2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第2课时不等式性质课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE5-其次章2.1第2课时A组·素养自测一、选择题1．下列运用等式的性质，变形不正确的是(D)A．若x＝y，则x＋5＝y＋5B．若a＝b，则ac＝bcC．若eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)，则a＝bD．若x＝y，则eq\f(x,a)＝eq\f(y,a)[解析]对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，正确；对于选项C，由等式的性质4知，若eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)，则a＝b，正确；对于选项D，若x＝y，则eq\f(x,a)＝eq\f(y,a)的前提条件为a≠0，故此选项错误．2．(2024·上海市黄浦区期中)已知0<a<1,0<b<1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(C)A．M<N B．M＝NC．M>N D．不确定[解析]∵0<a<1,0<b<1，M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(a－1)(b－1)>0，∴M>N.3．已知a＋b<0，且a>0，则(A)A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2C．a2<b2<－ab D．－ab<b2<a2[解析]方法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2<－ab<b2，选A．方法二：由a＋b<0，且a>0可得b<0，且a<－b.因为a2－(－ab)＝a(a＋b)<0，所以0<a2<－ab，又0<a<－b，所以0<－ab<(－b)2，所以0<a2<－ab<b2，选A．4．已知a＋b>0，b<0，则a，b，－a，－b的大小关系是(C)A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b[解析]因为a＋b>0，b<0，所以a>－b＝|b|>0，所以必有a>－b>b>－a.5．若不等式a>b与eq\f(1,a)>eq\f(1,b)同时成立，则必有(C)A．a>b>0 B．0>eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a>0>b D．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0[解析]若a>b>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，同理0>a>b时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以只有当a>0>b时，满意eq\f(1,a)>eq\f(1,b).6．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(C)A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|[解析]因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>z，))可得xy>xz.二、填空题7．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是__②④__.8．若－10<a<b<8，则|a|＋b的取值范围是__0<|a|＋b<18__.[解析]当a≥0时，有0≤a<8,0<b<8，故0<a＋b<16，即0<|a|＋b<16；当a<0时，－10<a<0，故0<－a<10，因为－10<b<8，所以－10<－a＋b<18，又a<b，所以0<－a＋b<18，即0<|a|＋b<18.综上，0<|a|＋b<18.9．已知2b<a<－b，则eq\f(a,b)的取值范围为__－1<eq\f(a,b)<2__.[解析]∵2b<a<－b，∴2b<－b.∴b<0.∴eq\f(－b,b)<eq\f(a,b)<eq\f(2b,b)，即－1<eq\f(a,b)<2.三、解答题10．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.[证明]∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc.又e>f，即f<e，∴f－ac<e－bc.11．已知a>b>0，c<d<0，比较eq\f(b,a－c)与eq\f(a,b－d)的大小．[解析]∵c<d<0，∴－c>－d>0.又a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴eq\f(1,b－d)>eq\f(1,a－c)>0，又a>b>0，∴eq\f(a,b－d)>eq\f(b,a－c).B组·素养提升一、选择题1．若－1<α<β<1，则下列不等式恒成立的是(A)A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1[解析]∵－1<β<1，∴－1<－β<1，－2<α－β<2，又∵α<β，∴α－β<0，－2<α－β<0.2．(多选题)设0<b<a<1，则下列不等式不成立的是(ABD)A．ab<b2<1 B．eq\r(a)<eq\r(b)<1C．1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D．a2<ab<1[解析]取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)验证可得A，B，D不正确．3．若p＝eq\r(a＋6)－eq\r(a＋4)，q＝eq\r(a＋5)－eq\r(a＋3)，其中a≥0，则p，q的大小关系是(A)A．p<q B．p＝qC．p>q D．由a的值确定[解析]由题意知p－q＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3)－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))，∵(eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3))2－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))2＝2eq\r(a＋3a＋6)－2eq\r(a＋4a＋5)，且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2<0，a≥0，∴2eq\r(a＋3a＋6)－2eq\r(a＋4a＋5)<0，即(eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3))2－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))2<0，∴p－q＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3)－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))<0，故p<q.4．(多选题)下列说法中正确的是(AC)A．若a>b，则eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)B．若－2<a<3,1<b<2，则－3<a－b<1C．若a>b>0，m>0，则eq\f(m,a)<eq\f(m,b)D．若a>b，c>d，则ac>bd[解析]对于A，∵c2＋1>0，∴eq\f(1,c2＋1)>0，∵a>b，∴eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)，故A正确；对于B，因为1<b<2，所以－2<－b<－1，同向不等式相加得－4<a－b<2，故B中说法错误；对于C，因为a>b>0，所以eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又因为m>0，所以eq\f(m,a)<eq\f(m,b)，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误，故选AC．二、填空题5．给出下列命题：①若a<b，c<0，则eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；②若ac－3>bc－3，则a>b；③若a>b且k∈N＋，则ak>bk；④若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).其中正确命题的序号是__④__.[解析]①当ab<0时，eq\f(c,a)<eq\f(c,b)不成立，故①不正确；②当c<0时，a<b，故②不正确；③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；④a>b>0⇒－a<－b<0⇒0<c－a<c－b，两边同乘以eq\f(1,c－ac－b)，得0<eq\f(1,c－b)<eq\f(1,c－a)，又a>b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)，故④正确．6．用不等式表示如下图所示两个函数之间的关系为__x2＋1>eq\f(x,2)__.[解析]函数y＝x2＋1的图象始终在函数y＝eq\f(x,2)的图象的上方，也就是说y＝x2＋1的函数值总是大于y＝eq\f(x,2)的函数值，故x2＋1>eq\f(x,2).7．实数a，b，c，d满意下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.则将a，b，c，d按从小到大的依次排列起来是__a<c<d<b__.[解析]由a－d＝c－b，a＋d<b＋c相加得a<c；又b－d＝c－a>0，得b>d，又d>c，故a<c<d<b.三、解答题8．甲、乙两车从A地沿同一路途到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b.若a≠b，试推断哪辆车先到达B地．[解析]设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则t1＝eq\f(2s,a＋b)，t2＝eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b).因为t1－t2＝eq\f(2s,a＋b)－(eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b))＝eq\f(s[4ab－a＋b2],2aba＋b)＝－eq\f(sa－b2,2aba＋b)<0，所以t1<t2，所以甲先到达B地．9．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．[解析]因为f(x)＝ax2－c，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a－c，,f2＝4a－c，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝f1，,4a－c＝f2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)[f2－f1]，,c＝\f(1,3)f2