2024-2025学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算学案含解析新人教A版选修1-2

PAGE3.2.2复数代数形式的乘除运算自主预习·探新知情景引入依据复数的几何意义和平面对量在坐标表示下的加(减)法运算，我们很简洁规定了复数的加(减)法规则，因为实数是复数的一部分，且实数有其乘法运算，因此我们有理由且应当规定复数集内的乘法运算，使实数的乘法作为复数乘法的一种特别状况，考虑到复数的代数标准形式及i2＝－1，并联系多项式的乘法法则，就可建立复数的代数乘法规则．新知导学1．复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__．2．复数乘法的运算律对随意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝__z2·z1__结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)安排律z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__3．共轭复数已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是__a＝c且b＝－d__．(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是__a＝c且b＝－d≠0__．4．复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝__eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i__(c＋di≠0)．预习自测1．(2024·全国Ⅱ卷理，2)设z＝－3＋2i，则在复平面内eq\x\to(z)对应的点位于(C)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]eq\x\to(z)＝－3－2i，故eq\x\to(z)对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C．2．(2024·全国Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，则z＝(D)A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i[解析]由z(1＋i)＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2i1－i,2)＝i(1－i)＝1＋i.故选D．3．(2024·北京卷理，1)已知复数z＝2＋i，则z·eq\x\to(z)＝(D)A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．5[解析]解法一：∵z＝2＋i，∴eq\x\to(z)＝2－i，∴z·eq\x\to(z)＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D．解法二：∵z＝2＋i，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝5.故选D．4．(2024·天津，10)i是虚数单位，复数eq\f(8－i,2＋i)＝__3－2i__．[解析]eq\f(8－i,2＋i)＝eq\f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(15－10i,5)＝3－2i．5．计算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)．[解析](1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－2－i＋2i－1,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋ii,－i·i)＝－1－3i．(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(1＋4i－4＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(1＋2i,5)．(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(1－i－1－i,2i)＝eq\f(－2i,2i)＝－1．(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(1－\r(3)i,3＋2\r(3)i－1)＝eq\f(1－\r(3)i,2＋2\r(3)i)＝eq\f(1－\r(3)i2,21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(1－2\r(3)i－3,8)＝－eq\f(1＋\r(3)i,4)．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶复数的乘法与乘方典例1计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；(2)(1－i)2(1＋i)2＋4．[思路分析]应用复数的乘法法则及运算律求解．[解析](1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i＝(4－i2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i＝5＋10i－5i＝5＋5i．(2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8．『规律方法』1.复数的乘法运算可将i看作字母按多项式乘法的运算法则进行，最终将i2＝－1代入合并“同类项”即可．2．复数的乘法运算可以推广，因此，复数可进行乘方运算，常见的有：(a±bi)2＝(a2－b2)±2abi(a、b∈R)，(1±i)2＝±2i等，即实数的乘方公式对复数也成立．┃┃跟踪练习1__■(1)(2024·全国Ⅱ卷文，2)i(2＋3i)＝(D)A．3－2i B．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i(2)(2024·全国Ⅲ卷理，2)(1＋i)(2－i)＝(D)A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i[解析](1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i．故选D．(2)(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i．故选D．命题方向❷复数的除法典例2计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)eq\f(1＋i3－1－i3,1＋i2－1－i2)；(3)(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)4＋eq\f(1－\r(3)i2,2＋2i2)．[思路分析](1)先写成分式的形式，再分母实数化．(2)分子、分母按复数的乘法先分别绽开化简，或分解因式，再做除法．(3)先绽开，后化简．[解析](1)(1＋2i)÷(3－4i)＝eq\f(1＋2i,3－4i)＝eq\f(1＋2i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(－5＋10i,25)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i．(2)解法一：原式＝eq\f(1＋3i1＋i＋i3－[1－3i1－i－i3],2i＋2i)＝eq\f(4i,4i)＝1．解法二：原式＝eq\f([1＋i－1－i][1＋i2＋1＋i1－i＋1－i2],[1＋i＋1－i][1＋i－1－i])＝1．(3)原式＝[(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)2]2＋eq\f(－2－2\r(3)i,41＋i2)＝(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)2－eq\f(1＋\r(3)i,4i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＋eq\f(1,4)i－eq\f(\r(3),4)＝(－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),4))＋(eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),2))i．『规律方法』除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，再按复数的乘法进行运算，最终化简．┃┃跟踪练习2__■(1)(2024·新高考全国卷Ⅰ，2)eq\f(2－i,1＋2i)＝(D)A．1 B．－1C．i D．－i(2)(2024·全国卷Ⅲ理，2)复数eq\f(1,1－3i)的虚部是(D)A．－eq\f(3,10) B．－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10) D．eq\f(3,10)[解析](1)eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，故选D．(2)∵z＝eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)＝eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)i，∴复数eq\f(1,1－3i)的虚部为eq\f(3,10)．命题方向❸共轭复数典例3复数eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数是(C)A．－eq\f(3,5)i B．eq\f(3,5)iC．－i D．i[思路分析]通过运算把复数写成a＋bi(a、b∈R的形式)，则其共轭复数为a－bi．[解析]依题意：eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2i－1,1－2i·i)＝－eq\f(1,i)＝i，∴其共轭复数为－i，选C．『规律方法』1.由比较困难的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．2．留意共轭复数的简洁性质的运用．┃┃跟踪练习3__■(2024·全国卷Ⅲ文，2)若eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，则z＝(D)A．1－i B．1＋iC．－i D．i[解析]∵eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴z＝i，故选D．易混易错警示计算要细致精确典例4复数eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)等于(A)A．i B．－iC．2eq\r(2)－i D．－2eq\r(2)－i[错解]Deq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i1＋\r(2)i,－1)＝－2eq\r(2)－i．[辨析]错解中有两处错的地方：因为i3＝－i，所以eq\r(2)－i3＝eq\r(2)＋i，(1－eq\r(2)i)(1＋eq\r(2)i)＝1－(eq\r(2)i)2＝1－2·i2＝1＋2＝3．[正解]eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋i,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋i1＋\r(2)i,1－\r(2)i1＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋2i＋i＋\r(2)i2,1－\r(2)i2)＝eq\f(3i,1＋2)＝i.故选A．学科核心素养复数的有关性质in(n∈N*)的性质计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．这就是说，假如n∈N*，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n