2024-2025学年高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.2不等关系与不等式课时作业含解析北师大版必修5

PAGEPAGE4课时作业17不等关系与不等式时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若a<0<b，则下列不等式恒成立的是(D)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．－a>bC．a2>b2 D．a3<b3解析：对于选项A，因为eq\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，所以选项A不正确；对于选项B，取a＝－1，b＝2，可知选项B不正确；对于选项C，取a＝－1，b＝2，可知选项C不正确；对于选项D，因为a3<0，b3>0，所以选项D正确．2．已知a>b>c，则下列不等式中正确的是(C)A．ac>bc B．ac2>bc2C．b(a－b)>c(a－b) D．|ac|>|bc|解析：∵a>b，∴a－b>0，又b>c，从而b(a－b)>c(a－b)．3．已知x>0，y>0，M＝eq\f(x＋y,2)，N＝eq\f(2xy,x＋y)，则M与N的大小关系为(B)A．M>N B．M≥NC．M≤N D．M<N解析：M－N＝eq\f((x＋y)2－4xy,2(x＋y))＝eq\f((x－y)2,2(x＋y)).∵x>0，y>0，∴x＋y>0.又(x－y)2≥0，∴M－N≥0，即M≥N.4．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是(A)A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1解析：由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A.5．不等式①x2＋2>x；②x2＋y2≥2(x＋y－1)；③x2＋1>x中，恒成立的个数是(D)A．0B．1C．2D．3解析：①x2＋2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>0；②x2＋y2－2(x＋y－1)＝(x－1)2＋(y－1)2≥0；③x2＋1－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以三个不等式都恒成立．6．已知0<a<1，x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)，y＝eq\f(1,2)loga5，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)，则(C)A．x>y>zB．z>y>xC．y>x>zD．z>x>y解析：先将x，y，z变成同底数的式子，再比较真数的大小，利用对数函数的单调性来分析．∵x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)＝logaeq\r(6)，y＝eq\f(1,2)loga5＝logaeq\r(5)，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)＝logaeq\r(7)，由0<a<1知，函数f(x)＝logax为减函数，∴y>x>z.7．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列推断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．则其中推断正确的个数是(C)A．0B．1C．2D．3解析：①②正确，③错误．8．假如a>0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么(A)A．M>N B．M<NC．M＝N D．M，N的大小无法确定解析：M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1).若a>1，则a3>a2，∴eq\f(a3＋1,a2＋1)>1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，∴M>N；若0<a<1，则0<a3<a2，∴0<a3＋1<a2＋1，∴0<eq\f(a3＋1,a2＋1)<1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，∴M>N，故选A.二、填空题9．x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，x与y的大小关系是x<y.解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.10．已知a>b>0，且c>d>0，则eq\r(\f(a,d))与eq\r(\f(b,c))的大小关系是eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c)).解析：∵c>d>0，∴eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，∵a>b>0，∴eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，∴eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c)).11．若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(－3,3)．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1＜a<3，∴－3<a－|b|<3.三、解答题12．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.证明：∵x≥1，y≥1，∴x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)·(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，∴x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.13．若a≠－1，且a∈R，试比较eq\f(1,1＋a)与1－a的大小．解：因为eq\f(1,1＋a)－(1－a)＝eq\f(a2,1＋a)，故(1)当a>－1且a≠0时，eq\f(1,1＋a)>1－a；(2)当a<－1时，eq\f(1,1＋a)<1－a；(3)当a＝0时，eq\f(1,1＋a)＝1－a.——实力提升类——14．设x，y为实数，满意3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是27.解析：因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2∈[16,81]，eq\f(1,xy2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3)))，所以eq\f(x3,y4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2·eq\f(1,xy2)∈[2,27]，所以eq\f(x3,y4)的最大值是27.15．某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场大暴雨，为确保万无一失，指挥部确定在24小时内筑一道堤坝以防山洪沉没正在惊慌施工的隧道工程．经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还须要20辆翻斗车同时作业24小时，但是，除了有一辆翻斗车可以马上投入施工外，其余翻斗车辆须要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆翻斗车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆翻斗车．问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说出理由．解：由20辆翻斗车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆翻斗车每小时的工作效率为eq\f(1,480)，设从第一辆翻斗车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…，a25小时，依题意，它们是组成公差d＝－eq\f(1,3)(小时)的等差数列，且an≤24(n＝1,2,3，…，25)