4.5-函数的最大值最小值及其应用

(完整版)4.5函数的最大值最小值及其应用(完整版)4.5函数的最大值最小值及其应用(完整版)4.5函数的最大值最小值及其应用4.5函数的最大值最小值及其应用当前讲授一、对于闭区间上的连续函数，如何求其最值？

函数的最大值最小值统称为最值

1、最值是否存在？

第二章的定理指出:闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值．2、最值从哪里去寻找?(1)当最值在区间内部取得时，必然在某个极值点处达到，即最值可能在驻点和不可导的点处取得．

(2）最值也可能在区间的端点处取得．

结论:最大（小）值可能在区间内部的驻点、不可导的点及区间的端点处取得．3、求函数在闭区间上的最值的具体步骤

（1）求出在内的所有的驻点和不可导的点（注意：这些点均应在所给的区间内）．

(2）计算上述各点以及区间端点处的函数值．

(3)比较以上各函数值,最大的即为最大值，最小的即为最小值．

几点说明:

(1）若在上单调增加，则在上的最小值为，最大值为．

（2)若在上单调减少，则在上的最小值为,最大值为．

(3）若函数在某区间I上只有唯一驻点，则当该驻点是极小值点时,也一定是最小值点;当该驻点是极大值点时，也一定是最大值点．例如，抛物线只有唯一驻点,这是一个极小值点,同时也是函数在其定义域内的最小值点．典型例题

例4．5．1求函数在区间上的最大值与最小值．HYPERLINK"http：///lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0405。html”\l”＃＃＃”提示〉>

解函数在区间上连续且可导,其导数为令，得驻点：,，（舍去）．无不可导的点．

计算：，,，．

比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为．二、对于实际问题，如何求其最值？

（1）首先需根据实际问题建立函数关系，即数学模型或目标函数．

(2)求目标函数的最大（小）值．若目标函数只有一个驻点，且实际问题最大(小）值是存在的，则可以直接断定这个驻点就是要找的最大(小）值点．典型例题

例4．5．2从一块边长为a的正方形铁皮的四角各截去一个大小相等的小正方形,做成一个无盖的盒子．问截去的小正方形边长为多少时，所做成的盒子容积最大．

解设截去的小正方形的边长为，盒子容积为,如图所示．(1)建立目标函数

盒子的底面积为，高为,于是盒子的容积为，于是问题转化为求目标函数

的最大值问题．

（2)求驻点和不可导的点令，得驻点,（舍去）．

(3)作结论

因为是函数在区间内的唯一驻点，且容积存在最大值,所以就是最大值点，即边长时，盒子的容积最大，最大容积为．

例4．5．3要用铁皮做一个容积为v的圆柱形密封容器，试问这个容器的底面半径和高取多大时，该容器的造价最低？

解:

（1）建立目标函数

设圆柱的底面半径为，高为，表面积为．

顶圆和底圆的面积均为，侧面积为，而容器的表面积为上底面积、下底面积及侧面积之和，所以,表面积由解得，代入上式，得目标函数(2)求驻点和不可导的点令，求得驻点，此外有不可导的点（舍去）．

（3）作结论

因为是表面积函数在所定义区间内的唯一驻点,而在容积固定时，容器的表面积有最小值,所以驻点就是的最小值点．

此时容器的高度

故当容器的底面半径取，高取时,该容器的表面积最小,从而造价最低．

利用最大值和最小值也可以证明一些不等式．例4．5．4证明:当时，．

分析要证明，就是要证明，如果设,则有,问题就转化为要证明：时，．如果能证明函数在单调增加，在