元【分析】（1）由题意可直接得到y与x之间的函数关系式：（2）根据（1）的结果，求出月利润的表达式，结合二次函数性质，求得答案.（1）由题意可得y=300−10x,(0≤x≤30)（2）由题意得w=(20+x)(300−10x),(0≤x≤30)即w=−10当x=5时，−10(x−5)当x=−52时，故当销售价格65元时才能使月利润最大，最大月利润是6250元.6．（2022·全国·高一课时练习）喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线x=t0<1≤4左侧的图形（阴影部分）的面积为f(1)试求ft(2)定义“f(t)t”为“平均喷绘率”，求g(t)=【答案】(1)f(2)4−【分析】（1）由题，根据等腰梯形OABC的形状，将t分为0<t≤1，1<t≤3，3<t≤4求ft（2）由（1）结论得出f(t)t（1）由题意知梯形OABC的高为1米，当0<t≤1时，ft当1<t≤3时，ft当3<t≤4时，ft综上所述，ft（2）设gt当0<t≤1时，gt=1当1<t≤3时，gt=1−1当3<t≤4时，gt因为3<t≤4，所以t+10t≥2故gt因为4−10>56>7．（2022·安徽·高三阶段练习）为响应国家环保的号召，某企业计划2020年引进新型环保设备生产新能源汽车，通过市场分析，全年需投入固定成本1000万元，每生产x（百辆）汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)=10(1)求2020年的利润L（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式L(x)（其中利润=销售额-成本）(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润．【答案】(1)L(x)=(2)15百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1250万元．【分析】（1）根据成本函数与销售收入计算利润得利润函数；（2）根据利润函数分段分别利用二次函数性质、基本不等式求得最大值，然后比较可得．（1）根据题意可知，当0<x<20时，L(x)=800x−10x当x≥20时，L(x)=800x−801x−400所以L(x)=（2）当0<x<20时，L(x)=−10x∴当x=15时，L(x)取得最大值1250；当x≥20时，L(x)=1000−x+当且仅当x=400x即∴综上，当x=15时，L(x)取得最大值1250．即2020年产量为15百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1250万元．8．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元．(1)写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y（元）与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式；(2)当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润y（元）最大，并求出这个最大值．【答案】(1)y=(2)当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元【分析】（1）由题意可知：以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元，从而根据题意可求出函数关系式；（2）分类讨论：当0<x≤20时，当20<x<40时，利用二次函数的单调性即可得出．（1）当0<x≤20时，y=[20+4(20−x)](x−8)=−4x当20<x<40时，y=[20−(x−20)](x−8)=−x∴y=（2）①当0<x≤20时，y=−4x−∴当x=16.5时，y取得最大值为289，②当20<x<40时，y=−x−24∴当x=24时，y取得最大值256，综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．9．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入I(x)（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式I(x)={56−2x,0<x≤10(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）(2)当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【答案】(1)F(x)={(2)销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分0<x≤10，x>10两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．（1）当0<x≤10时，Fx当x>10时，Fx故Fx（2）当0<x≤10时，Fx故当x=8时，Fx当x>10时，Fx当且仅当6.4x=1440x，即x=15（负值舍去）时，等号成立，此时由于136>128，所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元．【考点3：幂函数模型】【知识点：幂函数模型】函数模型函数解析式幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【答案】B【分析】设年平均增长率为x，依题意列方程求x即可.【详解】由题意，设年平均增长率为x，则150(1+x)所以x=3故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（A．14 B．12 C．23【答案】D【分析】初始状态设为(x1,y1)，变化后为【详解】设初始状态为(x1,y1又y1=kx1α，y8y1y1=k⋅16αx故选：D．3．（2022·全国·高一课时练习）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为y=kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256A．12 B．14 C．2 【答案】A【分析】根据题意中给出的解密密钥为y=kx求出k的值，解方程即可求解.【详解】由题可知加密密钥为y=kx由已知可得，当x=4时，y=2，所以2=k×43，解得故y=132x3，显然令解得x3=1故选：A.4．（2022·全国·高一课时练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务