2024年广东省深圳市中考数学试卷（附答案）

2024年广东省深圳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（）A．a B．b C．c D．d3．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣m3）2＝﹣m5 B．m2n•m＝m3n C．3mn﹣m＝3n D．（m﹣1）2＝m2﹣14．（3分）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A． B． C． D．5．（3分）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°6．（3分）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．只有①7．（3分）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（）（参考数据：，，A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝．10．（3分）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是.（写出一个答案即可）11．（3分）如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF，，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝（x＞0）上，点B落在反比例函数y＝（x＞0）上，则k＝．13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B＝，D为BC上一点，若满足CD＝BD，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则＝．三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）14．（5分）计算：﹣2×（﹣3）﹣+|﹣2|﹣（1﹣π）0．15．（7分）先化简，再代入求值：，其中．16．（8分）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数：学校A：日期12345678910人数48594527455145585055学校B：（1）学校平均数众数中位数小于30人的频率方差A48.3①480.175.01B48.425②③349.64（2）根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由．17．（8分）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：信息1购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米.信息2购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：（1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是；（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由．18．（9分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC是直径，AB＝BD，⊙O的切线BE交DC的延长线于点E．（1）求证：BE⊥DE；（2）若AB＝5，BE＝5，求⊙O的半径．19．（12分）在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米．【猜想】（1）探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表：m023456…n012.2546.259…描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：n与m的关系式是【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案）□方法1□方法2如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n，C'B＝，所以点B′坐标为；将点B′坐标代入y＝ax2，得到n与m的关系式是．如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为；将点B坐标代入y＝a（x﹣h）2+k，得到n与m的关系式是．【应用】（3）已知AB∥x轴且AB＝4，两个二次函数y＝2（x﹣h）2+k和y＝a（x﹣h）2+d的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值．20．（12分）【定义】如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．如图1，在▱ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则▱ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．【应用】（1）如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若，CE＝2，则AE＝；AB＝；（2）如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若AB＝BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝12，BE＝5．①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长．

1．C．2．A．3．B．4．D．5．B．6．B．7．A．8．A．9．【解答】解：由题知，将x＝1代入一元二次方程得，1﹣4+a＝0，解得a＝3．故答案为：3．10．【解答】解：∵SA＝10，SC＝1，∴正方形A的边长为，正方形C的边长为1，∴1＜B的边长＜，正方形B的边长可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．11．【解答】解：∵OE＝AB＝4，∴BC＝AB＝4，∵O为BC中点，∴OB＝OC＝BC＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴∠OBE＝90°，∴cos∠BOE＝＝，∴∠BOE＝45°，同理，∠COF＝45°，∴∠EOF＝180°﹣∠BOE﹣∠COF＝90°，∴S扇形EOF＝×π•OE2＝4π．故答案为：4π．12．【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，∵，∴设AD＝4x，则OA＝5x，∴OD＝＝3x，∵点A落在反比例函数y＝上（x＞0），∴4x•3x＝3，解得x＝（负值舍去），∴4x＝2，3x＝，∴A（，2），∴OA＝5x＝，∵四边形AOCB为菱形，∴AB＝OA，∴B（，2），即（4，2），∵点B落在反比例函数y＝（x＞0）上，∴k＝4×2＝8，故答案为：8．13．【解答】解：如图，过点A作AH⊥CB于点H，作CM⊥AD于点M，∵AB＝BC，，设BD＝8a，则CD＝5a，∴BC＝AB＝BD+CD＝13a，∵tanB＝，∴AH＝5a，BH＝12a，∴DH＝BH﹣BD＝4a，CH＝a，在Rt△ACH中，AC＝＝a，在Rt△ADH中，AD＝＝a，∴cos∠ADC＝＝，∴DM＝CD•cos∠ADC＝a，∴AM＝AD﹣DM＝a，∴．故答案为：．14．【解答】解：原式＝﹣2×（﹣3）﹣3+2﹣1＝6+2﹣3﹣1＝4．15．【解答】解：＝•＝•＝，当时，原式＝＝＝．16．【解答】解：（1）A学校的众数为45，把B学校的10个数按从小到大的顺序排列，第5个和第6个分别为45和51，∴B学校的中位数为＝＝48，B学校小于30人的频率为3÷10＝0.3，故答案为：45，48，0.3；（2）小明爸爸应该预约A学校，理由如下：因为两所学校的平均数接近，但A学校的方差小于B学校，即A学校预约人数比较稳定，所以小明爸爸应该预约A学校．17．【解答】解：（1）根据题意得：L＝0.2（n﹣1）+1.2＝0.2n+1，∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L＝0.2n+1；故答案为：L＝0.2n+1；（2）当L＝2.6时，0.2n+1＝2.6，解得n＝8，2×8＝16（辆），答：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车；（3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次，，则用扶手电梯5次可以运完，根据题意得：，解得m∴m为正整数，且m≤5，∴m＝3，4，5，∴共有3种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输1次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输0次．18．【解答】（1）证明：连接BO并延长交AD于H点，如图，∵AB＝BD，OA＝OD，∴BO垂直平分AD，∴∠BHD＝90°，∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴四边形BEDH为矩形，∴∠E＝90°，∴BE⊥DE；（2）解：∵BO垂直平分AD，∴AH＝DH＝AD，∵四边形BEDH为矩形，∴DH＝BE＝5，在Rt△BDH中，∵BD＝AB＝5，DH＝5，∴BH＝＝5，设⊙O的半径为r，则OH＝5﹣r，OD＝r，在Rt△ODH中，（5﹣r）2+52＝r2，解得r＝3，即⊙O的半径为3．19．【解答】解：（1）描点连线绘制函数图象如下：由题意得，点B（m，n），将点B的坐标代入函数表达式得：n＝（m）2＝m2；故答案为：n＝m2；（2）方案一：点B′（m，n），将点B′的坐标代入抛物线表达式得：n＝a×m2，故答案为：（m，n），n＝am2；方案二：点B（h+m，k+n）将点B的坐标代入抛物线表达式得：k+n＝a（h+m﹣h）2+k，解得：n＝am2，故答案为：（h+m，k+n），n＝am2；（3）①当a＞0时，此时抛物线开口方向向上，由（2）知a＝，n＝，∵y＝2（x﹣n）2+k，∴n1＝＝8，∵两个函数图象的顶点之间的距离为10，∴n2＝18，∴a＝＝；②当a＜0时，同理可得：n2＝﹣2，此时a＝﹣综上，a＝或﹣．20．【解答】解：（1）由题可知，，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴，∵CE＝2，∴AE＝1，∵，∴，∴；故答案为：1；；（2），证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴△AED∽△FEB，∴＝2，设BE＝x，则DE＝2x，∴AB＝BD＝3x，∴，∴，∴，∴，∴；（3）①第一种情况：如图①．第二种情况：如图②．第三种情况：如图③．②若按照上图①作图，即如图④，由题意可知，∠ACB＝∠ACP，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ACB＝∠P