2024年四川省绵阳市中考数学试卷（附答案）

2024年四川省绵阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）下列实数中满足不等式x＞3的是（）A．（﹣2）3 B．π C． D．2．（3分）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（﹣2，﹣3），则点M1的坐标为（）A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＜0 B．x≤0 C．x＞0 D．x≥04．（3分）如图是某几何体的展开图，则此几何体是（）A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥5．（3分）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°6．（3分）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（）A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，27．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．58．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE，点H在BE上运动，点G为EF的中点，当△AGH的周长最小时，AH+GH＝（）A． B． C．12 D．1310．（3分）如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（）A． B． C． D．11．（3分）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（）A．36 B．96 C．226 D．42612．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，0°＜∠A＜90°，AD∥CF，AF＝CF＝2AD＝2，AD＝DE，CD⊥DE，则BF＝（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上。13．（4分）因式分解：2x2+8x+8＝．14．（4分）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为．15．（4分）已知单项式3a2b与﹣2a2bn﹣1是同类项，则n＝．16．（4分）如图，直线a∥b，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B．若θ＝44°，则∠AOB＝°．17．（4分）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝，18．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上运动，△ADE的内切圆与DE相切于点G，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接BF．当点E恰为AB的三等分点（靠近点A）时，且，，则cos∠ABF＝．三、解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（16分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．20．（12分）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下：甲7979106乙58910106（1）根据表格中的数据填空：甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环；甲成绩的中位数是环，乙成绩的众数是环．（2）求甲、乙测试成绩的方差；（3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．21．（12分）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊．预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；（2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．22．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，点E在线段AO上（与端点不重合），线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位置，点F恰好落在线段CD上，FH⊥AC，垂足为H．（1）求证：△OBE≌△HEF；（2）设OE＝x，求OE2﹣CF的最小值．23．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，边AB在x轴上，∠BAD＝60°，B（﹣1，0），点C在反比例函数的图象上．（1）求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式；（2）将菱形ABCD向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边BC与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离．24．（12分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，．（1）证明：四边形ADGF为平行四边形；（2）求的值；（3）求sin∠CAD的值．25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积；（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

1．B．2．A．3．C．4．C．5．D．6．A．7．B．8．D．9．B．10．D．11．C．12．D．13．【解答】解：2x2+8x+8＝2（x2+4x+4）＝2（x+2）2．故答案为：2（x+2）2．14．【解答】解：3550000＝3.55×106．故答案为：3.55×106．15．【解答】解：由同类项定义可知n﹣1＝1，解得n＝2．故答案为：2．16．【解答】解：∵点A和点B都在以点O为圆心的圆上，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵a∥b，且θ＝44°，∴∠OBA＝θ＝44°，∴∠OAB＝∠OBA＝44°，∴∠AOB＝180°﹣44°﹣44°＝92°．故答案为：92．17．【解答】解：根据题意得500（1+20%）（1﹣r）2＝486，解得r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）．所以4，5月份两个月平均降价率为10%．即r＝10%．故答案为：10%．18．【解答】解：如图，设△ADE内切圆圆心为O，连接OG，过O作OH⊥AB于点H，过O作OK⊥AD于点K，则四边形OKAH为正方形，根据切线长定理可得DK＝DG＝+1，EH＝EG＝﹣1，设⊙O半径为r，则OK＝OG＝OH＝r，∴AK＝AH＝r，∴AD＝DK+AK＝+1+r，AE＝﹣1+r，在Rt△ADE中，DE＝DG+EG＝2，AD2+AE2＝DE2，即（+1+r）2+（﹣1+r）2＝（2）2，解得r＝3﹣或r＝﹣3﹣（舍去），∴AD＝4，AE＝2，∴AB＝3AE＝6，∵折叠，∴DF＝AD＝4，EF＝EA＝2，∠EFD＝90°，过F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，则∠EMF＝∠DNF＝90°，∵∠DFN＝∠FEM＝90°﹣∠EFM，∴△EFM∽△FDN，∴＝＝＝，∴FN＝2EM．DN＝2FM，设EM＝x，则FN＝2x，∴FM＝4﹣2x，在Rt△EFM中，EM2+FM2＝EF2，即x2+（4﹣2x）2＝22，解得x＝或x＝2（舍去），∴EM＝，FM＝4﹣2x＝，∴BM＝AB﹣AE﹣EM＝，在Rt△BFM中，BF＝＝，∴cos∠ABF＝＝；故答案为：．19．【解答】解：（1）＝1++2|1﹣|﹣3＝1++2（1﹣）﹣3＝1++2﹣﹣3＝0；（2）＝•＝，当时，原式＝＝＝．20．【解答】解：（1）甲的平均成绩是（7×2+9×2+10+6）＝8（环），乙的平均成绩是（5+8+9+10×2+6）＝8（环），甲成绩的中位数是＝8（环），乙成绩的众数是10环．故答案为：8，8，8，10；（2）＝[（7﹣8）2×2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2+（6﹣8）2]＝2；＝[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+2×（10﹣8）2+（6﹣8）2]＝；（3）推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下：因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适．21．【解答】解：（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，由题意得：﹣＝2，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝1.2×25＝30，答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元；（2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉（120﹣m）株，由题意得：，解得：45≤m≤50，∵m为正整数，∴m＝45，46，47，48，49，50，∴购买这两种花卉有6种方案，设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意得：y＝25×0.8m+30×0.8（120﹣m）＝﹣4m+2880，∵﹣4＜0，∴y随m的增大而减小，∴当m＝50时，y有最小值＝﹣4×50+2880＝2680，答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠BOE＝90°，∵FH⊥AC，∴∠EHF＝90°＝∠BOE，∴∠BEO+∠OBE＝90°，由旋转得：BE＝EF，∠BEF＝90°，∴∠BEO+∠FEH＝90°，∴∠OBE＝∠FEH，在△OBE和△HEF中，，∴△OBE≌△HEF（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝2，OB＝OC＝，∠ACD＝45°，∵△OBE≌△HEF，∴OE＝FH＝x，EH＝OB＝，∴FH＝CH＝x，∴CF＝FH＝x，∴OE2﹣CF＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，∵点E在线段AO上（与端点不重合），∴0＜x＜，∴当x＝时，OE2﹣CF的最小值是﹣．23．【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，DE＝EB，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵DH⊥AB，∴AH＝BH＝2，DH＝AH＝2，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴OH＝OB+BH＝3，∴D（﹣3，2），C（1，2），∵DE＝EB，∴E（﹣2，），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）对于反比例函数y＝，当y＝时，x＝2，∴当点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点E′（2，），∴菱形向右平移了4个单位，∴B，C的对应点B′（3，0），C′（5，2），∴直线B′C′的解析式为y＝x﹣3，由，解得x＝或x＝，∵x＞0，∴点F的坐标为（，），∴点F到x轴的距离为．24．【解答】（1）证明：∵BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴CD∥AF，∴DG∥AF，∴∠AFB＝∠BGD，∵＝，∴∠ADC＝∠ABC，∵＝，∴∠ACB＝∠AFB，∴∠ADC＝∠BGD，∴AD∥GF，∴四边形ADGF为平行四边形；（2）解：设BE＝x，∵AB＝AC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x，∵AB⊥CD，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2，∵BC＝2，∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，解得x＝2，∴BE＝2，AE＝3，∴，由（1）知，∠ADC＝∠BGD，∵∠AED＝∠BEG，∴△ADE∽△BGE，∴，∴；（3）解：过点D作DH⊥AC于H，在Rt△BCE中，CE＝＝＝4，∵＝，∴∠BAD＝∠BCD，∵∠AED＝∠CEB，∴△AED∽△CEB，∴，∴，∴AD＝，DE＝，∴CD＝CE+DE＝4+，∵S△ACD＝＝AC•DH，∴×3＝5DH，∴DH＝，在Rt△ADH中，sin＝，∴sin∠CAD＝．25．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a＝ax2+bx+3，则﹣3a＝