高三上学期数学周练10

第一学期高三年级数学周练10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知向量，，若，则实数________．2．函数的最小正周期为________．3．在的二项展开式中，项的系数为________．4．设集合，，若，则实数的取值范围为________．5．函数在处的切线方程是________．6．从6名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表共有________种不同的选法．（结果用数值表示）7．已知数列的前项和，则的通项公式为________．8．已知函数，（，，）的部分图像如图所示，则的解析式为________．9．等比数列中，，，若对于任意正整数，不等恒成立，则实数的取值范围是________．10．对于函数，，若存在闭区间，使得对任意，恒有（为实常数）则有序实数对________．11．在中，，，点在边上．若，，则________．12．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的序号是________．（填上所有正确结论的序号）①．若，则的方程为②．若上的点到两定点，的距离之积为16，则点在上③．若，点在上，则④．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．已知函数，则“”是“的最小正周期为”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）．A． B．C． D．15．已知等差数列的前项和为，公差，且，记，，，，下列等式不可能成立的是（）．A． B．C． D．16．设数列满足，，，（）A．存在，B．存在，使得是等差数列C．存在，D．存在，使得是等比数列三、解答题（本大题满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面底面，，点，分别是，的中点，点在棱上且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．18．（本题满分15分，第1小题满分7分，第2小题满分8分）申辉中学组织全校学生进行数学建模知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从高一、高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：根据学生成绩，将其分为四个等级：测试成绩（单位：分）等级合格中等良好优秀（1）从样本中成绩优秀的学生中任取2人，求这两名学生来自同一年级的概率；（2）现从样本中成绩良好的学生中随机抽取3人座谈，记为抽到高二年级学生的人数，求的分布和数学期望．19．（本题满分15分，第1小题满分7分，第2小题满分8分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界与的长度都是20米，，．（1）若，求的长（结果精确到1米）；（2）求围成该区域至多需要多少米的板材（不计损耗，结果精确到1米）．20．（本题満分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线的左、右顶点分别为、，曲线是以、为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点在第一象限且在双曲线上，直线与椭圆相交于另一点．（1）求曲线的方程；（2）设点、的横坐标分别为，，证明：；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）证明不等式：．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.①③④12．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的序号是________．（填上所有正确结论的序号）①．若，则的方程为②．若上的点到两定点，的距离之积为16，则点在上③．若，点在上，则④．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则【答案】①③④【解析】①已知原点在上,则,设为上任意一点,

则有,整理得,

若,则的方程为,故①正确;②若,则,将代入方程得,

显然点不在此曲线上，故②错误；③若,点在上,有,整理得,所以,故③正确;④因为的面积又,故,则,,所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点,联立方程组解得,故,又,故,所以,故④正确.故选:①③④.二、选择题13.A14.D15.D16.D15．已知等差数列的前项和为，公差，且，记，，，，下列等式不可能成立的是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】在等差数列中,,

,根据等差数列的性质可得正确,

B.若,则,成立,正确,.若,则,即,得,,符合正确;.若,则,即,得,,不符合错误;故选：16．设数列满足，，，（）A．存在，B．存在，使得是等差数列C．存在，D．存在，使得是等比数列【答案】D【解析】①，则②，由①-②得,则由此可得,则且,故,故错误;

由,则不是常数,故不存在,使得是等差数列,故错误；

假设存在,使得是等比数列,设公比为,

则,,由,则,解得,故存在,使得是等比数列,故正确.故选：D.三．解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20．（本题満分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线的左、右顶点分别为、，曲线是以、为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点在第一象限且在双曲线上，直线与椭圆相交于另一点．（1）求曲线的方程；（2）设点、的横坐标分别为，，证明：；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】（1）设椭圆的方程为,依题意可得,所以,

因为椭圆的离心率为,所以,即,所以椭圆方程为.（2）证明:设点,,直线的斜至为,则直线的方程为,联立方程组,整理,得,解得或,所以,同理可得，,所以.

（3）由（2）,

因为,所以,即,

因为点在双曲线上,则,所以,即,

因为点是双曲线在第一象限内的一点,所以,因为

所以

由（2）知,,即,设,则,则.

设,当且仅当,即时取等号,

所以函数在上单调递增，在上单调递减.因为,所以,所以的取值范围为.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）证明不等式：．【答案】（1）极小值为,无极大值（2）