新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题20 抛物线中向量问题(解析版)

专题20抛物线中向量问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知SKIPIF1<0的顶点都在抛物线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0的重心为抛物线的焦点F，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．6 C．9 D．12【解析】由题意得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点是SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据抛物线的定义可得SKIPIF1<0.故选：B.2．抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交抛物线于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0为平面上任意一点，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．5【解析】由题意易知直线SKIPIF1<0的斜率存在，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，所以不妨设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.3．已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的同侧，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为1，由已知可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0

故选：A.4．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且SKIPIF1<0，若FB为SKIPIF1<0的平分线，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．8 C．10 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．因为FB为SKIPIF1<0的平分线．则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故选：D．5．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，圆SKIPIF1<0的半径为1，过点SKIPIF1<0的直线与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】因为抛物线SKIPIF1<0，所以焦点坐标为SKIPIF1<0，如下图所示：

连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直准线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由抛物线的定义得：SKIPIF1<0，则由图可得SKIPIF1<0的最小值即抛物线顶点SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B6．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，若抛物线SKIPIF1<0的准线与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，

圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故抛物线SKIPIF1<0的准线与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合，则直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0不相切，不合乎题意，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨设点SKIPIF1<0在第一象限，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：C.7．已知过抛物线SKIPIF1<0的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若D为线段AB的中点，连接OD并延长交抛物线C于点M，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意知点SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0存在且不为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由三角形相似可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故选：D8．已知抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交抛物线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则k为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，代入①得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故选：B二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．设F为抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】抛物线C的焦点为SKIPIF1<0，所以直线AB的方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由根与系数的关系得SKIPIF1<0，故D错误；SKIPIF1<0，故C错误；SKIPIF1<0，故B正确；由抛物线的定义可得SKIPIF1<0，故A正确.故选：AB．10．已知抛物线C的方程为SKIPIF1<0，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（

）A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短B．SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0C．当PM与C的准线垂直时，必有SKIPIF1<0D．至少存在两个点P，使得SKIPIF1<0【解析】如图所示，由抛物线SKIPIF1<0，可得焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A中，由SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，等号成立，此时SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，所以A正确；对于B中，由SKIPIF1<0，所以B正确；对于C中，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C错误；对于D中，由抛物线的定义知，直角梯形SKIPIF1<0的中位线SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0为直径的圆与抛物线的准线相切于点SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的点恰好有一个，所以D错误.故选：AB.

11．已知点A是抛物线SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为焦点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0三点顺时针排列，则（

）A．当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上时，SKIPIF1<0B．当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上时，点A的坐标为SKIPIF1<0C．当点A与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称时，SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则点A与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，对于A，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上时，又SKIPIF1<0三点顺时针排列，所以大致图像如图，

此时SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上时，又SKIPIF1<0三点顺时针排列，所以此时A点在SKIPIF1<0轴下方，且SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即A点坐标为SKIPIF1<0，故B正确；对于C，当点A与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称时，又SKIPIF1<0三点顺时针排列，所以此时A点在SKIPIF1<0轴上方，且SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；对于D，当SKIPIF1<0时，得A点横坐标为SKIPIF1<0，此时A点可能在SKIPIF1<0轴上方，也可能在SKIPIF1<0轴下方.因为SKIPIF1<0三点顺时针排列，所以当A点在SKIPIF1<0轴上方时，可得点A与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称；当A点在SKIPIF1<0轴下方时，可得此时SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0轴上，点A与点SKIPIF1<0不关于SKIPIF1<0轴对称；故D错误；故选：ABC.12．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0过焦点SKIPIF1<0为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（

）A．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．对于任意的点SKIPIF1<0，必有向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共线D．SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0【解析】

设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设过点SKIPIF1<0的切线为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.同理可得过点SKIPIF1<0的切线斜率为SKIPIF1<0.对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A错；对于B，可得点A，B处的切线方程分别为：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，又因为直线AB的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由A选项可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确；对于C，设AB的中点为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0轴，而向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共线，故C正确；对于D，如图，设准线与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0最短时（最短为SKIPIF1<0），SKIPIF1<0也最短，最短为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过F的直线SKIPIF1<0与抛物线交于A，B两点，且SKIPIF1<0，O为坐标原点，则SKIPIF1<0的面积为.【解析】由已知得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0③，由①②③解得SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，点O到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.14．已知F是抛物线SKIPIF1<0的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【解析】易知焦点F的坐标为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，如图，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知线段BM平行于AF和DN，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由定义知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

15．已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，准线为SKIPIF1<0，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，SKIPIF1<0与x轴相交于点M，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【解析】

由题意易知SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得Q为AM中点，则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0可得:SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意可知直线AB、BM的斜率存在，故SKIPIF1<0，联立抛物线与直线AB可得SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0由抛物线定义得SKIPIF1<0，故答案为：416．已知抛物线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，过抛物线的焦点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0两点，与圆交于SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的同一侧），若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是．【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，于是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为1，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值是8.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；(2)如图所示，过点SKIPIF1<0的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0是定值.【解析】（1）由抛物线的定义，得SKIPIF1<0，解得p＝2.所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0，M的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则SKIPIF1<0.将x＝ty＋1代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是定值1.18．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆C的左右焦点，且抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，M为椭圆的上顶点，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且SKIPIF1<0，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，设椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；（2）

显然直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．19．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且其中一个焦点与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的A，B两点，且满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），求弦长SKIPIF1<0的值．【解析】（1）由SKIPIF1<0得焦点SKIPIF1<0，则椭圆的焦点为SKIPIF1<0，因为椭圆离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．

20．已知抛物线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线上，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)求点SKIPIF1<0到抛物线焦点的距离；(2)是否存在实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）将点SKIPIF1<0代入抛物线方程，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，抛物线焦点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到抛物线焦点的距离等于点SKIPIF1<0到抛物线准线的距离SKIPIF1<0．（2）存在，证明如下：如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由根与系数的关系得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点的坐标为SKIPIF1<0．假设存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．由（1）知，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，两边同时平方得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．21．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一动点，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上一动点，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，交SKIPIF1<0轴的正半轴于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0对称，且SKIPI