12.4全等三角形（单元检测）（解析版）

12.4全等三角形（单元检测）一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案．【详解】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，∵∠CAB＝40°，∴∠BAF＝140°，∴∠EAB＝70°，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝65°，∴∠AEB＝180°−∠EAB−∠ABE＝45°，故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理和角平分线的定义的正确运用．2．(本题3分)如图，E是的平分线AD上任意一点，且，则图中全等三角形有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【答案】B【分析】根据题意可知：AB=AC，E是角平分线AD上任意一点，根据三角形全等的判定方法可知全等的三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．【详解】∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和△ACD中，，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，

在△BED和△CED中，，

∴△BDE≌△CDE（SAS），

在△ABE和△ACE中，，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

共3对全等三角形，

故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．以及HL．3．(本题3分)如图，AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据“”可证明，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于与不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到，则利用平行线的判定方法可对③进行判断．【详解】是的中线，，，，，所以④正确；，所以①正确；与不能确定相等，和面积不一定相等，所以②错误；，，，所以③正确；故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的5种判定方法是解题的关键．4．(本题3分)如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连结，．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【详解】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确∴CE=BF，∠F=∠CED，故①正确，∴BF∥CE，故③正确，∵BD=CD，点A到BD、CD的距离相等，∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，综上所述，正确的是①②③④共4个．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．5．(本题3分)下列叙述中错误的是（）A．能够完全重合的图形称为全等图形B．全等图形的形状和大小都相同C．所有正方形都是全等图形D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形【答案】C【解析】解：A．能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；B．全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；C．所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；故选C．6．(本题3分)如图，在中，分别是上的点，且，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据AB=AC，∠A=112°求得∠B=∠C=34°，再证明△BED≌△CDF得到∠BDE=∠CFD，由∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CFD+∠C+∠CDF=180°，推出∠EDF=∠C=34°.【详解】∵AB=AC，∠A=112°，∴∠B=∠C=34°，∵,∴△BED≌△CDF，∴∠BDE=∠CFD，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CFD+∠C+∠CDF=180°，∴∠EDF=∠C=34°，故选：B.【点评】此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和的运用.7．(本题3分)如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是()A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．【详解】∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴.故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键．8．(本题3分)如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，

∴DE=CD=4，∴四边形的面积故选B.【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．9．(本题3分)如图,△ABC≌△DCB,若∠A=80°,∠ACB=40°,则∠ACD等于（）A．80° B．60° C．40° D．20°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据全等三角形的性质求出∠DCB的度数，计算即可．【详解】∵∠A=80°，∠ACB=40°，∴∠ABC=60°，∵△ABC≌△DCB，∴∠DCB=∠ABC=60°，∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=60°-40°=20°，故选D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．(本题3分)平面上有与，其中与相交于点，如图．若，，，，，则的度数为A． B． C． D．【答案】C【分析】易证，由全等三角形的性质可知：，再根据已知条件和四边形的内角和为，即可求出的度数．【详解】在和中，，，，，，，，，，，，，，，故选：C．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出．11．(本题3分)如图，一种测量工具，点O是两根钢条AC、BD中点，并能绕点O转动.由三角形全等可得内槽宽AB与CD相等，其中△OAB≌△OCD的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS【答案】C【分析】由O是AC、BD的中点，可得AO=CO，BO=DO，再由∠AOB=∠COD，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OCD，即可得出结论．【详解】∵O是AC、BD的中点，∴AO=CO，BO=DO．在△OAB和△OCD中，∵AO=CO，∠AOB=∠COD，BO=DO，∴△OAB≌△OCD（SAS），∴AB=CD．故选C．【点评】本题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．12．(本题3分)下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等【答案】D【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不合题意；、三个角对应相等不能证明两三角形全等，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．二、填空题(共12分)13．(本题3分)如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是_______________________________．【答案】③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．

故答案为③；两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是要认真观察图形，根据已知选择判定方法．14．(本题3分)如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后△CAP与△PQB全等．【答案】4【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，此时AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12-x=x，得出x=6，BQ=12≠AC，即可得出结果．【详解】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°，

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；

则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，

分两种情况：

①若BP=AC，则x=4，

AP=12-4=8，BQ=8，AP=BQ，

∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，则12-x=x，

解得：x=6，BQ=12≠AC，

此时△CAP与△PQB不全等；

综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；

故答案为：4．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．15．(本题3分)如图，己知，的延长线过点E且交点F，，，，则_________.【答案】35°.【分析】由△ABC≌△ADE可得∠B=∠D=50°，再在△ACF和△DEF中应用三角形的内角和定理求解即可.【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=50°，∵∠ACB=105°，∴∠ACE=75°，在△ACF和△DEF中，∵∠ACE+∠CAF+∠AFC=∠D+∠DEF+∠DFE，∠AFC=∠DFE，∴75°+10°=50°+∠DEF，∴∠DEF=35°.故答案为35°.【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，难度不大，属于基础题型，掌握相关性质和定理是关键.16．(本题3分)如图,已知△ABC的两条高AD、BE交于F,AE=BE,若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件：_______________.【答案】AF=BC【解析】HL指的是斜边、直角边定理，只能添加两条斜边相等，即AF=BC.三、解答题(共72分)17．(本题8分)如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CDE的度数．【答案】∠CDE＝66°．【分析】先求出∠ABD+∠CBE＝132°，再根据三角形全等得到∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，进而求出∠ABD＝∠CBE＝66°，最后根据三角形内角和得到∠CDE＝∠CBE＝66°．【详解】∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD+∠CBE＝132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，∵∠CPD＝∠BPE，∴∠CDE＝∠CBE＝66°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，根据全等性质证明∠ABD＝∠CBE是解题关键.18．(本题8分)如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．【详解】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C＋∠APC＝90°，∴∠APC＋∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．19．(本题8分)如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．【答案】（1）①△BPD与△CQP全等，②点Q的运动速度是cm/s．（2）经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．【分析】（1）①根据SAS即可判断；②利用全等三角形的性质，判断出对应边，根据时间．路程、速度之间的关系即可解决问题；（2）求出Q的运动路程，与根据三角形ABC周长的整数倍进行比较，即可得出相遇点的位置．【详解】（1）①△BPD与△CQP全等，∵点P的运动速度是1cm/s，∴点Q的运动速度是1cm/s，∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，∵BC=6cm，∴CP=5cm，∵AB=10，D为AB的中点，∴BD=5，∴BD=CP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP．②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，∴点Q的运动速度是cm/s．（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，∴10+10+t=t，解得：t=30，此时点Q的路程=30×=50（厘米），∵50＜2×26，∴此时点Q在BC上，∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．20．(本题8分)如图，一个四边形纸片ABCD，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，AE是折痕．（1）判断与DC的位置关系，并说明理由；（2）如果，求的度数．【答案】（1）B′E∥DC，理由见解析；（2）65°【分析】（1）由于是的折叠后形成的，可得，可得B′E∥DC；（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．【详解】（1）由于是的折叠后形成的，，；（2）折叠，△，，即，，，．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，则△，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．21．(本题8分)已知和位置如图所示，，，．（1）试说明：；（2）试说明：．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）根据SAS可证明△ADB≌△AEC，再根据全等三角形的性质即得结论；（2）由可得，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理即可推出结论．【详解】（1）在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵，∴，∵△ADB≌△AEC，∴，∴，即．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．22．(本题10分)（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．，，之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）；（2），理由详见解析.【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.【详解】（1）.理由如下：如图①，∵是的平分线，∴∵，∴，∴，∴.∵点是的中点，∴，又∵，∴≌（AAS），∴.∴.故答案为.（2）.理由如下：如图②，延长交的延长线于点.∵，∴，又∵，，∴≌（AAS），∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∵，∴.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．23．(本题10分)如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：BE=CD．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先证明∠BAE=∠CAD，再利用SAS证明△BAE≌△CAD即可．试题解析：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAE≌△CAD(SAS)，∴BE=CD.24．(本题12分)在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，