2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第01讲 函数的概念及其表示（高频精讲）（原卷版+解析版）

第01讲函数的概念及其表示（精讲）

目录

第一部分：知识点必背..............................................................2

第二部分:高考真题回归............................................................3

第三部分：高频考点一遍过..........................................................4

高频考点一：函数的概念........................................................4

高频考点二：函数定义域........................................................5

角度1：具体函数的定义域...................................................5

角度2：抽象函数定义域.....................................................6

角度3：已知定义域求参数...................................................7

高频考点三：函数解析式........................................................8

角度1：凑配法求解析式（注意定义域）......................................8

角度2：换元法求解析式（换元必换范围）....................................8

角度3：待定系数法.........................................................9

角度4：方程组消去法.......................................................9

高频考点四：分段函数.........................................................10

角度L分段函数求值......................................................10

角度2：已知分段函数的值求参数...........................................11

角度3：分段函数求值域（最值）...........................................12

高频考点五：函数的值域.......................................................13

角度1：二次函数求值域....................................................13

角度2：分式型函数求值域..................................................14

角度3：根式型函数求值域..................................................15

角度4：根据值域求参数....................................................15

角度5：根据函数值域求定义域.............................................16

第四部分：高考新题型.............................................................18

①开放性试题.................................................................18

②探究性试题.................................................................18

第五部分：数学思想方法...........................................................19

①函数与方程的思想...........................................................19

②数形结合思想...............................................................19

第一

部分：知识点必背

1、函数的概念

设A、8是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A中的任意

一个数工，在集合3中都有唯一确定的数/(%)和它对应，那么称—B为从集合A到

集合8的一个函数，记作>=.f(x)，xeA.

其中：式叫做自变量，入•的取值范围A叫做函数的定义域

与x的值相对应的/(外值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

2、同一(相等)函数

函数的三要素•：定义域、值域和对应关系.

同一(相等)函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判

断两函数相等的依据.

3、函数的表示

函数的三种表示法

解析法(最常用)图象法(解题助手)列表法

就是把变量无，y之间的关系

就是把“，丁之间的关系绘制就是将变量y的取值列成

用一个关系式y=/(x)来表

成图象，图象上每个点的坐标表格，由表格直接反映出两者

示，通过关系式可以由x的值

就是相应的变量x,y的值.的关系.

求出)'的值.

4、分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通

常叫做分段函数.

5、高频考点结论

5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的

要求为：

(1)分式型函数：分母不等于零.

(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于().

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)/(x)=x°的定义域是{x|xwO}.

(5)f(x)=ar(a>0且a±1),f(x)=sinr,f(x)=cosx的定义域均为R.

(6)f(x)=log；(。>0且aw1)的定义域为(0,+00).

（7）/（幻=1@11工的定义域为{月入。E+1%£2}.

5.2函数求值域

（1）分离常数法：

ex+d

将形如y=——的函数分离常数，变形过程为：

ax+b

c（卜、/be.be,be

cx+d_~a{aX+）+aa»再结合工的取值范围确定了的取值范

av+Z?ax+baax+bax+b

围，从而确定函数的值域.

（2）换元法：

如：函数/（x）=or+/?4-4cxVd（ac*0）,可以令t=JZrTJ"20）,得到x=---------,

c

函数/（））=皿

+b+dcx+d（ac+0）可以化为y=+/+/?（7>0）,接下来求解关于，的二次

c

函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制.

（3）基本不等式法和对勾函数

（4）单调性法

（5）求导法

第二部分：高考真题回归

1.（2022・北京•高考真题）函数/（幻=一+6-入的定义域是_________.

X

J』；："=若/[/(⑹]=3,则”

2.（2021•浙江•高考真题）已知函数:

\x-3\+a,x<2,L\/J

-X2+2,x<1,/z.\\

3.（2022•浙江•高考真题）已知函数/（力=<1।।则//T=________：若当

X+——1,A>1,V\2))

X

xe[a,切时，IK/（X）S3,则人一。的最大值是_

—（IX+I,x<a,

（・北京•高考真题）设函数（

4.2022/k=“_2,2若八刈存在最小值，则a的一个

取值为;。的最大值为.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数的概念

典型例题

例题1.（2023春・江苏常州-高一常州市北郊高级中学校考开学考试）已知集合

A=[O,+8）,3=[l,+8）,下列对应关系中从A到8的函数为（）

A.=xB.f:x^>y=x2

C./:x->y=2xD.f:x->y=2x+2

例题2.（2023秋云南昆明福一统考期末）已知集合A=卜|0«x<4},集合B=卜|0W/42},

下列图象能建立从集合力到集合8的函数关系的是（）

练透核心考点

1.（2023•全国•高三专题练习）下列图象中，以M={x|（KxWl}为定义域，/V={x|O<x<l）

为值域的函数是（）

2.（多选）（2023•高一课时练习）下列对应中是函数的是（）.

A.X—其中./=戈，yeR

B.xfy,其中y=2x+l,xe{l,2,3,4},>>e{x|x<10,xeN}

C.if），，其中），为不大于x的最大整数，xeR,yeZ

D.x->y,其中y=x-i,XGN\yiN

高频考点二：函数定义域

角度1:具体函数的定义域

典型例题

例题1.（2023春•北京海淀,高一校考开学考试）函数y=«^+-^+m（5-x）的定义

域（）

A.（2,3）（3,5）B.[2,3）“3,5）

C.[2,3）[3,5）D.[2,3）1[3,5]

例题2.（2023春•北京-高三校考阶段练习）函数/（X）=E+3的定义域为

练透核心考点

1.(2023春・全国•高一校联考开学考试)函数y=log2(2-x)+VT万的定义域为()

A.[1,2)B.(1,2]C.(1,2)D.[0,4]

2.(2023秋•广东肇庆•高一统考期末)函数/3=1鸣(27)+内二，的定义域为

角度2:抽象函数定义域

典型例题

例题1.(2023秋•河北承德•高一统考期末)函数/(工)的定义域为[-2,4],则)，=”?

的定义域为()

A.(1,8]B.[-4,l)u(l,8]

C.(1,2]D.[-l,l)J(L2]

例题2.(2023春•重庆江北•高一字水中学校考开学考试)已知函数)，=/(2犬-1)的定义

域为[-1,2],则函数y=〃x+l)的定义域为.

练透核心考点

1.(2023秋•陕西西安・高一统考期末)若函数/(x)的定义域为(-2/6),则函数1y=

log3(x-l)

的定义域为()

A.(1,8)B.(1,32)

C.(1,2)U(2,8)D.(1,2)U(2,32)

2.(2023秋•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末)已知函数/(x)的定义域为[1,3],则函数

g(x)=〃2x-l).Jlog2(3%-3)的定义域为()

A.(1,2]B.*2C.(1,5]D.：,5

.J」J

角度3：已知定义域求参数

典型例题

例题1.（2023秋•四川眉山•高一眉山市彭山区第一中学校考期末）函数

/（A）=y/（a-1）x2-ax+1的定义域为R,则。的取值范围为（）

A.{2）B.［h2］C.（2,y）D.l2,+oo）

例题2.（2023秋•陕西西安•高一统考期末）已知函数〃x）二年三的定义域为

6」卜（1,2］,则实数〃的值是.

例题3.（2023秋•陕西宝鸡•高一统考期末）已知函数/a）=lg®2_ax+］）的定义域是

R,则实数”的取值范围是.

例题4.（2023・高一课时练习）若函数，=/2:7的定义域为R，则实数“的取值

7*+4ar+3

范围是.

练透核心考点

1.（2023•全国•高三专题练习）若函数），=Jf+2x+a+m（x+2）的定义域为［L+8）,则。二

（）

A.-3B.3C.1D.-1

2.（2023・河北•高三学业考试）函数），=Jar2T+2的定义域为［-25,则实数〃的值为

3.（2023•上海•高一专题练习）已知函数,，=疝二?（/〃<0）在（-00,2］上有意义，则实数

的范围是.

4.（2023•全国•高三专题练习）函数y=lg（f+依+1）定义域为R,则实数"勺取值范围为

高频考点三：函数解析式

角度1:凑配法求解析式（注意定义域）

典型例题

例题1.(2023秋•陕西宝鸡•高一统考期末)已知l)=f-2x,则/(x)=()

A.x2+4A,-3B.%2—4x+3

C.x2+1D.x2—I

例题2.(2023•高一课时练习)已知/(3x-l)=9f,则下列结论正确的是()

A./(x)=9x2B./(A)=IX+1)2

C."2)=36D./(-2)=1

例题3.(2023•全国•高三专题练习)若函数/[三2==-2+],则函数g(x)=/(x)-4x

\X/XX

的最小值为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

角度2：换元法求解析式（换元必换范围）

典型例题

例题1.（2023秋・黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨二中校考期末）已知函数人女）满足

/（X+1）=X2+4X+3,则f（©解析式是（）

A.f（x）=x2+2xB./（X）=X2+2

C.f（x）=x2-2xD./（X）=X2-2

例题2.（2023•高一课时练习）已知〃2x—l）=4/+3,贝廿'（x）=（）.

A.x~-2.x+4B.x~+2,xC.x2—2.x—1D.x~+2.v+4

例题3.（2023秋•辽宁丹东•高一丹东市笫四中学校考期末）若函数/（2、）=如12,且

=则实数，〃的值为（）

A.eB.e2C.hi2D.21n2

（I>I,、

例题4.（2023秋•江苏扬州•高三校联考期末）已知/一=1,则/（x）=.

例题5.（2023•高一课时练习）如果/代卜广，则当xwO且时，/（”=.

角度3：待定系数法

典型例题

例题1.(2023•高一课时练习)已知二次函数/3满足/(2"+)(1-1)=10工2_7/+5,

则/(〃1))=()

A.1B.7C.8D.16

例题2.(2023秋•山东东营•高三东营市第一中学校考期末)已知函数/(》)是一次函数，

且/"(x)]=3x+2,则一次函数/(幻的解析式为.

例题3.(2023•高一课时练习)若二次函数/3)满足/(O)=l,f(x+l)-/(x)=2x,求f(x).

例题4.(2023•高一课时练习)(1)已知/。)是一次函数，且满足

/(X+1)-2/(X-1)=2A+3,求/*)的解析式.

(2)若二次函数g(x)满足g(l)=l,g(T)=5,且图象过原点，求g(x)的解析式.

角度4：方程组消去法

典型例题

例题1.(2023•全国•高三专题练习)若函数/(“满足/(X)+2/(£)=2X+1,贝！)/(2)=

()

A」Rr-n-L

A.3B._3C.3D.2

例题2.(2023•高一课时练习)已知/*)+2.f(—x)=V+x,贝ij/(x)=.

例题3.(2023•全国•高三专题练习)已知2/(x)+/3)=x(xw0),求/*)的解析式

例题4.（2023高一课时练习）已知函数/（月的定义域为（。,a），且/3=3«・/

贝打（力二

练透核心考点

1.（2023春•高一校考开学考试）已知一次函数/（X）满足2/（x）+/（x+l）=9x+6,贝”（4）=

（）

A.12B.13C.14D.15

2.（2023・高一课时练习）若函数/1+且“间=4,则实数小的值为（）

A.瓜B.瓜或-瓜C.-y/6D.3

3.（2023•全国•高三专题练习）已知/（/+5）=/+/.,则/（同=

4.（2023秋・山东淄博・高一山东省淄博第六中学校考期末）设定义在（0,*）上的函数g（x）

满足g（*）=2jLg--1,则g（x）=.

5.（2023・高一课时练习）（1）已知函数/（K+1）=2V+5X+2,求函数/（x）的解析式

（2）已知“X）为一次函数，若/[/（力]=叙+8,求/（x）的解析式.

G.（2023・高一课时练习）已知二次函数/（4）满足/（xl1）/（x）=4x8,且/（1）=8.

⑴求/（X）的解析式；

高频考点四：分段函数

角度L分段函数求值

典型例题

e》x41

例题1.（2023秋•山东临沂•高一统考期末）己知函数/（外='一，贝1」/[/伽2）]

XI1,X>1

的值为（)

A.1B.2C.3D.e

例题2.（2023•广东•高三统考学业考试）已知函数/（力=々工；°,若”=端），则

/（。）的值是（）

A.—2B.-1C.—D.~

X*+1x<2

例题3.(2023•河北•高三学业考试)已知函数/⑺-］厂“，则/(〃4))的值为

\Jx-3,x>2

()

A.—1B.0C.1D.2

lg(x+l),x>0

例题4.(2023秋•宁夏银川•高一银川二中校考期末)若〃x)=L1八，则

2r+-,x<0

2

/(99)+/(-1)=.

角度2：已知分段函数的值求参数

典型例题

2rv>0

例题1.（2023•高一课时练习）已知函数/（"='<n，若/（。）+/（1）=0,则实数

人II,人—kz

”的值等于（）

A•—3B»—1C«1D»3

x+4x<-2

例题2.（2023秋•广东云浮•高一统考期末）若函数f（x）=:且/（。）=2,则

2,X2—2

0=■

例题3.（2023春・山西忻州-高一河曲县中学校校考开学考试）设函数

:F若/（与）=5,则％=___________.

x+3,x<0

X+5,JV<-1

例题4.（2023•高三课时练习）已知函数/"）=",—Ue,若〃〃）=g,则实数。=

2x,x>1

角度3：分段函数求值域（最值）

典型例题

例题1.（2023•全国,高三专题练习）已知耳设义幻

[b,a>h

=min{x-2,-x2+4x-2},则函数/（幻的最大值是（）

A.-2B.1C.2D.3

—?r<—1

例题2.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=L「「则函数/*）的值域

为（）

A.CB.[-l,4<o）C.-；*）D.R

例题3.（2023•高一课时练习）若函数/（x）士则函数/⑴的值域为______.

2\x<0

x2-x+\,x<\

例题4.（2023•全国・高三专题练习）函数/（x）=1।的值域为______

一,x>1

%

练透核心考点

1.(2023秋•湖南娄底•高一统考期末)给定函数/(x)=x+l,g(x)=(x+l)2,xeR,VxeR.

用M(x)表示/(x),g(x)中的较大者，记为M(x)=max|/(x),g(x)},例如当x=2时，

M(2)=max{/(2),g(2)}=max{3,9}=9,则M(x)的最小值为()

A.-2B.0C.1D.4

2.(2023秋•湖南长沙•高一统考期末)已知函数

/*)=3-2国，g(x)=x-2x,P(x)=〈1、，则()

fMg(x)>f(x)

A.的最大值为3,最小值为1

B.尸"）的最大值为2-2夕，无最小值

C.尸（2的最大值为7-2、万，无最小值

D.的最大值为3,最小值为-1

,、f5A,x>0

3.（2023秋•海南•高一海南华侨中学校考期末）已知函数/力=〈（Q则

10g5（x+7bxK。

/（/（。））=-

X+1XW1

4.（2023秋•四川绵阳•高一统考期末）设函数（'，，则/V（&））=______.

lnx,x>1

/、­

5.（2023・高一课时练习）设函数八幻=（-X2,JV<0八，若“。+1）=4则实数*

人,人?

2x4-1x>0

6.（2023・高一课时练习）己知函数/（"='"且"。）=3,则实数。的值为

*。人，人4U

7r2+1r<（）

7.（2023・高一课时练习）已知函数/"）=二，若/（。）=9,则。=_______.

x+12,x>0

高频考点五：函数的值域

角度L二次函数求值域

典型例题

例题1.（2023春•北京海淀•高一校考开学考试）设/（x）=f+x+g的定义域是[1,4],

则函数/（X）的值域中含有整数的个数为（）

A.17B.18C.19D.20

例题2.（2023•高三课时练习）函数y=J—V+2x+2的值域为.

例题3.（2023•高一课时练习）函数/（"=£-2x-3的值域为.

例题4.（2023秋•辽宁•高一辽河油田第二高级中学校考期末）已知二次函数“X）满足

/(x+l)-/(x)=2x,/(O)=l

⑴求/(X)的解析式；

(2)当4目-15,求/(力的值域.

角度2：分式型函数求值域

典型例题

例题1.(2023•高三课时练习)关于“函数=码句的

最大、最小值与函数g(x)=3^,xcZ的最大、最小值”，下列说法中正确的是

().

A./(x)有最大、最小值，g(x)有最大、最小值

B./(x)有最大、最小值，g(x)无最大、最小值

C.八力无最大、最小值，g(“有最大、最小值

D.f(x)无最大、最小值，g(力无最大、最小值

例题2.(2。23•全国.高三专题练习)函数=的最大值与最小值的和是

()

例题3.(2023•高一课时练习)函数、，==1的值域

x+1

例题4.(2。23.高一课时练习)求函数二』？的值域.

例题5.（2023•全国,高三专题练习）求函数y=1（x＞，的值域.

角度3：根式型函数求值域

典型例题

例题1.（2023秋何北保定南一保定一中校考期末）＞，=x+VI=7+3的最大值是（）

I*7

A.-B.2C.；D.4

42

例题2.（2023•河北•高三学业考试）已知xc[0,2],则历二^的最大值是（）

A.8B.2C.1D.0

例题3.（2023•高一课时练习）求函数.y=2x-l-^/^三的值域.

例题4.（2023•全国•高三专题练习）函数f（x）=x+GT的值域为.

例题5.（2023•高一课时绦习）函数仆）=＞/2苔-4+--工+1的值域为.

角度4:根据值域求参数

典型例题

例题1.（2023•全国•高三专题练习）若函数y=A/加+4x+1的值域为[0,小）,则。的

取值范围为（）

A.（0,4）B.（4,伏）C.[0,4]D.[4,-KO）

例题2.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=/-4x在[0,向上的值域为[-4,0],

则实数机的取值范围是（）

A.（0,2]B.[2,4]C.（0,4]D.（-吟2]

例题3.（2023•全国-高三专题练习）若函数y=/-3x-4的定义域为[0,向，值域为

--,-4,则机的取值范围是（）

4

-251「3

A.（0,4]B.4,—C.-,3D.二，+8

1_2

1

例题4.（多选）（2023唉国•高三专题练习）若函数/*）=/，==7的值域为（。，+功,

7ax-4ar+3

则实数。的取值可能是（）

A.0B.1C.1D,1

24

例题5.（2023•全国•高三专题练习）若函数/（x）=/-2x+a的定义域和值域均为

[1,同（。＞1）,贝以一匕的值为.

例题6.（2023•全国・高三专题练习）若函数/（x）="而-6,+何+8的值域为

则实数〃?的取值范围为.

角度5：根据函数值域求定义域

典型例题

例题1.（2023秋•上海闵行淌一统考期末）设函数y=U-l|的定义域为团向，值域为23],

下列结论正确的是（）

A.当〃=0时，〃的值不唯一B.当0=1时，。的值不唯一

C.的最大值为3D.-。的最小值为3

例题2.（2023•全国•高三专题练习）若函数〃力=11主!^（"0）的值域为[〃,3），

Xo4"1

则实数。的取值范围是（）

A.（f,2]B.[0,1]C.D.[1,2]

例题3.（2023•全国•高三专题练习）若函数y=V-3x-4的定义域为[0,，〃],值域为

-25

--,-4,则实数〃?的取值范围是（）

,4_

「3[「3]「3、

A.（0,3]B.~AC.D.-,+°°I

例题4.（2023•高一课时练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”.对

丁函数丁二1+1,值域为“，2,4｝的“同族函数”的个数为个.

练透核心考点

1.（2023秋・河南洛阳・岛一统考期末）若函数/（x）=4-^/^的定义域为集合M，值域

为集合N,则McN=（）

A.[o,GB.[G,3C.（O,GD.

2.（2023秋•河北保定•高一保定一中校考期末）），=x+Vi二7+3的最大值是（）

A.—B.2C.；D.4

42

3.（2023•全国•高三专题练习）若函数）、=，/+41+1的值域为根内），则”的取值范围

为（）

A.（0,4）B.（4,-KC）C.[0,4]D.[4,-KO）

4.（2023•全剧高三专题练习）若函数/（x）=f-2.丫+”的定义域和值域均为[1力]（〃>1）,

则a_0的值为.

5.（2023•全国•高三专题练习）若函数-6尔+,〃+8的值域为[。,+8）,则实数，"的

取值范围为.

6.（2023・高一课时练习〕求函数丫=2%-1-，1-21的值域.

7.（2023•高一•课时练习）函数/"）=3尸-2x+4在。田）上的值域为.

X

8.（2023・高一课时练习）已知函数/（x）=+[）-4x+3.

⑴若函数定义域为R,求。的取值范围；

⑵若函数”力值域为[0,e），求〃的取值范围.

2

9.（2023・高三课时练习）已知函数？=工，当xw2时，值域为______；当xe（-2,1）时，

x-2

值域为.

第四部分：高考新题型

①开放性试题

1.（2022秋•山东聊城•高一校考阶段练习）写出一个与y=G■的定义域和值域均相同，但

是解析式不同的函数/（司：.

2.（2022秋•江西•高一校联考阶段练习）若函数/（力和g（工）的值域相同，但定义域不同，

则称/（X）和g（x）是“同象函数〃.已知函数/（x）=Y+2,写出一个与/（"是“同象函数”的函

数8"）的解析式：g（x）=.

3.（2022秋•江苏南通•高一海安高级中学校考期中）除函数y=x,xe［l,3］外，再写出一个

定义域和值域均为［1,3］的函数.

②探究性试题

1.（2020秋•宁夏石嘴山•高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若心＞4，则函数y=

x-4

（）

A.有最大值10B.有最小值10

C.有最大值6D.有最小值6

2.（2022秋•安徽六安•高一校考期中）若用min{〃也c}表示“Ac•三个数中的最小值，如

*11{-1,2,5}=-1.则函数,工）=加11{4X+1,工+4,7；+8}的最大值是.

第五部分：数学思想方法

①函数与方程的思想

1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（引满足2〃x）+/（J=x,则/（2）=（）

I7

A.2B.1C,-D.2

/O

2.（2023・全国•高三专题练习）若对任意实数q均有f（x）-2/（-x）=9x+2,求/（幻=

3.（2023・高一单元测试）2知函数/（"=4'-3a・2川，存在实数使得/（f）=-/（%）,

则实数〃的取值范围是.

②数形结合思想

2

1.（2023・高一单元测试）若函数/（x）=—；的定义域是G?3）JR,5）,则其值域为（）.

x-1

A.S,0）B.S,2]

C.0,1D.（-oo,0）u（；,2

2.（多选）（2023春•安徽马鞍山•高一马鞍山二中校考开学考试）已知/G）=min{2-f

下列说法正确的是（）

A./（X）在区间（-8,0）单调递增

B./（x）在区间（1,y）单调递减

C./*）有最小值1

D./（工）有最大值1

3.(2023・高一课时练习)画出函数/(司=-丁+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题.

(1)比较“0)，/(1)，”3)的大小；

(2)若斗＞1，比较/(X)与/(9)的大小;

(3)求函数的值域.

第01讲函数的概念及其表示（精讲）

目录

第一部分：知识点必背.............................................................22

第二部分：高考真题回归...........................................................23

第三部分：高频考点一遍过.........................................................25

高频考点一：函数的概念.......................................................25

高频考点二：函数定义域.......................................................27

角度1：具体函数的定义域.................................................27

角度2：抽象函数定义域...................................................28

角度3：已知定义域求参数.................................................30

高频考点三：函数解析式.......................................................32

角度1：凑配法求解析式（注意定义域）.....................................32

角度2：换元法求解析式（换元必换范围）...................................33

角度3：待定系数法........................................................35

角度4：方程组消去法......................................................37

高频考点四：分段函数.........................................................40

角度L分段函数求值......................................................40

角度2：已知分段函数的值求参数...........................................41

角度3：分段函数求值域（最值）...........................................43

高频考点五：函数的值域.......................................................47

角度1：二次函数求值域...................................................4