2024-2025学年新教材高中数学第10章三角恒等变换10.1.3两角和与差的正切课时分层作业含解析苏教版必修第二册

PAGE课时分层作业(十三)两角和与差的正切(建议用时：40分钟)一、选择题1．tan255°＝()A．－2－eq\r(3) B．－2＋eq\r(3)C．2－eq\r(3) D．2＋eq\r(3)D[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq\r(3).]2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ＝()A．2B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(1,2)D[tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2,1－tanαtanβ)＝4，∴1－tanαtanβ＝eq\f(1,2)，tanαtanβ＝eq\f(1,2).]3．已知A，B都是锐角，且tanA＝eq\f(1,3)，sinB＝eq\f(\r(5),5)，则A＋B＝()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．eq\f(5π,6)A[∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinB＝eq\f(\r(5),5)，∴cosB＝eq\f(2\r(5),5).∴tanB＝eq\f(1,2).∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.又A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＋B∈(0，π)．∴A＋B＝eq\f(π,4).]4．已知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)＝()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(2),4)C．－eq\f(\r(2),4) D．±eq\f(\r(2),4)D[由已知tanα＝－3＋eq\r(2)，tanβ＝－3－eq\r(2)或tanα＝－3－eq\r(2)，tanβ＝－3＋eq\r(2)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝±eq\f(\r(2),4).]5．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3)，tan2B＝tanAtanC，则角B＝()A．30° B．45°C．60° D．75°C[因为A＋B＋C＝180°，所以tan(A＋C)＝－tanB，又tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3)，所以tanA＋tanC＝3eq\r(3)－tanB，又tan2B＝tanAtanC，所以由tan(A＋C)＝eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)得－tanB＝eq\f(3\r(3)－tanB,1－tan2B)，所以－tanB(1－tan2B)＝3eq\r(3)－tanB，所以tan3B＝3eq\r(3)，所以tanB＝eq\r(3).又0°<B<180°，所以B＝60°.]二、填空题6.eq\f(tan55°－tan385°,1－tan－305°tan－25°)＝________.eq\f(\r(3),3)[原式＝eq\f(tan55°－tan25°,1－tan305°tan25°)＝eq\f(tan55°－tan25°,1＋tan55°tan25°)＝tan(55°－25°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).]7．在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)钝角[易知tanB>0，tanC>0，B，C为锐角．eq\f(sinBsinC,cosBcosC)<1，∴cosBcosC>sinBsinC．∴cosBcosC－sinBsinC>0，∴cos(B＋C)>0，即cosA＜0，故A为钝角．]8．已知P(2，m)为角α终边上一点，且taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则sinα＝________.－eq\f(\r(5),5)[∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tanα＝eq\f(m,2)，再依据taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(\f(m,2)＋1,1－\f(m,2))＝eq\f(1,3)，∴m＝－1，∴P(2，－1)则sinα＝eq\f(－1,\r(22＋－12))＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5).]三、解答题9．求下列各式的值：(1)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°；(2)tan70°－tan10°－eq\r(3)tan70°tan10°.[解](1)因为tan(17°＋28°)＝eq\f(tan17°＋tan28°,1－tan17°tan28°)，所以tan17°＋tan28°＝tan45°(1－tan17°tan28°)＝1－tan17°tan28°，所以tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝1.(2)因为tan60°＝tan(70°－10°)＝eq\f(tan70°－tan10°,1＋tan70°tan10°)，所以tan70°－tan10°＝eq\r(3)＋eq\r(3)tan70°tan10°，所以tan70°－tan10°－eq\r(3)tan70°tan10°＝eq\r(3).10．若△ABC的三内角满意：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋eq\r(3)，求角A，B，C的大小．[解]由题意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B＋C＝180°，,2B＝A＋C，))解之得：B＝60°且A＋C＝120°，∴tan(A＋C)＝tan120°＝－eq\r(3)＝eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)，又∵tanAtanC＝2＋eq\r(3)，∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)·(1－tanAtanC)＝tan120°(1－2－eq\r(3))＝－eq\r(3)(－1－eq\r(3))＝3＋eq\r(3).∴tanA，tanC可作为一元二次方程x2－(3＋eq\r(3))x＋(2＋eq\r(3))＝0的两根，又∵0＜A＜B＜C＜π，∴tanA＝1，tanC＝2＋eq\r(3).即A＝45°，C＝75°.所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.1．设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于()A．－eq\f(1,3)B．eq\f(1,3)C．－3D．3B[a·b＝2cosα－sinα＝0，得tanα＝2.taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq\f(1,3).]2．(多选题)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，下列各式正确的是()A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－eq\r(3)C．tanA＝tanB D．cosB＝eq\r(3)sinACD[在△ABC中，C＝120°，所以A＋B＝60°，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(2\r(3),3),1－tanAtanB)＝eq\r(3)，解得tanAtanB＝eq\f(1,3).由于tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，tanAtanB＝eq\f(1,3).所以tanA和tanB为方程x2－eq\f(2\r(3),3)x＋eq\f(1,3)＝0的两个根，所以tanA＝tanB＝eq\f(\r(3),3).所以cosB＝eq\r(3)sinA．故A、B错误，C、D正确．故选CD．]3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)钝角[由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanA＋tanB＝\f(5,3)，,tanA·tanB＝\f(1,3)，))∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＝eq\f(\f(5,3),1－\f(1,3))＝eq\f(5,2)，在△ABC中，tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－eq\f(5,2)<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．]4．已知α，β均为锐角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，则tan(α＋β)＝________.1[∵tanβ＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1.]5．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝eq\f(2π,3)和②taneq\f(α,2)·tanβ＝2－eq\r(3)同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．[解]由①得eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))＝eq\f(tan\f(α,2)＋tanβ,1－tan\f(α,2)tanβ)＝eq\r(3).将②代入上式得taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3).因此，taneq\f(α