专题61 随机事件、频率与概率解析版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题61随机事件、频率与概率（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 7【考点1】随机事件的关系 7【考点2】随机事件的频率与概率 11【考点3】互斥事件与对立事件的概率 15【分层检测】 19【基础篇】 19【能力篇】 25考试要求：1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.知识梳理知识梳理1.概率与频率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).2.事件的运算定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)3.事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)互斥事件如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up6(－))若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.2.概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).真题自测真题自测一、单选题1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立2．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（

）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大二、解答题3．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）4．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）参考答案：题号12答案BD1．B【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误；选项B，，，，，B正确；选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；选项D，，，，，与不独立，故D错误．故选：B．2．D【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为则；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为则则即，，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D3．(1)(2)(3)有【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.（3）由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．4．(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由频率估计概率即可(2)

求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)

计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【详解】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，.∴X的分布列为X0123P∴（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.考点突破考点突破【考点1】随机事件的关系一、单选题1．（2024·宁夏银川·二模）2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果每道选择题的答案是从A，B，C，D四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（

）A．AAAAAAAAAAAA B．ABCDABCDABCDC．CDABACADCBDB D．DBCCCDCDBDBD2．（23-24高一上·广东梅州·开学考试）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（

）

A．抛一枚硬币，正面朝上的概率；B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率．二、多选题3．（2024·浙江·三模）已知，，是一个随机试验中的三个事件，且，，下列说法正确的是（

）A．若与互斥，则与不相互独立B．若与相互独立，则与不互斥C．若，且，则与相互独立D．若，则，，两两独立4．（2024·江西宜春·三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（

）A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立C．事件A与事件C相互独立 D．三、填空题5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A表示“向上的点数是偶数”，事件B表示“向上的点数不超过4”，则．6．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是．参考答案：题号1234答案CDABCBC1．C【分析】根据随机事件的特征进行逐个判断即可.【详解】A选项全部是A答案,很显然不正确.B选项A,B,C,D每个有3个答案,但不具备随机性.D选项没有A答案,也不正确.C选项A,B,C,D每个有3个答案,具备随机性,C正确.故选:C.2．D【分析】先根据频率和概率的关系得到概率为，再对四个选项一一判断得到D正确.【详解】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率，选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项符合题意；故选：D3．ABC【分析】由互斥事件和相互独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，若与互斥，则与不能同时发生，即，因为表示与都不发生，则的对立事件为与至少有一个发生，所以，而，所以，因为所以，由此可知，与不相互独立，故A正确；对于B，若与相互独立，则，因为，，所以，则，所以与不互斥，故B正确；对于C，若，因为，因为，则有，所以与相互独立，故C正确；对于D，抛掷一枚质地均均的骰子，事件表示出现点数为，事件表示出现点数，事件表示出现点数，事件表示出现点数为，，满足，事件表示出现点数为，但则，不相互独立，故D错误.故选：ABC.4．BC【分析】对于A，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于C，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于D，由前面可知，即可判断是否相等.【详解】由题意，得，，，对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误；对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确；对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确；对于D，由上知，，故D错误．故选：BC．5．【分析】根据题意可知事件：点数为偶数或点数不超过4有1，2，3，4，6，结合古典概型分析求解.【详解】由题意可知：向上的点数为1，2，3，4，5，6，事件：点数为偶数或点数不超过4，有1，2，3，4，6，所以．故答案为：.6．【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为，根据题意列出方程，求出，即可得到答案【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人，设非吸烟者患肺癌的人数是人，则，，因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人．故答案为：.反思提升：1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.【考点2】随机事件的频率与概率一、单选题1．（22-23高一下·福建莆田·期末）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：射击次数501002004001000射中8环以上的次数4478158320800根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（

）A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.822．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（

）

A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：班级（1）（2）（3）优秀率80%85%75%则下列说法一定正确的是（

）A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高B．（3）班的学生人数不一定最少C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80%D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数4．（2024·江苏苏州·模拟预测）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（

）可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则.A．4 B．12 C．16 D．20三、填空题5．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为．参考答案：题号1234答案CCABABD1．C【分析】利用频率估计概率即可求解.【详解】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在，所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为，故选：C.2．C【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解.【详解】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误；对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误；对于C，的频率为，的频率为，则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确；对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误；故选：C3．AB【分析】由题目表格中的数据，逐一判断选项，可得答案.【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确；选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B正确；选项C：该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比，由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C错误；选项D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为x，y，（1）班、（2）班人数分别为a，b，则，，得，，又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为83%，即，即，即，得，则，故D错误．故选:AB.4．ABD【分析】根据题意，要保证游戏的公平性，需要正n面体每个面出现的点数的可能性要要相同，据此选出正确选项.【详解】第一步，根据题目，我们知道正n面体的骰子有n个面，每个面的点数分别为1，2，...，n，投掷后每个点数出现的概率相等.第二步，为了保证游戏的公正性，我们需要保证每个点数出现的概率相等，即每个面的面积相等，这意味着正n面体的每个面都应该是全等的正多边形.第三步，设正n面体的每个面都是正m边形，每个顶点连接k条棱，所以，则，所以，又，且不能同时大于3，所以或，解得或或或或，我们可以得出n的取值应该是4（正四面体）、6（正六面体）、8（正八面体）、12（正十二面体）、20（正二十面体）.故选：ABD5．/0.375【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可.【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开号箱，则；若奖品在号箱，其概率为，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为；若奖品不在号箱，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个，若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为；若抽奖人更改选择，其中奖的概率为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率.反思提升：1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.【考点3】互斥事件与对立事件的概率一、单选题1．（2024·上海·三模）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，以下说法中，正确的个数是（

）①

②

③若，则B与C互斥A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·山东烟台·三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·云南大理·模拟预测）假设是两个事件，且，，，则（

）A． B． C． D．4．（2024·河南新乡·模拟预测）随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为，掷出的点数之和为，则（

）A．事件“”和“”相等 B．事件“”和“”互斥C．为奇数的概率为 D．的概率为三、填空题5．（22-23高二下·天津·期末）天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是（分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高（分数作答）.6．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为．参考答案：题号1234答案CDADACD1．C【分析】由与相互独立，则，计算即可判断①；由条件概率公式计算即可判断②；由，可得，若互斥，则，满足，可判断③.【详解】对于①，，且与相互独立，则，故①错误；对于②，，，故，故②正确；对于③，，则，，故，即，若互斥，则，满足上式，故，即与互斥，故③正确．故选：C．2．D【分析】分第一次取出为红球和黑球两种情况求解即可.【详解】由题意，第一次取出可能为红球或黑球，故连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为.故选：D3．AD【分析】A选项，利用条件概率公式得到；B选项，与相互独立，故；C选项，根据求出答案；D选项，利用条件概率得到.【详解】A选项，因为，，，，所以，A正确；B选项，因为事件与相互独立，所以与相互独立，所以，B错误；C选项，，C错误；D选项，因为，所以，D正确.故选：AD.4．ACD【分析】写出事件的所有基本事件判断A；利用相互独立事件的定义判断B；利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算判断CD.【详解】对于A，事件“”和“”都相当于掷出两个1点和一个2点，故A正确；对于B，事件“”和“”都包含掷出两个1点和一个4点，故B错误；对于C，为奇数等价于“3次掷出的点数都为奇数”，因此其概率为，故C正确；对于D，事件“”的对立事件为“或”，，，因此，故D正确．故选：ACD.5．【分析】根据互斥事件的概率公式，求得他准点到达天津的概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】设事件为他准点到达天津，事件为他乘坐高铁到达天津，事件为他乘坐大巴到达天津，若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为；若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为；则，且,所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高.故答案为：，6．/【分析】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，先由相互独立事件的概率公式求出、的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，利用全概率公式计算第二空的答案．【详解】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，则，，，所以，，若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率，若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率．故答案为：；．反思提升：1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·江苏盐城·一模）已知随机事件A，B相互独立，且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·广东·三模）为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（

）A． B． C． D．3．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（

）A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件4．（2024·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（

）A． B．事件B与事件C是互斥事件C． D．6．（2024·山东·模拟预测）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（

）A． B．C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立7．（2024·江苏镇江·三模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（

）A．与相互对立 B．与相互独立C． D．三、填空题8．（2024·广东广州·模拟预测）选手甲和乙进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用五局三胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为.9．（2024·吉林·模拟预测）中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6G外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6G项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题的概率为．四、解答题10．（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.(1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.参考答案：题号1234567答案BBADCDACBD1．B【分析】根据A，B相互独立可得，再根据计算即可.【详解】因为事件A，B相互独立，且，可得，所以=.故选：B.2．B【分析】以正态分布为背景，举反例判断ACD，利用概率和公式判断B.【详解】设，对于A，若事件，事件，则，，但，选项A错误；对于C，若事件，事件，则，，但，选项C错误；对于D，若事件，事件，则，，但，选项D错误；对于B，因为，所以，又，所以，所以，B正确；故选：B.3．A【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的意义逐项判断即得.【详解】对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件是必然事件，，显然，，因此事件与相互独立，A正确；对于B，由，得事件与不是互斥事件，B错误；对于C，显然事件事件与不可能同时发生，即，而，事件与相互不独立，C错误；对于D，显然事件与可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件与不是对立事件，D错误.故选：A4．D【分析】运用分步乘法原理，结合古典概型和对立事件概率公式求解.【详解】两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种，科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为.故选：D.5．CD【分析】由已知先列举出事件A，B，C包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验各选项即可判断.【详解】解：由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}，事件B包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红)，(红，绿)}，则，选项A错误；，选项B错误；事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}，，选项C正确；事件B+C包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)，(红，绿)}，，选项D正确.故选：CD.6．AC【分析】分别求出事件的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以；故A正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以；表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以；表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以.因为，故B错误；因为，所以互斥，故C正确；因为，所以不独立，故D错误.故选：AC7．BD【分析】根据独立事件的定义判断B，根据互斥事件、对立事件的定义判断A，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D.【详解】对于A，由题意可知，事件与事件有可能同时发生，例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A错误；对于B，依题意，，，所以事件与事件相互独立，故B正确；对于C、D，，因为，所以，所以，故D正确，C错误．故选：BD．8．【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，根据条件概率公式分别求解和的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，，，故.故答案为：.9．0.94/【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件求，即可得结果.【详解】设甲、乙团队攻克该项技术难题分别为事件，则，可得，所以该科研院攻克这项技术难题的概率为.故答案为：0.94.10．(1)(2)【分析】（1）列举法列出前三个问题回答的甲乙所有得分情况，利用古典概型即可求解；（2）分别求出甲同学连续回答了三次问题且获胜的三种情况的概率，再用概率的加法公式求解即可.【详解】（1）设“甲回答问题且得分”为事件，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题且得分”为事件，“乙回答问题但对方得分”为事件.记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件.前三个问题回答的情况有8种：，其中事件只包含了1种情况，即，所以，即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为.（2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件.由（1）可得，.即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为.【能力篇】一、单选题1．（2024·江苏·模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（

）A． B．C．互斥 D．相互独立二、多选题2．（2024·广东珠海·一模）设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（

）A．若A，B互斥，则B．若，则A，B相互独立C．若A，B互斥，则A，B相互独立D．与相等三、填空题3．（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8.已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为，第三天不玩手机的概率为.四、解答题4．（2024·江苏镇江·三模）在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”.接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入