2024高考数学二轮复习重难点专题《三角函数的图像与性质八大题型》题型突破及解析

重难点专题16三角函数的图像与性质八大题型汇总

题型1正余弦平移问题.................................................1

题型2识图问题.......................................................3

题型3恒等变换与平移.................................................5

题型4已知对称轴问题.................................................7

题型5已知对称中心问题...............................................8

题型6周期问题.......................................................9

题型7平移与重合问题................................................11

题型8sinx,cosx和差积与最值........................................12

题型1正余弦平移问题

函数尸sinx的图象经变换得到y=/sin（3才+0）（/>0,3>0）的图象的两

种途径

画出y=8inx的图象画出产sin*的图象）

向左”i）平移1卬1个单位长度④横坐标变为原来的1倍

得到尸sin（；+（p）的图象/莪｛

得到y=sin的图象]

横坐标变为[原来的:倍片向左（右序移||Ml个小位长度

（得到尸sin（St+<p）的图象）骤得到尸sin®R+<p）的图象）

纵坐标变为原来的4倍纵坐标变为原来的4倍

钳到y=/1sin（3a;+⑺的图象卜骤心导到y=4sin（sc+⑺的图象）

注意：1.两种变换的区别

①先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是IeI个单位长度；②先周期变

换（伸缩-变换）再相位—变换，平移的量是二Ie」I

3（3>0）个单位长度.

2.变换的注意点

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量X而言的，即图象变换要看“自变量

X”发生多大变化，而不是看角“3x+0”的变化.

【例题1]（2023秋•湖北武汉・高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到

函数Hx）=sin（2"力的图象，可以将函数式X）二sin（2/3的图象

()

A.向左平移7个单位B.向左平移7个单位

C.向右平移7个单位D.向右平移不个单位

【变式1-1］1.（2023秋•内蒙古包头-高三统考开学考试）把函躯二人力图

象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移方

个单位长度，得到函数Xc°s（"：）的图象，则«力二（）

A.COS（2,-与B.cosG+K）c.8S（2l*与D.cos（：一与

【变式1T】2.（2023•甘肃陇南•统考一模）将函数/二sin（2x'+）图像上各

点的横坐标缩短到原来的二，纵坐标不变，再将图像向右平移9个单位长度，得到

函数/二f（x）的图像，以下方程是函数夕二人力图像的对称轴方程的是（）

A.B.C.x-~D.昇

【变式IT】3.（多选）（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）

已知函数n力二sin（x）（0＜。＜2冗）g（jr）=sin（＞。），若把

Hx）的图象上每个点的横坐标缩短为原来的力后，再将图象向右平移9个单位，

可以得到式力，则下列说法正确的是（）

A.0二凯

B.烈x）的周期为n

C.式X）的一个单调递增区间为（三'噎）

D.烈x）三在区间⑵加上有5个不同的解，贝ijb-z的取值范围为彼，形］

【变式『1］4.（2023春・江西赣州-高三校联考阶段练习）将函数

用力二sinJ/（QX）的图象向左平移?（。＜©＜"）个单位长度得到函数S）的

图象，"°三，f（x）为H》）的导函数，且若当不£［。兀］时，#x）的

取值范围为卜，4则3的取值范围为（）

AK3cB.：WaW1

C.:W。Gd.："W-

【变式1-1]5.（2023•河南开封・统考模拟预测）将函数二COS%的图象

向右平移9个单位长度后，再将所得图象上严有点的横坐标缩短为原来的

13〉八,得到函数式X）的图象，若在区间⑻穴）内有5个零点，则3的取值范

围是（）

A.畜3JB.W壬

C.卷3qD.Ti（uW有

题型2识图问题

给出y=/sin（3才+0）的图象的一部分，确定43,。的方法

（1）逐一定参法：如果从图象可直接确定力和山，则选取“五点法”中的“第一

零点”的数据代入“。=0"（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求

得。或选取最值点代入公式3才+0=4兀+亍，k《Z,求O.

（2）待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数4口，

。.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代

入列式.

（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式尸/Isin”

再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.

【例题2】（2。23•全国•高三专题练习）已知函数

力（Q03>0,一共T）的部分图象如图所示，把函

数Hx）图象上所有点的横坐标伸长为原来的电，得到函数/二g（x）的图象，则下

列说法正确的是（）

B.式片）的最小正周期是兀

C.烈工）的图象关于直线x=W对称

D.式力在区间（治，兀）上单调递减

【变式2-111.（2023•全国•高三专题练习）函数

代力二而如（如"<7）的图象如图，则H力的解析式和

5-/（0+fU）+f（於〜+R2020}+f（2Q21]+f\202&+以202》的值分别为

A.""1,S=202：

B.*x）Wsin加x乜S二2023：

C/tr）=[sin?色8=2024-

D.*x）W$in9〃，S=2024

【变式2-1】2.〔2023秋•大津滨海新•高三校考期末）函数

H力二2sin（3x+>0fQ<®<V的图象如图，把函数Ax）的图象上所有

的点向右平移9个单位长度，可得到函数P=g（力的图象，下列结论中：

①0二3；②函数烈%）的最小正周期为巴

③函数用工）在区间卜5月上单调递增；④函数日》）关于点（-.©中心对称

其中正确结论的个数是（）.

A.4B.3C.2D.1

【变式2-113.（2022秋-广东广州-高三广州市第十六中学校考阶段练习）

如图是函数"^二制刀传"人a,兄"<3的图象的一部

分，则要得到该函数的图象，只需要将函数&31=1-为依打・"。5丫-2支/了的

A.向左平移三个单位长度B.向右平移三个单位长度

C.向左平移三个单位长度D.向右平移W个单位长度

【变式2-1]4.（多选）（2022秋-福建宁德-高三福建省福安市第一中学校考

阶段练习）函数""八@珀®"以（-/0"彳）的部分图像如图所示,

)

A.的最小正周期7为月

B.力川向左平移T个单位后得到的新函数是偶函数

C.若方程二7在他M上共有6个根，则这6个根的和为与

D."鼠«引〃?I）图像上的动点上到直线的距离最小时，蜗横

坐标为7

题型3恒等变换与平移

【例题3]（2020春・四川成都・高三树德中学校考阶段练习）设函数

/（j）-asin^j-Aicos在区间I"上单调，且

，（小俏MS当尸卷时，H力取到最大值2若将函数找X）的图象上

"零

各点的横坐标伸长为原来的药夸得到函数用工）的图象，则函数「二小”

点的个数为（）

A.4B.5C.6D./

[变式3-1]1.（2022•全国•高三专题练习）已知把函数

火力二sin（x'：）cosj-+的图象向右平移J个单位长度，再把横坐标缩小到原

来一半，纵坐标不变，得到函数式力的图象，若烈与）,M若

孙/1,则3一X：的最大值为（）

A.71B.彳C.9D.2旅

【变式3-112.（多选）（2023秋・江苏扬州・高三扬州市新华中学校考期末）

己知，是Hx）的导函数，Hx）=isinx-AosX彷H。，则下列结论正确的是

（）

A.将F（力图象上所有的点向右平移W个单位长度可得真刀）的图象

B.衣X）与的图象关于直线尸,与对称

C.五＞）+,（了）与"力-/''（外有相同的最大值

D.当a二3时，W力与Hx）-f（x）都在区间（“9上单调递增

【变式3-113.（多选）（2022秋•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）

已知喉"@）7（­e（A7）1具有下面三个性质：①

将Hx）的图象右移〃个单位得到的图象与原图象重合；②Hr三九

Hx）w|f（勺I；③向在,与时存在两人零点，给出下列判断，其中正

确的是（）

A.胃x）在*£（0：）时单调递减

B.6令G”

C.将五x）的图象左移三个单位长度后得到的图象关于原点对称

D.若俱X）与Hx）图象关于尸一对称，则当不G件卬时，爪功的值域为卜;引

【变式37】4.（2020•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）己知

犬力二%in"&os九向右平移o＜4个单位后为奇函数，则

tan。二,若方程式方一川二。在制）上恰有两个不等的根，则m的取

值范围是-

题型4已知对称轴问题

已知对称轴，可以带入对称轴

【例题4]（2023-全国-高三专题练习）将函数胃外二sin（a"：）（a,0的

图像向左平移三个单位长度后，得到的图像关于少轴对称，且函数升》）在[“为上

单调递增，则■的取值是（）

A.3】B./，C.二二D.1,

【变式4-1]1.（2023秋・浙江绍兴・高三浙江省上虞中学校考开学考试）将

函数y二北531（3）。）的图象向左平移=（。＜个单位长度，再向下平移

1个单位长度，得到升”的图象，已知函数升制的一个零点是x二今且直线刀二一^

是V二/'（X）的图象的一条对称轴，则当3取最小值时，0的值是（）

A.isB.~C.~D.n

【变式4-1]2.（2023•陕西咸阳・武功县普集高级中学校考模拟预测）把函

数贝x）二sin（x+0）（。＜。＜兀）的图象向右平移;个单位长度可以得到烈功的

图象，若俱了）为偶函数，则蓬Pr，"I上的取值范围为（）

A.惇可B.IXV3IC.的4D.匕2

【变式4-1]3.（2023•全国-高三专题练习）将函数夕二曲（2"力的国像

向左平移。个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则1嫉1的最小值

为

【变式4-1]4.（2023秋•山西运城・高二统考阶段练习）已知函数

现将该函数图象向右平移2个

单位长度，得到函数gGJ的图象，且在区间'不，！）上单调递增，则3的取

值范围为.

题型5已知对称中心问题

已知对称中心，可以带入对中心

【例题5】（2023秋•湖北-高三校联考阶段练习）将函数*外=5壮"、住的的

图像向左平移0（&，「）个单位长度后，所得函数是奇函数，则0的最小值

为.

【变式5-1]1.（2023秋•湖南-高三临澧县第一中学校联考开学考试）若将

函数*功=Sin（2"0）（0＜出〈兀）的图象向右平移措个单位长度后得到的却象

对应函数为奇函数，则。二.

【变式5-1]2.（2023秋-山东德州・高三德州市第一中学校考开学考试）将

函数Hx）二%in（2"如仅＜6＜.）的图像向左平移措个单位，得到偶函数用力

的图像，下列结论中：①式外的图像关于点GM对称；②片力在卜总刃上的值

域为|7,\显③Hx）的图像关于直线*二三对称；④Hx）在区间I总T上单调递

减.其中正确的结论有.

【变式5-1]3.（2023•福建福州•福州三中校考模拟预测）将函数

力力二2sin（3"。）（|6|的图象向右平移勺个单位长度，得到的函数

的图象关于点卜9右。对称，且gG在区间（=，■=）上单调递增，则

@二,实数m的取值范围是,

【变式5-1]4.（2021•黑龙江大庆・大庆实验中学校考模拟预测）已知

9E；号，2耳，现将函数Hx）=cos0-5in-的图象向右平移夕个单位

后得到函数式外的图象，若两函数烈X）与/二tan,五32。）图象的对称中心完全

相同，则满足题意的'的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

题型6周期问题

1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解.

2.利用图像观察求解.

3.定义证明：f（x+T）=f（x）.

4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期（需

要证明是否是最小正周期）.

【例题61（2023•全国-高三专题练习）已知函数五刀）的一条对称轴为直线刀二2,

一个周期为4,则#*）的解析式可能为（）

A.5曲（芸）B.cos（表）

c.sin（7J）D.cos（m）

【变式67】1.（多选）（2020・全国•校联考模拟预测）已知函数

昇力二sin（x，，）・cos（2x+20），则下列结论正确的是（）

A.友是函数Hx）的一个周期

B.存在£使得函数H*）是偶函数

C.当。二:时，函数式x）在W引上的最大值为方

D.当S二"时，函数区》）的图象关于点（2%0中心对称

【变式6-1]2.（2023•北京-高三专题练习）函数？色）是定义域为R的奇函

数，满足不4*）"U'U且当X七【0,元厨，二;^三7,给出下列四

个结论：

①f（n）=0.

②友是函数力川的周期；

③函数f在区间J，力上单调递增；

④函数-sinifxEI。力所有零点之和为38

其中，正确结论的序号是

【变式6-1]3.（多选）（2023秋•山东荷泽•高三校考阶段练习）已知函数

4（x）-sin-i*cos"j（ne/fl下列命题正确的有（）

A.f（£r）在区间I。冗上有3个零点

B.要得到f，（2r）的图象，可将函数y=、么。s2图象上的所有点向右平移W个单位

长度

c.6（现勺周期为W最大值为1

D.力的值域为卜2才

【变式6-1】4.（多选）（2022•广东中山・中山纪念中学校考模拟预测）已知

函数尤力二卜吁耳，卜os；1,*则下列说法正确的有（）

A.H*）是周期函数，且冗是它的一个周期B.«刀）的图象关于直线》二2兀对称

C.犬力的最大值为2D.犬力在区间（9，〃）上单调递减

【变式67]5.（多选）（2021•全国•高三专题练习）关于函数

，3二D*）|MCOS（*+）L有下述四个结论正确的有（）

A.f（x）的一个周期为WB.f（x）在梓，m上单调递增；

9节/二小坦1|*|85/的值域与£&）相同口.出）的值域为应欠方

【变式67】6.（多选）（2022•河北唐山・统考三模）已知函数

ffx）二8sinx-tan:,则下列说法正确的有（）

A./^的周期为投反打力关于点/巴力对称

c.打刀在（。京上的最大值为丸？D.'二.士在上的所有零点

之和为6及

【变式6-117.（2022•全国-高三专题练习）法国数学家傅里叶（JeanBaptiste

JosephFourier,1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦

周期函数尸力sindrU之和，若某一乐声的数学表达式为

‘则关于函数"r堵下列四个结论：

①打，的一个周期为2?

②f㈤的最小值为一今

③ff.图像的一个对称中心为（W0）；

④f⑴在区间g内为增函数.

其中所有正确结论的编号为（）

A.①③B.①②C.②③D.①②④

题型7平移与重合问题

【例题7]（2022秋-河南南阳・高三统考期中）若将函数

#x）-^sin（J"：），。乂的图像向右平移;个周期后，与函数

式力:28s（2x+6）的图像重合，则e的一个可能取值为（）

A.-B."；C.'~D.

【变式7-111.（2020•内蒙古•校联考一模）己知函数

f（x）-J-\/2:osJ他<o）f若卜二的图象与v=手伐一；）的

图象重合，记3的最大值为3/，函数=的单调递增区间为—

A.-3+丁（kez）B.【嗔（kez,

c./-，以--三十2kNj(kez)D./-/以叱-，2kN伐wZ)

【变式7-112.（2023•陕西西安•西安市大明宫中学校考模拟预测）将

打外二sin（3"：）g,”的图象向左平移g个单位长度后与函数

gfZ>=cos*]的图象重合，则3的最小值为（）

•«44

A.；B.jC.；D.=

【变式7-1]3.（2022秋・山西长治・高三山西省长治市第二中学校校考阶段

练习）已知函数力力二Zsing"0"。/0/的图象过点6由,“且

在（三上单调，同时RiJ的图象向左平移冗个单位之后与原来的图象重合,

当孙,灯WG号,且孙H与时，/Y"="力，则/伍/孙八（）

A.-V3B.一】C.7D.-2

【变式7-1]4.（2022•上海-高三专题练习）某作图软件的工作原理如下：

给定6£（C〃仞，对于函数7-/（X）,用直线段链接各点

（刀。币76））（-：^力在4，刀£2）,所得图形作为/二汽幻的图象.因而，该软

件所绘V=sin（2W〃）与y=sin」的图象完全重合.若其所绘p=cos（必了）与

V二cos珀勺图象也重合，则J不可能等于（）

A.耳先B.次比.9聃D,101

题型8sinx,cosx和差积与最值

sinx±cosx与sinxcosx之间身互相转化关系

1.（sinx/cos*）,二1±2sinxcos）如果则由辅助角可知

sinx±cosxW"最,VZ

【例题8】函数V=sin/cosxTsinx-cosH的值域是

[变式8-1】1.已知函数真力:sirucus刀一sinjr—cus儿尸e卜三，耳，若«回的

值域为LZ刀，则°的取值范围是.

【变式8-1]2.已知函数*力=Vcos2x-Esinx-8sx）,且对于任意的

八孙♦（-8,+弓，当小声立时都有F7T-"成立，则实数占的取值范围是

（）

A.1一%mB.I-y^y|c.I-T^TII）.I-Z/I

ccur-Kinx_xmr

【变式8-1】3.已知x&（。n）,夕e（。几）,cctx-iinx:工"1,则

A."*D.2"y*

【变式8-1]4.若函数H"）二sin（2x-9）与式力二cosx-siru都在区间

（a.b）（O<a<b<〃）上单调递减，贝心一的最大值为（）

xxX5x

A.NB.FC.3D.—

【变式8-1]5.设max命人表示m,n中最大值，则关于函数

f（x）-max（sinx^cosxsinx-cosH的命题中，真命题的个数是（）

①函数的周期7二2月

②函数打,的值域为[\2j

③函数打.是偶函数

④函数力,图象与直线X=2y有3个交点

A.1B.2C.3D.4

［变式8-1】6.若函数真力:：cos2"*sinx-cos外+（如-力」在［崂，上单

调递增，则实数己的取值范围为（）

A.&力B.卜了"C.（-叱-』31-8）D.E+叼

【变式8-1】7.已知函数Hx）在定义域无t的导函数为f'J）,若函数V二,J）没

有零点，且=2QM,当烈r）;sinjr-cosx-4x在卜会上与真力

在日上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（：）

A.（-8,7］B.（-8,4c.卜，R）

1.（2021•天津滨海新-校联考一模）将函数=8SX的图象先向右平移;又个

单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的:'a＞刃倍，纵坐标不变，

得到函数爪x）的图象，若函数用力在（丁，.，上没有零点，则口的取值范围是

（）

A.引*3B.口

C.uli；|D.JI

2.（2023•安徽・芜湖一中校联考模拟预测）已知函数=cos/x/-2/sin力,

以下结论正确的是（）

A."是的一个周期B.函数在M91单调递减

C.函数f㈤的值域为日力D.函数？幻在，-勿■，然」内有6个零点

3.（2023•上海杨浦・复旦附中校考模拟预测）设关于八，的表达式

F（x,y）-COS"J+cos7y-cos（iy）,当入y取遍所有实数时，F（^y）（）

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值

4.（2023•广西桂林•校考模拟预测）已知函数力x"&sirLr-R5oos上的一条

对称轴为4二一之f（xj+f0）=G,且函数fGJ在但:，X”上具有单调性，则

jx：+X力的最小值为

2>ftft4x

A.-B.-C.ND.—

5.（多选）（2023-湖南郴州•校联考模拟预测）已知函数

火力二小in（o"©）（0"）的最小正周期7V兀，且汽施尸?处

取得最大值.下列结论正确的有（）

A.sin^~

B.a的最小值为苫

C.若函数Hx）在；）上存在零点，则3的最小值为当

D.函数Hx）在（停，书）上一定存在零点

6.（多选）（2021•全国-模拟预测）己知点0是函数

胃力二sin（J尸+。）（3>。|少|<〃）的图象的一个对称中心，且真功的图象关于

直线x二♦对称，代力在国单调递减，则（）

A.函数Hx）的最小正周期为一

B.函数0X）为奇函数

C.若其力W（*£102兄D的根为与二（i=，2,••,疝则与二6"

D.若H㈤，力>）在（4勿上恒成立，则6-2的最大值为当

7.（2022•湖北襄阳•襄阳五中校考模拟预测）已知函数介，=sin"&05丁的

图象向右平移0个单位长度得到g/二2sin"cosx的图象，若x二.为

方3>=5储4+和：8；1的一条对称轴，则王.

8.（2023・全国・统考高考真题）已知函数=sin如"。址区间G亍）单

调递增，直线”9和尸:为函数/点力的图像的两条相邻对称轴，则《一三T）二

（）

_1jc

A.一/B.一二C.二D.i

9.（2023•天津•统考高考真题）已知函数Hx）的一条对称轴为直线x=Z一个

周期为4,则Hx）的解析式可能为（）

A.sE⑸B.8GX）

C.D.8Gx）

10.（2022•全国-统考高考真题）将函数力,六sin（s"9"""的图像向

左平移W个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称，则J的最小道是

（）

A.；B.：C.WD.1

11.（2021.全国-统考高考真题）把函数V二力力图像上所有点的横坐标缩短到

原来的W倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移9个单位长度，得到函数

y:的图像，则？/二（）

A.乳式:勺！?.KnG哈）

C.sin⑵-与D.sin⑵

12.（多选）（2022•全国•统考高考真题）已知函数

f⑴=sin⑵+<P）（0<0〈兀J的图像关于点（9,0）中心对称，则（）

A.力川在区间（°U）单调递减

B.f㈤在区间（一三等）有两个极值点

C.直线正与是曲线夕"①的对称轴

百

D.直线y=T-X是由线），=f的切线

参考答案与试题解析

重难点专题16三角函数的图像与性质八大题型汇总

题型1正余弦平移问题...............................................16

题型2识图问题......................................................20

题型3恒等变换与平移................................................29

题型4已知对称轴问题................................................36

题型5已知对称中心问题..............................................39

题型6周期问题......................................................43

题型7平移与重合问题................................................54

题型8sinx,cosx和差积与最值........................................57

题型1正余弦平移问题

函数尸sinx的图象经变换得到y=/sin（。）（力>0,3>0）的图象的两

种途径

画出尸sin%的图象♦骤*画出产sin工的图象

向左（右）平称即1个单位长度r—>横坐标变为原来的J倍

得到尸sinj+w）的图象/莪（

得到y=sin的图象]

横坐标变为[原来的:倍片向左（右序移||Ml个小位长度

（得到尸sin（St+<p）的图象）骤得到尸sin®R+<p）的图象）

纵坐标变为原来的4倍纵坐标变为原来的4倍

钳到y=/1sin（3M•⑺的图象>骤心导到y=4sin（sc+⑺的图象）

注意：1.两种变换的区别

①先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是SI个单位长度；②先周期变

上（3>0）个单位长度.

换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是

3

2.变换的注意点

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量X而言的，即图象变换要看“自变量

X”发生多大变化，而不是看角“3x+d）”的变化.

【例题1]（2023秋•湖北武汉・高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到

函数«x）=sin（2"?的图象，可以将函数俱X）:sin（?"R的图象

（）

A.向左平移三个单位B.向左平移T个单位

C.向右平移三个单位D.向右平移]个单位

【答案】B

【分析通力=sin⑵H）=sin[2（"3臼,

根据三角函数图象的平移变换

即可求解.

【详解】因为H”）=sin修HMmL

所以将函数式月二sin（2"?的图象向左平移J个单位可得到函数

=$储（2"口的图象

故选:B.

【变式1-1]1.（2023秋-内蒙古包头-高三统考开学考试）把函数?二人力图

象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移方

个单位长度，得到函数Xc°s①总的图象，则«力;（）

A.cos（a一勺B.cos（尹与C.血（2"勺D.血（；高

【答案】C

【分析】利用三角函数图象变换规律可得出函数«x）的解析式.

【详解】由题意可知，将函数/二c°s（¥’：）的图象先向左平移W个单位长度，得

到函数片8s（":\）=3S（"勺的图象，

再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的:纵坐标不变，可得到函数

*力二COS（a喏）的图象

故选：C.

【变式1-1】2.（2023•甘肃陇南•统考一模）将函数彳sin（2x'：）图像上各

点的横坐标缩短到原来的三，纵坐标不变，再将图像向右平移W个单位长度，得到

函数/二/'（力的图像，以下方程是函数P二九3）图像的对称轴方程的是（）

I2^I

A.B.—TC."二D."I

【答案】C

【分析】由已知条件先求出函数Hx）的解析式，然后根据正弦函数的性质求出对

称轴即可.

【详解】将函数y=sin（力♦的图像上各点的横坐标缩短到原来的！

纵坐标不变，得到函数/sin®'；）的图像，

再将图像向右平移B个单位长度，

得到真力二sin的4）臼二sin修七），

其图像的对称轴满足J"71，氧及£肛

令公。时，有尸三

故选：C.

【变式（多选）（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）

已知函数D二sin（"4＞）（0＜。＜2冗）g（x）二sin（Y+习”＞0）,若把

Hx）的图象上每个点的横坐标缩短为原来的福后，再将图象向右平移三个单位，

可以得到俱X）,则下列说法正确的是（）

A.©二十

B.式力的周期为兀

C.烈X）的一个单调递增区间为（卷，2）

D.烈,）三在区间㈤切上有5个不同的解，贝的取值范围为⑶

【答案】ABD

【分析】根据函数平移和伸缩变换得到g（x）解析式，对比可得3和e的值，

从而求得g（x）解析式，从而可判断AB；根据正弦型函数单调性可判断C,数形

结合可判断D.

【详解】犬力二sin（"◎）横向压缩条，y=sin（2r，。）；

再右移1个单位得，产二sin（2x-：，0）,

「三,eW♦或"（a£Z）,

：A3=2

又冗，.二丁，故A选项正确;

.・.g)=sin(2"，,

・,・周期丁二万二兀，故B选项正确;

由）£伟，巧得,2"标空，39疔下，故c选项错误;

烈”W在区间（国力上有5个不同的解，由函数图象可知，区间（a团的长度大于

两个周期，小于等于3个周期，故B-aE仞T,/〕，故D选项正确.

故选：ABD.

【变式1-1]4.（2023春・江西赣州-高三校联考阶段练习）将函数

烈力二sinJj（3，0）的图象向左平移口。<&<"）个单位长度得到函数«x）的

图象，三，fS）为Nx）的导函数，且八。〃，若当x冗]时，Hx）的

取值范围为则3的取值范围为（）

A；W3cB.：W。W1

C.WW。＜-口.gWaWg

【答案】D

【分析】根据三角函数平移变换原则可得Hx）,结合五可求得六利用

整体代换的方式，结合余弦型函数的值域可求得结果.

【详解】：“）二g（"：）=sin[""：）]二sin""8,

/（X）-3cos（3**&）,

,:知）=sin°Wfg=33$®<ot

:'3乂，「COS0”,又0v@(兀，•：0

.*Hx)-sin(J"与二sin3"力-cos(&"+)・

当/・应万】时,匕-3臼,

:,«1)£卜7，|,J7T解得：：WaW；.

故选：D.

【变式1-1]5.（2023•河南开封・统考模拟预测）将函数立了）=cosZ的图象

向右平移2个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的

:sn,得到函数对x）的图象，若在区间【。穴）内有5个零点，则”的取值范

围是（）

NV3Q3V4

A.3（不B.口（不

C.有29WV3<户不D.有N｛,3WV不於

【答案】D

【分析】根据三角函数图象的平移变换可得式幼二8s（2ax-1）,再根据余弦

函数的图象可得"<23".JW号，求解即可.

【详解】将函数Hx）=COS0的图象向右平移£个单位长度，得到

[XT=88[z（x-知=8s⑵-3的图象

再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数

烈X）二cos（2ax-+）的图象

I”“71”11T

v二cos选y轴右方的零点为x=不，—F丁，丁

因为函数式x）的图象在区间I。g）内有5个零点，

所以手，解得磊W专.

故选:D.

题型2识图问题

给出y=Hsin(3*+0)的图象的一部分，确定43,。的方法

(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定/和3,则选取“五点法”中的“第一

零点”的数据代入“4+0=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求

得。或选取最值点代入公式3刀+0=女冗++，AEZ,求0.

(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数43,

0.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代

入列式.

(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式p=/lsin3x,

再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.

【例题2】(2023•全国•高三专题练习)已知函数

H力二/sin(Q"0)(/〉0--兀(0T)的部分图象如图所示，把函

数Hx)图象上所有点的横坐标伸长为原来的三倍，得到函数9二g(x)的图象，则下

列说法正确的是()

A.g("+)为偶函数

B.俱x)的最小正周期是冗

C.式力的图象关于直线又二W对称

D.式幼在区间(三，兀)上单调递减

【答案】B

【分析】根据给定的图象依次求出从血J得函数的解析式，结合图象变

换求出函数V二gGJ,再根据正弦函数性质逐项判断作答.

【详解】观察图象知，A=2,f(Q)=7,贝惮加@a1而一“＜。于是

5x

函数行，的周期7满足：匕7〈咚，即之今,解得:＜3＜二

又“9）二°,即有”3♦0=2%冗♦兀J£Z,而3乂，于是3二三号£N,

因此*二°3二±所以fG"2sin修•乎,

把函数X力图象上所有点的横坐标伸长为原来的日倍，得到函数f二以力的图象，

则g（x）-2sin（^X^x-^-）=2sin（2i-^-）,所以

g（x/—）-2sin[2（x^—）■=J=四in⑵-篙，

显然函数/=北江管x为非奇非偶函数，故A错误；

gW=2sin〃x・^J的最小正周期7二一二兀，故B正确；

因为g'：J=2sin夕X：・=J=2sin：二】工士工所以泰力的图象不关于直线

》二三对称，故C错误；

当名小〈兀时，而正弦函数V二sin」在《，⑴上单调递增，

在《，上单调递减，

则虱X）的图象不单调，故D错误.

故选：B

【变式2-111.（2023•全国•高三专题练习）函数

府Msin（J"。）+"|回＜y）的图象如图，则中）的解析式和

S二式①+f(J)+f(冷〜+武202G+久2021)+R202力+f(2025的值分别为

B*x）弓sin加"1,S=2023；

「*x）二；8=2024-

L・22，

D.汽力二夕储当"S=2024

【答案】D

【分析】根据函数Hx）的最大值和最小值可求得A2的值，根据函数Hx）的最小

正周期可求得a的值，再由«力三结合0的取值范围可求得◎的值，可得出函

数犬力的解析式，计算出+久1）+久2）的值，结合函数Hx）的最小正周

期可求得5的值.

【详解】由图可知，函数H力的最小正周期为邑则a=9=9=之

又因为或。弓由（斗嫉）+i『os。〃二：则8s0乜

因为《弓则小二。所以,Hx）小in当乜

因为

40"（0+R?二:sin0，7sin：+7七sin"，"三sin三M=4,

又因为2024二4X501,

因此，

S二久4+2D♦…♦久2020）+f（202I）+R2022）"（2023）=4X506二

2024

故选：D.

【变式2-1】2.C2023秋•天津滨海新•高三校考期末）函数

*力二四infsx，0/a®C的图象如图，把函数Hx）的图象上所有

的点向右平移;个单位长度，可得到函数V二&（x）的图象，下列结论中：

①@二W②函数泰力的最小正周期为三

③函数式外在区间卜看m上单调递增；④函数俱X）关于点（-.0）中心对称

其中正确结论的个数是（).

【答案】c

【分析】对①，先根据图象分析出3的取值范围，然后根据=、2分析出.的

可取值，然后分类讨论0的可取值是否成立，由此确定出山，◎的取值；对②，

根据图象平移确定出对X）的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③,

先求解出俱X）的单调递增区间，然后根据勺取值确定出卜5义是否为单调递增

区间；对④，根据的值是否为4即可判断.

【详解】解：由图可知：I岑＞手，

即77《川

又丁汽。二Zsin。二五，Q《@《R,

.九

由图可知：°一不，

又:'f（净）=为历偌及3+0）=2,

•:二R3+6二一+2kR,k£2

晨冗3云（\,2兀），

•:仁…。）•告3"）,

故k=l,

当。二三时，口3二净,解得：3=2,满足条件,

・：/U）=2sin（2"勺，

故g（力二四in（2（，-?=2sin（2"B,

对①，由上述可知①错误；

对②，：飞加为听斗，

2舞

•:米X）的最小正周期为子=3故②正确；

对③，令2kN*W2x《W2kN吟,kwz,

即4月-5在不与女及+白4£4

令k二Q,此时单调递增区间为卜/，且且卜.，目=卜等，且故③正确；

对④，：,小张2sin（2WW）>有一

Z（-T°）不是对称中心，故④错误；

故选：C.

【点睛】方法点睛：已知函数用小;Rsin（0）（3>0],

若求函数式”的单调递增区间，则令以7T一!（a"©<2k^kF2；

若求函数E力的单调递减区间，则令以兀⑥<2k次+三,ke2;

若求函数烈x）图象的对称轴，则令ax*°二*"4,kWZ.,

若求函数俱x）图象的对称中心或零点，则令Jx/。二才八，kWZ

【变式2-113.（2022秋.广东广州-高三广州市第十六中学校考阶段练习）

如图是函数f3二Ns历（a"刃（A>Oia°的图象的一部

分,则要得到该函数的图象，只需要将函数8/二7-W5nme§r的

图象（）

A.向左平移5个单位长度B.向右平移5个单位长度

C.向左平移W个单位长度D.向右平移W个单位长度

【答案】B

【分析】先由图用求出口，由"三，=。求出之由①二。求出

A:G,

得到打少二倨in传"少；运用二倍角公式和辅助角公式化简

g(x)-2s\n(2x+二)

利用三角函数图象平移性质得解.

【详解】如图知：,

:'与V刃，•:‘二K啜,又3乂•:3-2

・：他)=4sin(a+0)：，f(y)-l/sinf三，4f)-0*'0(0(:

解得.0二彳**/7x)=4sin(2x~>

又二近，•：Min：二日2#2,・：f在"Zsin⑵*白

g(x)^l-2>/3sinjcosi-2sji/jFcos2r->[3sin2i-2cos⑵+三)二2sin(2x+

—+—Ajfein(2x+=)

由三品函数图象平移性质得

公in传"号入会与”Zsing-三J=Zsin:

VVUi9J

f(x)

(技巧：由三角函数图象平移性质得'.「F>二)

所以g#函数向右平移9个单位长度得到

故选：B

【点睛】本题考查由图象求函数尸和%g行8的解析式.

确定产为方。）刃的步骤和方法：

（1）求4b:确定函数的最大值▲和最小值凡则A吟,b吟

⑵求J确定函数的周期7,则可荐"=9;

⑶求©:常用的方法有代入法和五点法.

①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时43,A已知）或代入图象与直线

V=3的交点求解（此时要注意交点是