专题43 直线的方程解析版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题43直线的方程（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 7【考点1】直线的倾斜角与斜率 7【考点2】求直线的方程 12【考点3】直线方程的综合应用 16【分层检测】 21【基础篇】 21【能力篇】 29【培优篇】 33考试要求：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.2.直线的斜率(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.(2)计算公式①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（

）A．， B．，C．， D．，3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．二、填空题6．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为．参考答案：1．C【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，AB的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.【详解】因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，AB的最小，此时.故选：C2．C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最大值；阴影部分面积.故选：C.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．3．D【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.4．C【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，，此时.

故选：C5．B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

6．45/【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.【详解】圆的圆心为，故即，由可得，故或（舍），故，故直线即或，故原点到直线的距离为，故答案为：考点突破考点突破【考点1】直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2022·贵州毕节·三模）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点 B．直线与圆相交C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大值时，4．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（

）A．， B．当时，C．当时， D．，使得三、填空题5．（2023·江苏·模拟预测）设，直线，直线，记分别过定点，且与的交点为，则的最大值为.6．（2022高二·全国·专题练习）已知两点、，给出下列曲线方程：①；②；③；④．则曲线上存在点P满足的方程的序号是．参考答案：1．D【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过；由曲线方程可确定图形，采用数形结合的方式可确定直线斜率的取值范围，由此可构造不等式求得的取值范围.【详解】由得：，令，解得：，直线恒过定点；由得：，由此可得曲线的图形如下图所示，由图形可知：当直线过点时，直线斜率为，若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.2．C【分析】根据题意可知直线恒过定点，根据斜率公式结合图象分析求解.【详解】因为直线恒过定点，如图.又因为，，所以直线的斜率k的范围为.故选：C.3．ACD【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断.【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确；对于B，圆的圆心、半径为，点到直线的距离为，从而，取，则此时有，故B错误；对于C，当直线平分圆时，有点在直线上，也就是说有成立，解得，故C正确；对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当，而的斜率为，所以当等号成立时有，解得，故D正确.故选：ACD.4．AB【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，可知表示直线上所有的点，所以，故A正确；对于选项B：当时，则，，联立方程，解得，所以，B正确；对于选项C：当时，则有：若，则；若，可知直线与直线平行，且，可得，解得；综上所述：或，故C错误；对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．故选：AB．5．4【分析】根据题意得到直线恒过定点，直线恒过定点，以及直线与的斜率，得到，求得，结合，即可求解.【详解】由直线，可化为，可直线恒过定点，直线，可化为，可得直线恒过定点，又由直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，因为与的交点为，所以，又由，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.6．②③/【分析】首先可根据得出点P在线段的中垂线上，然后求出线段的中垂线方程为，最后依次判断四个曲线是否与有交点即可得出结果.【详解】因为点P满足，所以点P在线段的中垂线上，线段中点坐标为，，中垂线的斜率，故线段的中垂线方程为，即，因为曲线上存在点P满足，所以曲线与有交点，对于①：与，平行，故不满足题意；对于②：圆的圆心为，半径为，圆心到的距离，故圆与相交，满足题意；对于③：联立，整理得，方程有解，满足题意；对于④：联立，整理得0=1，不成立，故不满足题意.故答案为：②③.反思提升：(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tanα的单调性.【考点2】求直线的方程一、单选题1．（2023·江苏淮安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线通过原点，是的一个法向量，则直线倾斜角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（

）A． B． C．1 D．2二、多选题3．（2023·浙江宁波·一模）已知直线：与圆：相交于两点，与两坐标轴分别交于两点，记的面积为，的面积为，则（

）A． B．存在，使 C． D．存在，使4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（

）A．直线l恒过定点B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1D．圆C与圆恰有两条公切线三、填空题5．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为.6．（2023·江西南昌·一模）函数在x＝1处的切线平行于直线x－y－1＝0，则切线在y轴上的截距为．参考答案：1．A【分析】设直线的倾斜角为，依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】因为直线通过原点，是的一个法向量，所以直线的方程为，设直线的倾斜角为，则，又且，解得.故选：A2．B【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式得直线方程，令即可求解.【详解】由得，所以直线的斜率，又f1=0，所以直线的方程为，令，得，即在轴上的截距为.故选：B3．ABC【分析】运用数形结合思想，结合面积公式和点到直线距离，两点间距离，直线与圆弦长公式即可.【详解】A.直线：，当时，，当时，，所以，因为圆心为，所以圆心到直线的距离，所以根据直线被圆截得的弦长公式有，解得，所以，当且仅当即，即，解得时取得等号.所以，故A正确.B.直线：，当时，；当时，，所以当时，，故B正确.C.直线：过定点在圆内，因为圆：，圆心为，所以圆心到直线的距离因为，当且仅当时，,所以被截得的弦长最短，所以.故C正确.D.要使，则与重合，此时的直线方程为不过定点，故D错.故选:ABC.4．ACD【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确；对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误；对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为，而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确；对于D，圆化为，圆的圆心为，半径为4，两圆圆心距为，两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.故选：ACD.5．18【分析】确定直线的方程，根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列式求解，即得答案.【详解】由题意知过点的直线（不过原点）在轴、轴上的截距相等，设该直线方程为，将代入得，即直线方程为，由于该直线与相切，圆心为，半径为，故，故答案为：186．【分析】由题意，求得，所以，则，进而求出函数在x＝1处的切线方程，从而得解.【详解】，由题意，即，所以，则，故函数在x＝1处的切线方程为，即，则切线在y轴上的截距为．故答案为：．反思提升：(1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.【考点3】直线方程的综合应用一、单选题1．（2022·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（

）A．直线l恒过定点B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1D．圆C与圆恰有两条公切线4．（2021·江苏常州·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在区间上单调递减，上单调递增B．的最小值为，没有最大值C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称D．方程的实根个数为2三、填空题5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是.6．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为.参考答案：1．B【分析】设出点A，B的坐标，利用抛物线定义结合已知求出p，再借助斜率坐标公式计算作答.【详解】设，抛物线的准线为：，因为线段的中点，则，又，解得，则抛物线C的方程为：，有，，显然直线l的斜率存在，所以直线的斜率.故选：B2．D【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.【详解】设，变形可得，则的几何意义为直线的斜率，圆化为，所以圆的圆心为，半径为.因为Px0,所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，解得，即的最大为.故选:D.3．ACD【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确；对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误；对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为，而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确；对于D，圆化为，圆的圆心为，半径为4，两圆圆心距为，两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.故选：ACD.4．ABD【分析】根据题意画出图形，利用动点到两定点的距离之和的变化可判定A正确；求出最小值，分析无最大值，可判定B正确；由对称性的定义，可判定C不正确；由单调性和函数值的关系，可判定D正确.【详解】由题意，函数，可理解为动点到两个定点的距离之和，如图所示，当时，随着的增大，越靠近原点时，越小，则越小，即越小，函数在上单调递减，当时，随着的增大，越靠近原点时，越大，则越大，即越大，函数在上单调递增，所以A正确；当点与点重合时，取得最小值，点越向左远离或向右远离时，越大，无最大值，，即函数有最小值，无最大值，所以B正确；当点与点重合时，取得最小值，若函数有对称轴，则对称轴的方程为，而，可得，则不是对称轴，所以存在实数，使得函数的图象关于对称是错误的，所以C不正确；因为与点重合时，，当时，；当时，；当时，，由在上单调递增，所以存在，使得的实根个数为2，所以D正确.故选：ABD.5．或；.【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依题意可得，即，解得或；直线的方程可化为，所以，所以，所以直线过定点，所以，由直线可得：，若不经过第三象限，则，故答案为：或；.6．/【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，

则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值为=故答案为：【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.反思提升：1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（）A． B．1 C． D．23．（2024·山东青岛·二模）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（

）A． B． C． D．4．（2020高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（

）A．3 B． C．5 D．二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，则下列结论正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线与圆相交C．若，直线被圆截得的弦长为D．若直线与直线垂直，则6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（

）A．直线l与圆C相交B．圆C被y轴截得的弦长为C．点C到直线l的距离的最大值是D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为7．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（

）A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是三、填空题8．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为.9．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为.10．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.四、解答题11．（23-24高二上·山东德州·期中）已知直线：和直线：，其中m为实数．(1)若，求m的值；(2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．12．（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.参考答案：1．C【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围.【详解】令，解得，故的定义域为，，当且仅当，即时，等号成立，故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是.故选：C2．B【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.【详解】直线l：，整理得，由，可得，故直线恒过点，点到的距离，故；直线l：的斜率，故，解得故选：B.3．A【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离.【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为，即，则由点到直线的距离公式得.故选：A.4．D【分析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案.【详解】将直线的方程变形得，由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，

所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且，设，，则，四边形OMPN的面积为，当且仅当，即当时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为，故选：D5．BC【分析】利用点斜式可判定A，利用直线过定点结合点与圆的位置关系可判定B，利用弦长公式可判定C，利用直线的位置关系可判定D.【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A错误；对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线l与圆O相交，故B正确；对于C，当时，直线，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故C正确；对于D，若直线与直线垂直，则或，故D不正确；故选：BC.6．ACD【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程．【详解】由，则，得，即恒过定点，由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，所以，可得，故直线为，故D正确．故选：ACD．7．ABD【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断.【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为，由解得，所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误；对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为，将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误；对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，；点关于直线的对称点为，所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确；对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为，由解得；点关于直线的对称点为，将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误.故选：ABD.

8．150°【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角.【详解】由题意得，直线与直线l垂直，因为，故l的斜率为，故l的倾斜角为150°故答案为：150°9．或【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程.【详解】设Bx,y，则，则，此时，所以或，又由已知，直线AB的方程为或，整理得或.故答案为：或.10．/【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可.【详解】由题意AB的最小值为曲线上点A到直线距离的最小值，而点A就是曲线与直线相切的切点，因为曲线上其它点到直线的距离都大于AB，对求导有，由可得，即，故.故答案为：.11．(1)或0(2)或．【分析】（1）根据垂直得到方程，求出m的值；（2）将代入中，解得，设直线l的方程，根据两截距相等得到方程，求出或，得到直线l的方程.【详解】（1）由题意得，解得或0；（2）由在直线上，得，解得，可得，显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，令，可得，再令，可得，所以，解得或，所以直线l的方程为或，即或．12．(1)；(2)和【分析】（1）利用直线的交点坐标同时在两直线上解方程组即可得到结果；（2）分直线的斜率存在与否，不存在时，直接验证即可；存在时利用点斜式设出直线方程，再由点到直线的距离解出斜率，得到直线方程即可.【详解】（1）由题意得，即解得；（2）显然直线：满足条件.此时，直线的斜率不存在.当直线的斜率存在时，设，即.点到直线的距离为，，即，得，得直线综上所述，直线的方程为和【能力篇】一、单选题1．（2022·四川南充·三模）设O为坐标原点，点，动点P在抛物线上，且位于第二象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题2．（2024·江苏南通·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（

）A．点到的距离比到轴的距离大2B．点到直线的最小距离为C．以为直径的圆与轴相切D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形三、填空题3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点.四、解答题4．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．(1)求直线的斜率；(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．参考答案：1．D【分析】根据给定条件，设出点P的坐标，再求出直线OM的斜率，借助均值不等式求解作答.【详解】依题意，设点，于是有，直线OM的斜率，当且仅当，即时取“=”，直线OM的斜率的取值范围为.故选：D2．BC【分析】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设，.利用抛物线的定义可得，即可判断出正误；.，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，进而判断出正误；.设的中点为，可得，即可判断出正误；.，令，可得，，解得，即可判断出正误.【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设，因为，因此不正确；因为，则点到直线的距离为，当时取等号，可得点到直线的最小距离为，因此正确；设的中点为，则，于是以为直径的圆与轴相切，因此正确；，令，则，，解得，此时，是正三角形，因此不正确．故选：BC．3．【分析】设出点坐标，可得以为直径的圆的方程，与圆方程作差即可得公共弦方程，即可得定点坐标.【详解】根据题意，为直线：上的动点，设的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，，则点、在以为直径的圆上，又由，，则以为直径的圆的方程为，变形可得：，则有，可得：，变形可得：，即直线的方程为，则有，解可得，故直线过定点.故答案为：.4．(1)(2)或．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的方程，确定焦点F1,0（2）对斜率进行分类讨论，设直线方程，联立抛物线方程，设Ax1,y1，B【详解】（1）将代入抛物线方程可得，解得，故F1,0．所以．（2）由题意，直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在，则原点O到直线l的距离为1，矛盾），所以设直线的方程为．联立，化简得，显然，设Ax1,y1，B，所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，．因为原点O到直线l的距离为，所以，解得，所以圆心、半径分别为，，所以圆的标准方程为或．【培优篇】一、单选题1．（2024·全国·