2024-2025学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例练习含解析新人教A版选修4-5

PAGEPAGE1二用数学归纳法证明不等式举例课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N+,且n>1)时,第一步是证下述哪个不等式成立()A.1<2 B.1+<2C.1+<2 D.1+<2解析当n=2时,左边=1+,右边=2,所以应证1+<2.答案C2.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)3<1+3xB.(1+x<1+xC.(1+x)-2<1-2xD.(1+x<1+x解析由贝努利不等式可得选项D正确.答案D3.用数学归纳法证明+…+(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为()A.1 B.2 C.3 D.4解析当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1,不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0为2.答案B4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,明显不等式是成立的;(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即<k+1.当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时不等式是正确的.由(1)(2)可知,对于n∈N+,不等式都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从k到k+1的推理过程没有运用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不详细解析证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有运用归纳假设<k+1.答案A5.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多的项为.

解析f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.答案+…+6.已知x>0,视察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为.

答案x+≥n+1(n为正整数)7.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.

解析对比k与k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.答案8.用数学归纳法证明1++…+<2(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即1++…+<2.当n=k+1时,1++…+<2=2.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对随意n∈N+都成立.9.导学号26394068若不等式+…+对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.解取n=1,则有成立,所以,因此a<26,取a=25,即正整数a的最大值为25.以下用数学归纳法证明.+…+对一切正整数n都成立.(1)当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即+…+,当n=k+1时,+…+=.因为,所以>0,于是+…+,即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,都有+…+,且正整数a的最大值等于25.10.导学号26394069已知数列{an}满意:a1=,且an=(n≥2,n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证对一切正整数n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.(1)解将条件变为1-,因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,因此得an=(n≥1).①(2)证明由①得a1a2…an=.为证a1a2…an<2n!,只要证当n∈N+时,有×…×.②明显,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有×…×≥1-.③下面用数学归纳法证明③式:ⅰ当n=1时,明显③式成立,ⅱ假设当n=k(k≥1)时,③