山东省济宁市兖州区高二上学期期中质量检测数学试题（含答案解析）

2024-2025学年第一学期期中质量检测高二数学试题2024.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解.【详解】因为，所以，所以，解得．故选:B2.抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（）.A.A与B对立 B.A与B互斥C. D.A与B相互独立【答案】D【解析】【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果.【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生，所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误.又因为，而，，所以，，故C错误，D正确.故选：D3.已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程.【详解】设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，所以①，因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.所以，所求圆的标准方程是.故选:C.4.甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则甲通过前两局获得胜利的概率（）A.0.5 B.0.6 C.0.357 D.0.275【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】由题意，第一局甲先着子，甲前两局获胜的概率为，第一局乙先着子，甲前两局获胜的概率为，故甲前两局获胜的概率为.

故选：D.5.在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以设平面的法向量为，则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A.【点睛】6.若直线与圆，圆都相切，切点分别、，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得.【详解】如下图所示，设直线交轴于点，由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则，，，，为的中点，为的中点，，由勾股定理可得.故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质.7.已知点，．若直线与线段无公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段无公共点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【详解】由，得，所以直线的方程恒过定点，斜率为.因为，，所以，.如图所示，由图象可知，，即时，直线与线段无公共点，所以实数的取值范围为，故选：A.8.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，所以,设平面的法向量为，则，令，则，因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以直线到平面的距离为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知事件，发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A.B.若与互斥，则C.若与相互独立，则D.若，则与相互独立【答案】CD【解析】【分析】由交事件的定义可判断A选项；利用互斥事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断C选项；利用独立事件的概念可判断D选项；【详解】对于A选项，若，则，所以，A错误；对于B选项，若与互斥，则，B错误；对于C选项，若与相互独立，则，所以，，C正确；对于D选项，若，且，所以事件与相互独立，则事件与相互独立，D正确；故选：CD.10.在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（）A.过点作圆M的切线有且只有一条B.若圆和圆恰有3条公切线，则C.若PQ的最小值为1，则D.若，则直线的斜率的最大值为【答案】BD【解析】【分析】根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆与原的位置关系，逐项判定，即可求解.【详解】由圆，可得圆心为，半径为，圆，可得圆心为，半径为，对于A中，由点在圆外，所以过点的切线有2条，所以A不正确；对于B中，若圆和圆恰有3条公切线，则圆和圆相外切，所以，即，解得，所以B正确；对于C中，当圆和圆外离时，可得PQ的最小值为，此时；当圆和圆内含时，可得PQ的最小值为，此时，所以C不正确；对于D中，当时，则直线的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率，如图所示，，且，所以，在直角，可得，所以，即直线PQ的斜率的最大值为，所以D正确.故选：BD.11.已知正方体的棱长为2，如图，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（）A.直线AB与平面所成角的正弦值范围为B.当点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.当点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形D.已知为的中点，当的和最小时，则【答案】ACD【解析】【分析】以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱,,,,,的中点，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得,可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则点A2,0,0、、设点，平面，则为平面的一个法向量，且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当与重合时，连接，在正方体中，平面，平面，，∵四边形是正方形，则，，平面，平面，平面，，同理可证，，平面，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.分别取棱,,,,,的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，，平面，平面，，即，得，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形与矩形沿摊平为一个平面，如下图所示：若最短，则三点共线，，，又，，D选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度的最小值为________.【答案】【解析】【分析】求出直线过的定点，求出圆的圆心和半径，当直线与垂直时弦长最小，求出AB长度的最小值.详解】由题意得直线过定点，圆圆心为，半径为，在圆内，当直线与垂直时，弦长最小，此时，所以AB长度的最小值为.故答案为：.13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算可求，再结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为，，则，所以向量在向量上的投影向量为.故答案为：.14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，当、、不共线时，面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，结合圆的几何性质可求得面积的最大值.【详解】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则、，设，因，所以，两边平方并整理得：，即，所以面积的最大值是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；（2）请用甲、乙获胜的概率说明这种游戏规则是否公平.【答案】（1）（2）这种游戏规则不公平【解析】【分析】（1）由古典概率计算即可；（2）列出甲胜的情况，再有古典概率求出甲胜的概率，然后根据概率之和为1求出乙胜的概率，再判断即可；【小问1详解】设“甲胜且编号的和为6”为事件．甲编号为，乙编号为，表示一个基本事件，则两人摸球结果包括共25个基本事件；包括基本事件有共5个．∴．甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为．【小问2详解】这种游戏不公平．设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件．甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个：．所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，∵，∴这种游戏规则不公平．16.已知直线过定点（1）若到直线的距离为，求直线的方程；（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）或（2）最小值为，直线l的方程为.【解析】【分析】（1）就斜率是否存在分类讨论后结合点到直线的距离公式可求直线方程；（2）设直线为，则可用斜率表示面积，结合基本不等式可求面积的最小值，从而可求直线方程.【小问1详解】当直线斜率不存在时，由过得，满足到的距离为3，当直线斜率存在时，设直线方程为即，点到直线的距离为，解得.此时直线的方程为即，综上所述，所求的直线方程为或.【小问2详解】若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，则设直线为，，则，.，当且仅当时取等号，故面积的最小值为12，此时直线l的方程为.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）连结，交于点，连结，由三角形中位线的性质，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量和用表示，代入空间向量的线面角公式求解即可；小问1详解】连结，交于点，连结，点是的中点，点是的中点，所以，平面，平面，所以平面；【小问2详解】如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，则，，设平面的法向量，则，令，，，所以平面的法向量，，，，，设直线与平面的夹角为，则，解得或，又，则或18.已知点为圆上的动点，点，延长至点使得为的中点．（1）求点的轨迹方程．（2）过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为两点，求最小值．（3）若直线l：与圆交于两点，且直线的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）的值为定值，且定值为【解析】【分析】（1）根据动点轨迹方程利用中点坐标公式可得点的轨迹方程是；（2）利用数量积定义以及基本不等式并结合即可得最小值；（3）联立直线和圆方程并利用韦达定理即可得的表达式，整理即可得出为定值.【小问1详解】设，动点，由中点的坐标公式解得，，又在圆上，可得，即可得，∴点的轨迹方程是．【小问2详解】设．则，，，所以：，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值为．【小问3详解】如下图所示：联立方程组，得，设，，则，∴，故的值为定值，且定值为．19.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．（1）若，，求的斜60°坐标；（2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．①求的斜60°坐标；②若，求与夹角的余弦值．【答案】（1）（