专题2.2 基本不等式（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题2.2基本不等式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 1【考点2：由基本不等式证明不等式】 1【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 9【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 14【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】【知识点：基本不等式】一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．二．几个重要的不等式：（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R（2）ba+ab≥2，ab>0，当且仅当（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当（4）a2+b22≥a+b22三.利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则：（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).（简记：积定和最小）（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(p2,4).（简记：和定积最大）1．（2022春•甘孜州期末）y=x+4A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用基本不等式的性质可求得答案．【解答】解：由已知函数y=x+4∵x≥1，∴4x∴x+4当且仅当x=4x​，即∴​当x＝2​时，函数y=x+4故选：C．2．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】直接利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝4，∴xy≤(x+y当且仅当x＝y＝2时，等号成立．故选：B．3．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b【解答】解：∵正实数a，b满足4a+b∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1故选：B．4．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（）A．8 B．82 C．9 D．【分析】由条件可得1x+2y=1，x+2y＝（x+2y【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1x则x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝5+2xy故选：C．5．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1A．22+2 B．4 C．254【分析】由题可知(a+1b)(b+【解答】解：∵正实数a、b满足a+b＝4，∴(a+1b)(b+1a当且仅当ab=1ab，即ab＝1，a+∴(a+1故选：B．6．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=mA．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【分析】由题意可得(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+【解答】解：因为a，b为正实数，所以(a+1b)(b+当ab=1ab，即ab＝1时等号成立，此时b又因为1a+1b=m所以由基本不等式可知a+1a≥所以m≥2．故选：B．7．（2022春•温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（）A．6 B．42 C．3+22 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝ab，所以1b则a+2b＝（a+2b）（1a+1b）＝3当且仅当2ba=ab且1a+1b=所以a+2b的最小值为3+22．故选：C．8．（2022春•朝阳区校级期末）已知x＞53，求y=x【分析】根据配方法可得y＝x﹣1+3【解答】解：因为x﹣1＞0，所以y=≥2(x−1)⋅当且仅当x−1=3x−1即x故答案为：3+23．9．（2022春•丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为．【分析】将等式a+2b＝ab转化为2a【解答】解：将等式a+2b＝ab两边同除以ab，得2a2a+b＝（2a+b）（2a+1b）＝4当且仅当2ab即a＝b＝3时，2a+b的最小值为9．故答案为：9．10．（2022春•台州期末）已知非负实数x，y满足13x+y+12y+2=1，则x【分析】由x+y=13（3x+y+2y+2）【解答】解：∵实数x，y非负，∴3x+y＞0，2y+2＞0，∴x+y=13（3x+y+2y+2）−23=13（3x+=13（1+3x+y2y+2+2y+23x+y当且仅当3x+y2y+2=2y+23x+y，即x∴x+y的最小值为23故答案为：2311．（2022春•石家庄期末）已知ab＞0，a+b＝1，则a+4bab的最小值为【分析】首先构造常数，然后运用基本不等式直接求解．【解答】解：∵ab＞0，a+b＝1，∴a＞0，b＞0，∴a+4bab=(a+b)(1b+∴a+4bab故答案为：9．12．（2022春•长春期末）已知a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则1a2+【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解最小值即可．【解答】解：a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则1a2+1b2=（1a2+1b2≥13（5+4）＝3，当且仅当a=2b，b=故答案为：3．13．（2022春•岚山区校级月考）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，则1【分析】由已知12x−1+4y−3=（12x−1+【解答】解：因为x＞12，y＞3，且2x所以2x﹣1+y﹣3＝3，则12x−1+4y−3=（12x−1+4y−3）（2x﹣1+y当且仅当y−32x−1=8x−4y−3且2x+y＝7，即x=3故答案为：3．14．（2022•烟台三模）当x＞0时，3xx2+4【分析】根据基本不等式即可求解．【解答】解：当x＞0时，3xx2+4=3x+即3xx2+4故答案为：3415．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y3y=4x+8y2x+x+3y3y=3+4yx+故答案为：3+416．（2022春•温州期中）已知a＞b＞0，当2a+4a+b+1a−b【分析】先把2a+4a+b+1a−b【解答】解：a＞b＞0，2a+4=a+b+4≥2(a+b)⋅4a+b当且仅当a+b=4a+b，a﹣b=1a−b∴当2a+4a+b+1故答案为：3217．（2022•南京模拟）（1）已知x＞3，求4x−3（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x【分析】（1）配凑可得4x−3（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【解答】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴4x−3当且仅当4x−3=x−3，即∴4x−3（2）∵x，y∈R+，∴1x当且仅当y=3x，即x=3∴1x+318．（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．【分析】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；（2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（b−12）2【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，∴1a当且仅当2ab=2ba，即∴1a+2（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b−12）2当b=12时，a2+4b2+5ab有最大值为【方法技巧1】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．【方法技巧2】通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；（2）把确定的定值(常数)变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式求解最值．【考点2：由基本不等式证明不等式】1．（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2【分析】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，分别求出x+y【解答】解：对于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，即1∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B错，对于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy≤x∴x2+y2≤2，故C错，D对，故选：D．2．（2022春•尖山区校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2【分析】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，所以ab≤（a+b2）2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A因为（a+b）2＝a+b+2ab=2+2ab≤2+a+b＝4，当且仅当所以a+b≤因为a2+b22所以a2+b2≥2，C正确；1a+1b=12（a+ba+a+bb）=故选：C．3．（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1xA．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可．【解答】解：因为(4所以4+6＜2当取x＝﹣1时，显然x+1x=−2≥2因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2，所以a2+b故选：C．【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】1．（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【分析】由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2【解答】解：由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x+3y当且仅当4yx=9xy且2x又因为3x+2y＞m2+2m恒成立，m2+2m＜24，解得m∈（﹣6，4）．故选：C．2．（2021秋•兰山区校级期中）已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．7【分析】由已知利用乘1法，然后结合基本不等式可求2a+b的最小值，由已知得（2a+b）min≥2m2﹣9，解不等式可求m的范围，进而可求．【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝ab，即1b所以2a+b＝（2a+b）（1b+2a）＝5+2ba+2ab若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则（2a+b）min≥2m2﹣9，所以9≥2m2﹣9，解得﹣3≤m≤3，m的最大值为3．故选：C．3．（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式mx+1A．2≤m＜2 B．m≥1 C．0＜m≤1 D．1＜m【分析】根据题意可得12（x+y）＝1，且x＞0，y＞0，从而mx+1y=12（x+y）（mx+1y）=12（m+1+my【解答】解：由xy＞0，x+y＝2，得12（x+y）＝1，且x＞0，y又m＞0，所以mx+1y=12（x+y）（mx+1y）=12（m+1+当且仅当x+y=2myx=xy，即x又不等式mx所以12（m+1+2m）≥2，即（m）2+2m−3≥0，解得m≥故选：B．4．（2022春•合肥期末）若两个正实数x，y满足4x+1y=1，且不等式x【分析】先利用乘1法，配凑基本不等式的应用条件求x+4y的最小值，然后由x+4y＞m2−6m恒成立，可得（x【解答】解：正实数x，y满足4x则x+4y=（x+4y当且仅当xy=16yx且4因为不等式x+4则16＞m2﹣6m，解可得﹣2＜m＜8．故答案为：﹣2＜m＜8.5．（2021秋•河南月考）已知x、y为两个正实数，且不等式ax+y≤12x+【分析】先将原不等式化简成a≤（x+y）（12x+2【解答】解：∵x＞0，y＞0，又∵不等式ax+y可得a≤（x+y）（12x而（x+y）（12x+2y）=12+∴a≤9故答案为：a≤96．（2021秋•黑龙江期末）已知x＞0，y＞0且1x+9y=1，求使不等式x+y【分析】利用“1”的代换以及基本不等式求出x+y的最小值，然后根据恒成立，即可求出m的范围．【解答】解：因为x＞0，y＞0且1x则x+y＝（x+y）（1x+9当且仅当yx=9xy，即x＝4，y＝12时取等号，此时又m≤x+y恒成立，只需m≤（x+y）min＝16，所以实数m的取值范围为m≤16．7．（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式4x+1【分析】（1）由已知结合基本不等式即可直接求解xy的最大值；（2）先利用乘1法求出4x+1【解答】（1）解：4x+4y＝1，所以14=x+y≥2xy当且仅当x=y=1∴xy的最大值为164（2）解：4x当且仅当x=16，∴a2+5a≤36，解得﹣9≤a≤4．即a的取值范围是﹣9≤a≤4．8．（2021秋•玄武区校级月考）已知正数x，y满足2x+y﹣xy＝0．（1）求2x+y的最小值；（2）若x(y+2)−42＞m【分析】（1）由已知利用基本不等式即可直接求解；（2）原式可化为（x﹣1）（y﹣2）＝2，然后利用换元法，结合基本不等式可求x（y+2）﹣42的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可求．【解答】解：（1）2x+y=xy=1解得2x+y≥8，当且仅当2x＝y，即x＝2，y＝4时取等，所以2x+y的最小值为8；（2）原式可化为（x﹣1）（y﹣2）＝2，令s＝x﹣1，t＝y﹣2，条件可化为st＝2，因为x(y+2)−42所以m2所以x(y+2)−42当且仅当t＝4s，即s=22，所以m2+5m＜6，解得﹣6＜m＜1，所以m的范围﹣6＜m＜1．9．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．（1）求1x（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．【分析】（1）由x+y＝2，得x2+y2=1，又x＞0，y＞0，所以1x+（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立可得m≤4x+1xy恒成立，又x+y＝2，所以4x+1xy=4x+【解答】解：（1）由x+y＝2，得x2+y2=所以1x+9y=（x2+当且仅当y2x=9x2y，即x=所以1x（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立，得m≤4x+1又x+y＝2，所以4x+1xy=4x+由（1）可知1x+9y≥8，所以12（1x+9即4x+1xy≥4，故【考点4：利用基本不等式解决实际问题】【知识点：利用基本不等式解决实际问题】(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.1．（2022春•浦东新区校级月考）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在P