双曲线导学案 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第页3.2双曲线学习目标:1.通过从具体情境中抽象双曲线概念的过程，准确说出双曲线的概念；2.通过类比椭圆推导标准方程，能推导双曲线标准方程，并解决简单问题。3.了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念。4.类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质，并能解决简单问题。课前准备:预习教材，找出疑惑之处.3.2双曲线及其标准方程问题1：回顾椭圆的概念？问题2：我们知道，平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于)的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下．双曲线定义：追问1：双曲线定义中去掉“绝对值”字眼可以吗？要点诠释：请回答以下问题：

（1）已知已知|F1F2|=6,,M点到F1,F2两点的距离之差的绝对值为5,则M点的轨迹是什么?

（2）把绝对值改为6呢？

（3）把绝对值改为10呢？

（4）把绝对值改为0呢？探究：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？

焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点a，b，c的关系焦点位置的判定例1巳知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．例2已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距（2）2.求适合下列条件的双曲线的标准方程，且焦点在轴上焦点为，且经过点（1）一个焦点是，经过点；（2）与双曲线有相同焦点，且经过点；（3）焦点在轴上，经过点，（4）过两点.(5)经过点题型一：对双曲线定义的理解1.设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于（）A．10B．8C．5D．42.已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线一支C．两条射线D．一条射线3.设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（）A．5B．1C．3D．1或54、已知双曲线的左､右焦点分别是，，点P在双曲线C上，且，则（）A．13B．16C．1或13D．3或165.已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于､两点，若，则等于___________.题型二由双曲线标准方程求参数范围例2：已知(1)若以上方程表示双曲线，求k的取值范围.(2)若以上方程表示焦点在x轴上的双曲线，求k的取值范围.(3)若以上方程表示焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围.(4)若以上方程表示椭圆，求k的取值范围.1.如果方程表示双曲线，则m的取值范围是()A. B. C. D.2.已知方程表示双曲线，则k的取值范围是()A. B. C. D.3.“0＜λ＜4”是“双曲线的焦点在x轴上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型三双曲线的焦点三角形问题1.已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（）A．B．C．D．2.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A．24B．C．D．303.已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则（）A．30°B．45°C．60°D．90°4.双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（）A．B．C．32D．425.已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（）A．B．C．D．题型四双曲线的轨迹问题探究：点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，你有什么发现？1.设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（）A．B．C．D．.2.已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（）A．B．C．D．3.已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．椭圆C．圆D．直线4.已知，，，动点P满足，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．射线D．双曲线的一支3.2.2双曲线的简单几何性质问题1：复习椭圆的范围、对称性是从椭圆方程的哪些代数特性获得的？椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？追问1：（1）双曲线的范围？（2）对称性（3）顶点追问2：能否类比椭圆把B1（0，－b），B2（0，b）两点画在y轴上？线段B1追问3：在双曲线－＝1位于第一象限的曲线上画一点M，测量点M的横坐标xM以及它到直线－＝0的距离d，向右拖动点M，观察xM与d的大小关系，你发现了什么？双曲线的渐近线：追问4：已知双曲线方程如何求渐进线方程？追问5：在双曲线方程（,）中，如果a＝b，渐进线是什么？等轴双曲线：追问6：双曲线的离心率是什么？追问7：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？追问8：标准方程图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴离心率渐近线方程例1求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.2.求下列双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.（1）；（2）；（3）；（4）．3.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．4.已知双曲线，当变化时，下列关于双曲线说法正确的是（）A．顶点坐标不变B．焦距不变C．离心率不变D．渐近线不变5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8；6.焦点坐标为，，实轴长为6，则此双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7.顶点在轴上，两顶点间的距离为8，的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．8.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上且虚轴长为12，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．9.已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1题型一与双曲线渐近线相关的问题1.双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．2.椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．，B．，C．，D．，3.与双曲线共渐近线且一个焦点为的双曲线方程为（）A．B．C．D．4.，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．题型二求离心率的值或取值范围1.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2.已知双曲线的右焦点为，为右支上一点，与轴切于点，与轴交于两点，若为直角三角形，则的离心率为（）A．B．C．D．3.双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．34.已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．5.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（）B．C．D．题型三直线与双曲线的位置关系1..直线与双曲线的交点个数是（）A．1B．2C．1或2D．02.直线与双曲线有且只有一个交点，那么实数的值是（）A．B．或C．或D．3.已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（）A．1B．2C．3D．4题型四直线与双曲线相交弦长问题例4如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求.1.若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______.2.已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（）A．B．C．D．3.已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（）A．7B．8C．9D．104.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．5.以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是___.题型五双曲线的中点弦与点差法1.已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（）A．2B．C．D．2.