新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第14~15题（教师版）

平面向量线性运算、函数性质综合应用考点2年考题考情分析平面向量线性运算2023年天津卷第14题2022年天津卷第14题近两年高考对于平面向量的线性运算考察难度较大，主要考察平面向量基本定理以及平面向量的数量积运算，而且近两年高考对于数量积运算考察时都结合了基本不等式的内容。整体来看综合性较强，难度较大，可以预测24年高考很可能仍会结合基本不等式和数量积运算来考察。函数性质综合应用2023年天津卷第15题2022年天津卷第15题高考对于函数性质的综合考察难度较大，需要考生熟练掌握函数图像与性质，常考察分段函数，零点问题，参数范围问题，考查形式较多，并在解题过程中大多涉及数学中重要的分类讨论思想，整体综合性较强，属于填空压轴题。题型一平面向量线性运算14．（5分）（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为；若，则的最大值为．【答案】；．【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可．【解答】解：在中，，，点为的中点，点为的中点，，，则；设，，由余弦定理可得：，又，即，当且仅当时取等号，又，则，则，即的最大值为．故答案为：；．14．（5分）（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为，若，则的最大值为．【答案】；．【分析】由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出的最小值，可得的最大值．【解答】解：中，，，是中点，，如图：．，，，即，即，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故的最大值为，即的最大值为，故答案为：；．一、平面向量共线定理已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，；当直线AB在点O与等和线之间时，；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.三、平面向量中的最值（范围）问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．四、极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有证明：，①，②将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．五.基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.（1）几个重要的不等式①②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）.（2）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).六.均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.1．平面四边形中，，为的中点，用和表示；若，则的最小值为．【答案】；．【分析】根据中线的向量表示，写出，即可求出；根据，，，计算，即可求出的最小值．【解答】解：平面四边形中，为的中点，所以，所以；因为，，所以，若，则，，，当、共线反向时取“”，所以的最小值为．故答案为：；．2．在平行四边形中、是线段的中点，点满足，若设，，则可用，表示为；点是线段上一点，且．若，则的最大值为．【答案】；．【分析】由向量的线性运算，可将可用，表示出来；再由，可得，从而得，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值．【解答】解：由，可得，则；由，可得，则，由，可得，即，整理得，故，当且仅当时等号成立，则的最大值为．故答案为：；．3．如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则；若的面积为，则的最小值为．【答案】；．【分析】利用平面向量基本定理以及线性运算，结合向量相等，求出的值，利用平行四边形的面积，求出，由模的运算性质以及基本不等式求解最值即可．【解答】解：，所以，则，所以，所以，因为的面积为，所以，则，所以，当且仅当时取等号，则的最小值为．故答案为：；．4．在中，是边的中点，，，，则4；设为平面上一点，且，其中，则的最小值为．【答案】4；．【分析】设，根据平面向量数量积的定义与运算性质化简，得到关于的方程，解之可得边的长；设，由证出、、三点共线，然后利用三角形中线的性质与向量数量积的运算性质，化简得到关于的二次函数，进而求出的最小值．【解答】解：设，则，因为，为边的中点，所以，即，可得，整理得，解得不符合题意，舍去），即．因此，可得，，，．设，由，得，整理得，即，可得、、三点共线，如图所示，为的边上的中线，可得，同理．所以，而，，，，可得，当时，的最小值为．故答案为：4；．5．已知平行四边形的面积为，，且．若为线段上的动点，且，则实数的值为；的最小值为．【答案】；．【分析】将用和表示出来，利用，，三点共线，得，解得；设，由平行四边形面积，解得的长，结合的表达式，利用向量数量积的性质进行运算，再由基本不等式求得模的最值．【解答】解：由题意，，因为，，三点共线，则有，解得；设，，不妨设，因为的面积为，，所以，即，由，可得，当且仅当时取等号，所以，所以的最小值为．故答案为：；．6．如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则；点是线段上的一个动点，则的最大值为．【分析】取的中点，连接，结合条件可得，再由平面向量的线性运算计算可得，由平面向量基本定理即可求得，，从而求得第一空；设，由平面向量的线性运算得，再由平面向量的数量积运算可得，结合的取值范围，即可求得．【解答】解：取的中点，连接，因为，所以，又因为，则为的中位线，所以，因为，所以为的中位线，所以，所以，因为，所以，所以；因为点是线段上的一个动点，所以设，所以，所以，当时，有最大值，且最大值为．故答案为：；．7．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，交两点不重合）．若，则，若，则的最小值为．【答案】．【分析】根据即可得出，从而得出，从而求出的值；可得出，根据，，三点共线即可得出，并且，，然后可根据基本不等式和1的代换即可求出的最小值．【解答】解：，，，又，不共线，，；，且，，三点共线，，且，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为：．故答案为：．8．在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则；若，点为线段上的动点，则的最小值为．【答案】；．【分析】由平面向量投影的运算，结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数最值的求法求解即可．【解答】解：过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量，又向量在向量上的投影向量为，则点为线段的中点，所以，所以，又为锐角，故；以点为坐标原点，所在直线为轴建系如图，则，，，因为，所以，因为点为线段上的动点，设，，，故点，则，，，当时，取到最小值．故答案为：；．9．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形中，若，则的值为；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为．【分析】对第一空，建系，根据向量坐标运算，建立方程，即可求解；对第二空，分别延长与交于点，则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得：的最小值为，再计算即可得解．【解答】解：对第一空，建系如图，设正八面体的中心到顶点的距离为1，则，，，，，即，，，，，又，，，，，，解得，；对第二空，如图，分别延长与交于点，则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得：的最小值为，又，三角形为等腰直角三角形，，的最小值为．故答案为：；．10．在平面四边形中，，，，若，则；若为边上一动点，当取最小值时，则的值为．【分析】根据题意可知是等边三角形，是有一个内角为的直角三角形．又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．【解答】解：平面四边形中，，，，是边长为2的等边三角，在中，，，所以．又，，，是边的四等分点．如图建立坐标系：则：，，，，，，．所以，．再设，，．显然时，最小，此时．．故答案为：，．11．在中，，，，，则，若动点在线段上，则的最小值为．【答案】；．【分析】首先将转化为，直接求出，再建系表示，，坐标利用公式求解即可．【解答】解：由已知有在延长线上，且，，且，，由已知有，代入可得：，以中点点建立直角坐标系，则，，设，，故，，故，故当时取最小值，最小值为．故答案为：；．12．已知向量满足分别是线段，的中点，若，则；若点为上的动点，且，则的最小值为．【答案】；．【分析】根据向量的线性运算，向量的数量积的定义与性质，平面向量的共线定理的推论，基本不等式，即可分别求解．【解答】解：如图，根据题意可得：，，，；延长，交于点，则易得，分别为，的中点，，又，，三点共线，，，又点为上的动点，且，，，，，，，，当且仅当时，取得等号，的最小值为．故答案为：；．13．在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则；若，，则的最小值是．【答案】；．【分析】求出关于、的表达式，再由已知条件可得出，可得出关于、的表达式，求出、关于、的表达式，根据可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．【解答】解：如下图所示：因为为的中点，，，，则，因为，，，则，因为，，则，，因为、、三点共线，则，所以存在实数使得，即，所以，消去化简整理可得，，即，故，因为过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，且，则，，，当且仅当时，即当时，等号成立．故的最小值是．故答案为：；．14．如图，在中，，，为上一点，且满足，则的值为；若的面积为，的最小值为．【答案】；．【分析】将表示为，的线性组合，由，，三点共线知系数和为1，可解得的值，对两边平方，再结合基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：，，，又，，三点共线，，，，两边平方得：，由于的面积为，，，即，当且仅当时，等号成立，的最小值为．故答案为：；．15．在梯形中，，且，，分别是和的中点，若，，用表示，若，则余弦值的最小值为．【答案】，．【分析】根据向量加法和数乘的几何意义即可得出，同样可得出，根据可得出，从而得出，然后可求出，然后根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：如图，，，，分别是和的中点，且，，，且，，，，当且仅当，即时取等号，余弦值的最小值为．故答案为：．题型二函数性质的综合应用15．（5分）（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为，，，．【答案】，，，．【分析】首先要分情况去绝对值，化简函数，再根据对应方程根的情况判定零点个数是否满足题意．【解答】解：①当时，，不满足题意；②当方程满足且△时，有即，，，此时，，当时，不满足，当时，△，满足；③△时，，，，记的两根为，，不妨设，则，当时，，且，，，但此时，舍去，，，且，但此时，舍去，故仅有1与两个解，即有且仅有两个零点，当时，有，舍去，，舍去，故仅有和两个解，即有且仅有两个零点，综上，，，，．故答案为：，，，．15．（5分）（2022•天津）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为，．【答案】，．【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出△，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围．【解答】解：设，，由可得．要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，则△，解得或．①当时，，作出函数、的图象如图所示：此时函数只有两个零点，不满足题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有3个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如图所示：由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有3个零点，则，可得，解得，此时．综上所述，实数的取值范围是，．故答案为：，．1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2.解决嵌套函数形如fgx零点个数的(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．1．函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为，，．【答案】，，【分析】画出，的图象，数形结合后可求参数的取值范围．【解答】解：因为，所以，则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解，故，的图象有两个不同的交点，设，又，的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均过原点，当时，考虑直线与的图象相切，则由可得△，即，考虑直线与的图象相切，由可得，则△，即．考虑直线与的图象相切，由可得，则△，即，结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，综上，或．故答案为：，，．2．已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为．【答案】．【分析】根据函数是否有零点进行分类讨论：当△时，恒成立，结合题意求解即可；当△且时，恒成立，不符合题意；当△且时，结合二次函数性质讨论，可得没有实数根，计算出的取值范围，最后综合可得本题答案．【解答】解：设，对于方程的根的判别式，有以下两种情况：（1）当△，即时，恒成立，所以．因为有两个零点，所以且，解得或（舍，综上所述，当时，满足或；（2）当△，即或时，设的两个根为，，且，当时，恒成立，不满足题意，当时，关于的方程有两个解，因为，可知，所以与的图象在上必有一个交点，当时，与的图象没有交点，当时，，所以与的图象在内必有一个交点，因此，要使方程有且只有两个零点，则没有实数根，即方程没有实数根，可得，解得，结合，可得．综上所述，满足条件的实数的取值范围为．故答案为：．3．函数，函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是或或．【答案】或或．【分析】根据题意整理函数解析式，利用导数要求分段函数单调性，结合分类讨论思想以及零点存在性定理，可得答案．【解答】解：由题意可得．当时，，△，当在，上存在2个零点时，，解得；当在，上存在唯一零点时，，解得；当在，上不存在零点时，无解．当时，，则，当时，，在单调递增，（1），，由（2），则在上存在唯一零点，此时符合题意；当时，令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以，令，解得，当时，在上存在唯一零点，此时符合题意；当时，，此时符合题意；当时，，（1），，由，则在存在2个零点，此时不合题意；当时，，则在不存在零点，此时不合题意．综上所述，或或．故答案为：或或．4．已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是，．【答案】，．【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用参数分离法分离参数，构造两个函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当时，由，得，则，当时，由，得，当时，不成立，即，则，设，，，当时，由得，此时为增函数，由得，，此时为减函数，且，即当时，取得极大值为，设，且，，则由，得，此时为增函数，由，得或，此时为减函数，即当时，取得极大值为，当时，，作出，和，且的图象如图：要使在上恰有三个不同的零点，等价为与，和的图象分别有三个不同的交点，由图象知，或，即实数的取值范围是，．故答案为：，．5．函数，，，其中，，表示，，中的最小者．若函数有12个零点，则的取值范围是，，．【分析】将问题转化为有12个不等实根，设，可知方程有两个不等实根，结合函数图象可确定，的范围，结合二次函数零点的分布列出不等式组求得结果．【解答】解：题意转化为有12个不等实根，作出图象，如下图所示：设，则有两个不等实根，所以△，记的两根为，，，则有，所以，解得：，，，综上所述：实数的取值范围为，，．故答案为：，，．6．已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程，有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是，，．【答案】，，．【分析】根据函数的奇偶性作出函数的图象，利用换元法判断函数的根的个数，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数的图象如图：则在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值（1）；当时，取得极小值0．要使关于的方程，，有且只有6个不同实数根，设，则当，方程，有0个根，当，方程，有1个根，当或，方程，有2个根，当，方程，有4个根，当，方程，有0个根．则必有两个根、，则有两种情况符合题意：①，且，此时，则，；②，，，此时同理可得，综上可得的范围是，，．故答案为：，，．7．已知函数，则函数的各个零点之和为5；若方程恰有四个实根，则实数的取值范围为．【答案】5；，，．【分析】求出函数的零点，可求得函数的各零点之和；令，可得出函数的值域为，，，设方程在，，上有两个不等的实根，设为、，可得出、或、或，，数形结合可得出实数的取值范围．【解答】解：当时，由，可得，当时，由，解得或4，所以，函数的各个零点之和为；令，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，所以，函数的值域为，，，作出函数的图象如下图所示：若方程恰有四个实根，则方程在，，上有两个不等的实根，设为，，由图可知，，或，或、，作出函数在，，上的图象如下图所示：由图可得或，因此，实数的取值范围是，，．故答案为：5；，，．8．设，函数与函数在区间，内恰有3个零点，则的取值范围是，．【答案】，．【分析】设，结合题意可知函数在区间，内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数△的正负及（a）的正负即可求解．【解答】解：由题意，函数与函数在区间，内恰有3个零点，设，即函数在区间，内恰有3个零点，当时，函数在区间，内最多有2个零点，不符合题意；当时，函数的对称轴为，△，所以，函数在，上单调递减，在上单调递增，且（a），当△，即时，函数在区间，上无零点，所以函数在，上有三个零点，不符合题意；当△，即时，函数在区间，上只有一个零点，则当，时，，令，解得或，符合题意；当，即时，函数在区间，上有1个零点，则函数在，上有2个零点，则，即，所以；当，即时，函数在区间，上有2个零点，则函数在，上只有1个零点，则或或，即无解．综上所述，的取值范围是，．故答案为：，．9．设，对任意实数，记，．若有三个零点，则实数的取值范围是．【答案】．【分析】分析函数，的零点，由条件列不等式求的取值范围．【解答】解：令，，因为函数有一个零点，函数至多有两个零点，又有三个零点，所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，且函数与函数的零点均为函数的零点，由可得，，所以，所以为函数的零点，即，所以，令，可得，由已知有两个根，设，则有两个正根，所以，，，所以，故，当时，有两个根，设其根为，，，则，设，则（2），，所以，令，则，，则，，且，，所以当时，，所以当时，，为函数的零点，又也为函数的零点，且，与互不相等，所以当时，函数有三个零点．故答案为：．10．若函数，函数有两个零点，则实数的取值是或0．【答案】或0．【分析】由题意可得函数与有两个不同的交点，作出两函数的图象，结合图象即可求解．【解答】解：若有两个零点，即函数与有两个不同的交点，作出函数与的图象，当时，显然符合题意，当时，两函数在内有一个交点，则另外一交点为与的切点，设切点坐标为，，则，解得，及切线斜率，故答案为：或0．11．已知函数，若存在实数，，，．满足，且，则1，的取值范围是．【答案】1；【分析】作出函数的图象，结合图象可知，，，之间的关系，利用此关系直接求出，再将转化为关于的二次函数求范围即可．【解答】解：作出函数的图象，如图，因为，所以由图可知，，即，且，，在上单调递增，，即的取值范围是．故答案为：1；．12．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为．【答案】．【分析】利用函数与方程的解的个数之间的关系，利用数形结合的思想即可求解．【解答】解：作出函数的大致图象，如图所示，令，则可化为，则或，则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交点个数之和为5个，由图可得函数的图象与直线的