电磁感应中的“杆＋导轨”模型(3大模型)解题技巧

-5-电磁感应中的“杆＋导轨”模型(3大模型)解题技巧电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一：单杆+电阻+导轨模型类【初建模型】【例题1】如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：(1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；(2)上述过程中，杆上产生的热量。【思路点拨】：【答案】：(1)gsinθ，方向沿导轨平面向下；eq\f(2mgRsinθ,B2L2)，方向沿导轨平面向下；(2)eq\f(1,2)mgxsinθ－eq\f(m3g2R2sin2θ,B4L4)【解析】：(1)设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv回路中的感应电流I＝eq\f(E,R＋R)杆所受的安培力F＝BIL根据牛顿第二定律有mgsinθ－eq\f(B2L2v,2R)＝ma当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a＝gsinθ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a＝0时，速度最大，最大速度vm＝eq\f(2mgRsinθ,B2L2)，方向沿导轨平面向下。(2)杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsinθ＝Q总＋eq\f(1,2)mvm2又Q杆＝eq\f(1,2)Q总，所以Q杆＝eq\f(1,2)mgxsinθ－eq\f(m3g2R2sin2θ,B4L4)。【内化模型】单杆+电阻+导轨四种题型剖析题型一(v0≠0)题型二(v0＝0)题型三(v0＝0)题型四(v0＝0)说明杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻不计，两导轨间距为L轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，两导轨间距为L竖直轨道光滑，杆cd质量为m，两导轨间距为L示意图力学观点杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝eq\f(BLv,R)，安培力F＝BIL＝eq\f(B2L2v,R)。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止开始时a＝eq\f(F,m)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(FR,B2L2)开始时a＝gsinα，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsinα－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(mgRsinα,B2L2)开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(mgR,B2L2)图像观点能量观点动能全部转化为内能：Q＝eq\f(1,2)mv02F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WF＝Q＋eq\f(1,2)mvm2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq\f(1,2)mvm2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq\f(1,2)mvm2【应用模型】【变式】：此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。现用沿导轨平面向上的恒定外力F作用在金属杆cd上，使cd由静止开始沿导轨向上运动，求cd的最大加速度和最大速度。【答案】：见解析【解析】：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有：F－mgsinθ－F安－f＝ma又F安＝BIL，I＝eq\f(E,R＋R)＝eq\f(BLv,R＋R)，所以F安＝BIL＝eq\f(B2L2v,R＋R)f＝μN＝μmgcosθ故F－mgsinθ－eq\f(B2L2v,R＋R)－μmgcosθ＝ma当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度am＝eq\f(F,m)－gsinθ－μgcosθ，方向沿导轨平面向上当杆的加速度a＝0时，速度最大，vm＝。I′＝eq\f(B1Lv2,R＋r)mgsin30°＝B1I′L解得：v2＝8m/s金属棒从开始运动到在磁场Ⅱ区域中达到稳定状态过程中，根据动能定理，有mg(x0＋x1＋x2)sin30°＋W安＝eq\f(1,2)mv22－0产生的热量：Q＝－W安＝15JQR＝eq\f(1,2)Q＝7.5J。(2)v1＝at1，t1＝0.4s，x1＝v1t2，t2＝0.5s金属棒在磁场Ⅱ中达到稳定状态前的过程中取任意微小过程，设这一微小过程的时间为Δti，速度为vi，速度的变化量为Δvi，则由牛顿第二定律，有：mgsin30°－eq\f(B12L2vi,R＋r)＝meq\f(Δvi,Δti)mgsin30°Δti－eq\f(B12L2viΔti,R＋r)＝mΔvi金属棒从进入磁场Ⅱ到在磁场Ⅱ中达到稳定